Математические модели надежности.

3.1 Показатели надежности.

Введем в рассмотрение непрерывную случайную величину {T} - время наработки до отказа, определим вероятность того, что случайная величина {T} не превысит любое наперед заданное значение текущего времени t Вер{T < t}, то есть вероятность того, что отказ произойдет на интервале [o, t]. Функция Q(t) = Вер{T < t} является законом распределения случайной непрерывной величины {T} в форме функции распределения. Закон распределения случайной величины устанавливает связь между случайной величиной и вероятностью ее появления. В теории надежности функция Q(t) называется вероятностью отказа.

При обработке результатов испытаний определяется статистическая функция распределения наработки до отказа. Эта функция характеризует вероятность (степень возможности) отказа отдельного образца данного типа в функции времени

Q(t) = n(t)/N₀ , где

n(t) – число отказавших образцов на момент времени t.

Так как для любого момента времени отказ и его отсутствие есть события противоположные, то сумма соответствующих вероятностей равна единице Q(t) + P(t) = 1. Откуда показатель надежности «вероятность безотказной работы» равен P(t) = 1 - Q(t). Вероятность безотказной работы – вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не произойдет.

Статистическое определение функции вероятности безотказной работы

P(t) = (N₀ – n(t))/N₀ = N(t)/N₀ , где

N(t) – число работоспособных образцов на момент времени t.

Для фиксированного момента времени t₀, распределение вероятностей по состояниям (0 и 1) соответствует ряду распределения рис.3.1.

P0	Q0

Рис. 3.1 Ряд распределения вероятностей по состояниям для фиксированного момента времени.

На рисунке: P₀ – вероятность безотказной работы, Q₀ – вероятность отказа при t=t₀. P(t) – убывающая функция с особыми точками: Р(0) = 1, P(¥) = 0.

Функция распределения наработки до отказа (функция вероятности отказа)

и функция вероятности безотказной работы представлены на рис.3.2.

Рис. 3.2. Функции вероятности безотказной работы – P(t) и вероятности отказа – Q(t).

Условная вероятность безотказной работы.

Выделим на временной оси наработки рис. 3.3 интервалы [0, t] и Dt.

t

0 Dt t

Рис.3.3 Ось наработки с временными интервалами

Исходя из логического утверждения, что безотказная работа на интервале (0,t + Dt) это безотказная работа на интервале (0,t) и безотказная работа на интервале (Dt), можно записать

P(t + Dt) = P(t) * P(Dt), где

P(t + Dt) и P(t) – безусловные вероятности безотказной работы на соответствующих интервалах,

P(Dt) – условная вероятность безотказной работы на интервале Dt. Условием является то, что на интервале t отказ не произошел. Откуда

P(Dt) = P(t + Dt)/ P(t).

Тогда условная вероятность отказа как противоположного события будет равна

Q(Dt) = 1 - P(Dt) = 1 - P(t + Dt)/ P(t) = (P(t) - P(t + Dt)) / P(t) = (1 - Q(t) – 1 + Q(t + Dt))/ P(t) = (Q(t + Dt) - Q(t)) / P(t).

Здесь Q(t + Dt) и Q(t) безусловные вероятности отказа на интервалах (0, t + Dt) и (0, t) соответственно.

Функция распределения плотности вероятности наработки до отказа f(t) есть производная функции распределения вероятности отказа. Эта функция является формой математического закона распределения случайной непрерывной величины {T}наработки до отказа. Таким образом,

f(t) = dQ(t)/dt = - dP(t)/dt.

Вид функций Q(t) и f(t) представлен на рис. 3.4.

Рис. 3.4 Функция распределения Q(t) и функция распределения плотности вероятности f(t) наработки до отказа.

Функция f(t) удовлетворяет условиям:

,

Статистическое выражение функции плотности распределения наработки до отказа имеет вид

f(t) = n(Dt)/(No* Dt), где

n(Dt) – число отказавших образцов на интервале Dt.

Интенсивность отказов – это условная плотность вероятности отказа, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ не произошел. Этот показатель не связан с моментом начала работы изделия.

Из определения интенсивности отказов следует, что

P(t)* l(t)* Dt = f(t)* Dt.

Физический смысл плотности вероятности отказа – это вероятность отказа в достаточно малую единицу времени. Из этого соотношения следует

l(t) = f(t)/ P(t).

Или это производная условной вероятности отказа

l(t) = dQ(Dt) / dt = (Q(t + Dt) - Q(t)) / (P(t) * Dt) = (1/ P(t)) * (dQ(t)/dt) = - (1/P(t)) * (dP(t)/dt) = f(t) / P(t).

Статистическое выражение интенсивности отказов

l(t) = n(Dt) / (N₀ * Dt) * (N₀/N(t)) = n(Dt) / ((N(t) * Dt).