Задачи №31-40 предусматривают расчёт цепей с несинусоидальными токами и напряжениями.
Основой расчёта таких цепей является принцип наложения: токи и напряжения рассчитываются для каждой из гармоник в отдельности, а также для постоянной составляющей, если она имеется в цепи.
При расчёте каждой из гармоник применяются обычные методы расчёта цепей синусоидального однофазного тока.
Пример 4
К цепи, состоящей из последовательно включенных резистора R=8 Ом, индуктивности L=19,1 мГн и конденсатора С=265 мкФ, приложено напряжение, описываемое уровнем (169 sinωt +45,4 sin 3ωt)В. £=50 Гц – частота первой гармоники.
Определить действующие значение несинусоидального тока и напряжения в цепи, полную S и активную Р мощности.
Решение
Кривая заданного напряжения U= f(1) раскладывается на гармоники U1=169 sinωt (В) и третьей U3=45,4sin 3ωt(В). Частота первой гармоники совпадает с частотой приложенного напряжения. Произведём расчёт для каждой составляющей несинусоидального напряжения отдельно.
Сначала рассчитаем реактивные сопротивления для первой гармоники (£=50 Гц)
XL1=2π£1L=2*3,14*50* 0,0191=6 Ом
1 1
XC1 2π£1C 2*3,14*50*256*10-6 12 Ом
Первая гармоника: U1=169 sinωt (В)
R=8 Ом, XL1=6 Ом, XC1=12 Ом.
Полное сопротивление
Z1=
2+(XL1- XC1)2 =
2+(6-12)2=10 Ом.
Действующее значение напряжения
U1m 169
U1
, U1m=169, U1
≈ 120 B
Действующее значение тока
U1 120
I1 Z1 10 12 A
Третья гармоника: U3=45,4sin 3ωt, f3=3f1
Активное сопротивление R остаётся неизменённым и равным 8 Ом.
Индуктивное сопротивление зависит от частоты ( XL=2π£L ). Таким образом, при увеличении частоты в 3 раза индуктивное сопротивление так же увеличиться в 3 раза, т. е.
XL3 = 3* XL1 = 3*6=18 Ом
Емкостное сопротивление тока зависит от частоты (Хс= 2π£с) и при увеличении частоты в 3 раза оно уменьшится в 3 раза т. е.
Хс3 12
Хс3 3 3 4 Ом
Полное сопротивление
Z3=
3+(XL3-Xc3)2=
2+(18-4)2=16,1 Ом
Действующее значение напряжение
U3m 45,4
U3
32,2 B
Действующее значение тока
U3 32,2
I3 Z3 16,1 2 A
Действующее значение всего несинусоидального тока
I=
12+I23=
2+22=12,2 A
Действующее значение несинусоидального напряжения
U=
12+U32=
2+32,22=124 B.
Полная мощность
S=U*I=124*12,2=1512,8 Ba.
Активная мощность
P=I2R=12,22*8=1190 Вт.
В задачах 41-50 должны быть расчёты переходных процессов возникавших при заряде конденсатора от источника постоянного напряжения.
Пример 5
Конденсатор ёмкостью С=0,4 мкФ, соединённый последовательно с резистором R=2,5 МОм, подключается к постоянному напряжению U= 50 В.
Определить постоянную времени t и значения зарядного напряжения на конденсаторе для времени, равного t0=0, t1=t, t2=2t, t3=3t, t4=4t, t5=5t.
Построить график зависимости U=f(t)
Решение
1)Постоянная времени цепи
t=R*C=2,5*106*0,4*10-6=1c,
(здесь R в Омах, С в фарадах).
2)Напряжение на конденсаторе в любой момент времени при зарядке
1
U1=U(1-e r)
где е – основание натурального логарифма е=2,718
для времени t0=0
0
U=U(1-e r )=50(1-e0)=50(1-1)=0 B
для времени t1 = t
r
U1=U (1- er )=50(1-e-1)=50(1-0.367)=31.65 B
для времени t2=2t
2r
U2=U (1- er )=50(1-e-2)=50(1-0.135)=42.25 B
для времени t3=3t
3r
U3=U (1- er )=50(1-e-3)=50(1-0.0498)=47.51 B
для времени t4=4t
4r
U4=U (1- er )=50(1-e-4)=50(1-0.0183)=49.09 B
для времени t5=5t
5r
U5=U (1- er )=50(1-e-5)=50(1-0.0067)=49.07 B
Строим кривую зависимости напряжения от времени заряда конденсатора.
U(в)
50
40
![]() |
U=f(t)
30
20
10
1 2 3 4 6 t(c)