Цепи с параллельным и смешанным соединением

Элементов цепи

Во многих случаях приходится встречаться с расчётом сложных электрических цепей синусоидального тока, которые в общем случае являются цепями со смешанным соединением сопротивлений (рис. 2.1). Эти электрические цепи могут быть разделены на участки с последовательным и участки с параллельным соединением сопротивлений.

При параллельном соединении сопротивлений (участок 1 − 2, рис. 2.1) параллельные ветви электрической цепи находятся под одним и тем же напряжением U₁ = U₁₂, поэтому для каждой из этих ветвей определение всех расчётных величин производится по формулам, справедливым для отдельных сопротивлений электрических цепей с последовательным соединением сопротивлений. Для участка цепи с параллельным соединением сопротивлений ток на разветвлённом участке определяется в соответствии с I законом Кирхгофа, записанным для узла разветвления в векторной форме:

Этот ток можно определить графически с помощью векторной диаграммы как сумму составляющих векторов токов, а также с помощью комплексных чисел, так как комплексный ток ,

т. е. равен сумме комплексных составляющих токов.

Комплексы токов в отдельных ветвях электрической цепи могут быть определены через комплексные сопротивления или комплексные проводимости соответствующих ветвей:

где в общем случае

При этом ток в неразветвлённой части цепи равен произведению напряжения на параллельном участке цепи на сумму комплексных проводимостей параллельно включённых сопротивлений

Сопротивления отдельных ветвей могут носить активно-реактивный характер при наличии индуктивных X_L и ёмкостных Х_С сопротивлений, поэтому в общем случае комплексные проводимости могут быть определены через активные q и реактивные bпроводимости:

Модули полных проводимостей ветвей:

С учётом этого комплекс полной проводимости участка электрической цепи с параллельным соединением сопротивлений:

При этом активные и реактивные проводимости:

При смешанном соединении сопротивлений (см. рис. 2.1) электрическая цепь при расчёте приводится к виду рис. 2.2.

Полное сопротивление Z₁₂ участка цепи 1 – 2 может быть определено через её полную проводимость:

При этом расчёт электрической цепи со смешанным соединением сопротивлений сводится к расчёту простейшей электрической цепи с последовательным соединением сопротивлений. Если при последовательном соединении сопротивлений векторная диаграмма строится, начиная с комплексного тока , который является общим для всех сопротивлений, то при параллельном и смешанном соединении сопротивлений векторную диаграмму строят, начиная с вектора напряжения на параллельном участке электрической цепи.

Литература. ГОСТ Р 52002 – 2003; [2] c. 67 − 87; [3] с. 66 – 93;

[4] с. 89 – 98, [5] с. 29 − 34.

Пример решения

Для последовательно − параллельной электрической цепи переменного тока (рис. 2.3, а,с. 21) определить токи I, I₁, I₂ на всех участках цепи, активную Р, реактивную Q и полную S мощности цепи. Построить векторную диаграмму напряжений и токов. Напряжение питания U = 127 В, активные и реактивные сопротивления цепи: R = 2 Ом; R₁ = 15 0м; R₂ = 10 Ом; X_L = 10 Ом, X_L1 = 10 Ом; X_L2 = 20 Ом; Х_С = 2 Ом; X_С1 = 20 Ом; Х_С2 = 30 Ом.

Решение. Полные сопротивления первой параллельной ветви

и второй параллельной ветви:

Активные проводимости первой и второй параллельных ветвей:

Суммарная активная проводимость параллельного участка цепи:

Реактивные проводимости первой и второй параллельных ветвей:

Общая реактивная проводимость параллельного участка цепи:

b₁₂ = b₁ + b₂ = − 0,0308 – 0,05 = − 0,081 См.

Полная проводимость параллельного участка цепи:

Полное сопротивление этого участка цепи:

Активное и реактивное сопротивления параллельного участка цепи:

Активное и реактивное сопротивления всей цепи:

R_Ц = R + R₁₂ = 2 + 6,1 = 8,1 Ом,

Х_Ц = X_L + (−X₁₂) + (−X_C) = 10 – 5,16 – 2 = 2,84 Ом.

Полное сопротивление всей цепи:

Ток в неразветвленной части цепи:

Напряжения на отдельных участках цепи:

Токи в первой и во второй параллельных ветвях:

Коэффициенты мощности всей цепи:

Коэффициент мощности участка 3 – 1 цепи:

откуда .

Коэффициент мощности участка 1 − 2 цепи:

для первого параллельного участка:

откуда

для второго параллельного участка:

откуда

для всего участка 1− 2 цепи:

Коэффициент мощности участка 2 – 4 цепи: ,

( ).

Активная мощность отдельных участков цепи:

Суммарная активная мощность всей цепи:

Реактивная мощность отдельных участков цепи:

Суммарная реактивная мощность всей цепи:

Векторная диаграмма для электрической цепи дана на рис. 2.3, б,с. 21.

Для построения векторной диаграммы составим уравнения по I и II законам Кирхгофа для схемы на рис. 2.3, а:

I з. К.: (1)

II з. К.: (2)

Выбираем масштабы токов и напряжений. На комплексной плоскости строим горизонтально по действительной оси вектор напряжения на параллельном участке электрической цепи. Векторы токов опережают вектор на , , т. к. в ветвях 1 – 2 преобладает активно-ёмкостной характер нагрузки. Согласно уравнению (1) общий ток равен векторной сумме токов и опережает вектор на Строим уравнение (2). Необходимо сложить три вектора напряжений К концу вектора под к вектору тока строим в масштабе напряжений вектор (опережает , т. к. нагрузка в ветви 3 – 1 имеет активно-индуктивный характер). Затем к концу вектора прибавляем вектор , перпендикулярный вектору тока (отстаёт от , т. к. нагрузка в ветви 2 – 4 ёмкостная). Соединив начало координат с концом вектора получим вектор напряжения согласно условию задачи. В результате вектор напряжения опережает вектор тока , т. к. согласно расчёту вся сложная цепь имеет активно-индуктивный характер, т. е. задача решена верно.

Контрольное задание

Задача № 3

Электрическая цепь переменного синусоидального тока с частотой

f = 50 Гц (рис. 2.4, с. 25), находящаяся под действием напряжения U, содержит активные R₁ − R₅ сопротивления, реактивные индуктивные Х_L2, Х_L3, X_L6 и реактивные ёмкостные Х_C1, Х_C4, Х_C7 сопротивления. По данным таблицы 2.1 (стр. 26 – 27) с учётом положения выключателей В₁ − В₇ определить для данного варианта задания приведённые в ней величины. Проверить соблюдение баланса полных S, активных Р и реактивных Q мощностей, построить векторную диаграмму напряжений и токов.

Дополнительное задание. Определить комплексные Y, активные q и реактивные b проводимости отдельных участков и всей электрической цепи.

Примечание. Для вариантов 31 – 60 величину сопротивления R₅ уменьшить в два раза.

Задача № 4

Используя данные, приведённые в таблице 2.2 (стр. 28) для электрической цепи переменного тока (рис. 2.5, с. 25) для каждого варианта задания, определить напряжение U, действующее на зажимах цепи, показание ваттметра W, ёмкость С₂ конденсатора при резонансе токов,

если на участке 1 – 2 электрической цепи амперметр А показывает ток

I = 6 A, а частота тока питающей цепи f = 50 Гц. Построить векторную диаграмму токов и напряжений для всей электрической цепи.

Дополнительное задание. Определить активное R, реактивное Х и полное сопротивление Z и соответствующие проводимости q, b и Y, а также коэффициенты мощности cos φ, полную S, активную Р и реактивную Q мощности ветвей и всей электрической цепи переменного тока.

Примечание. Для вариантов 31 – 60 величину сопротивления R₁ увеличить в

два раза.

Рис. 2.4

Таблица 2.1

Величины

Варианты контрольного задания

U, В

-

-

-

-

-

UI3, В/ I3, А

-

32/-

-

-

32/-

-

-

-

-

-/ 5

-

32/-

-

-

32/-

R1, Ом

-

-

-

-

-

-

R2, Ом

-

-

-

-

-

-

-

-

R3, Ом

-

R4, Ом

-

-

-

R5, Ом

XL2, Ом

-

-

-

-

-

-

-

-

-

XL3, Ом

-

XL6, Ом

-

-

-

-

-

-

XС1, Ом

-

-

-

-

-

-

XС4, Ом

-

-

-

XС7, Ом

-

-

-

-

-

Выключатели замкнуты

В1

В2

В1

В1

В2

В1

В2

В1

В1

В2

В1

В2

В1

В1

В2

В4

В3

В3

В4

В3

В3

В3

В3

В4

В3

В4

В3

В3

В4

В3

В5

В5

В4

В5

В5

В5

В5

В5

В5

В4

В5

В5

В4

В5

В5

В7

В6

В5

В7

В6

В6

В7

В6

В7

В5

В7

В6

В5

В7

В6

В3

В7

В6

В3

В4

В7

В4

В7

В6

В6

В3

В4

В7

В3

В4

Необходимо определить

Iр4

Iа1

Z3

Р

Iа3

cos φ1

Р3

Р4

Р

Iа4

Р4

Q

cos z3

Iр3

Iа3

cos φ4

Q3

Р5

Q

cos φ1

cos φ1

cos φ1

Р3

cos φ4

S2

cos φ2

cos φ1

S2

cos φ3

Величины

Варианты контрольного задания

U, В

-

-

-

-

UL3, В/ I3, А

-

-

-

-

-/ 5

-

64/-

-

-

-/ 5

-

-

-

32/-

-

R1, Ом

-

-

-

-

-

-

R2, Ом

-

-

-

-

-

-

-

-

-

R3, Ом

-

-

R4, Ом

-

-

-

R5, Ом

XL2, Ом

-

-

-

-

-

-

-

-

-

XL3, Ом

-

-

XL6, Ом

-

-

-

-

XС1, Ом

-

-

-

-

-

-

XС4, Ом

-

-

-

XС7, Ом

-

-

-

-

-

-

-

Выключатели замкнуты

В1

В2

В1

В1

В2

В1

В2

В1

В1

В2

В1

В2

В1

В2

В1

В3

В3

В3

В4

В3

В4

В3

В3

В4

В3

В3

В3

В3

В3

В3

В5

В5

В5

В5

В4

В5

В5

В4

В5

В4

В5

В5

В5

В5

В4

В6

В7

В6

В7

В5

В7

В6

В5

В7

В5

В6

В7

В6

В6

В5

В4

В6

В7

В3

В7

В6

В4

В7

В6

В7

В4

В6

В4

В4

В6

Необходимо определить

Iа3

Iа3

Q3

Iа4

Iа2

Р3

Iа3

Р3

Iр3

Р1

Р3

Р3

Р4

Iр2

S

Р2

Q4

Iр3

Р3

S1

S

S2

S

Q4

Q4

Q

Q2

S2

S1

S2

S3

Р3

sin φ3

Iа1

cos φ2

cos φ1

cos φ

S

S

cos φ3

cos φ3

cos φ4

S

cos φ1

cos φ3

cos φ3

Таблица 2.2

Варианты	Варианты контрольного задания	Варианты	Варианты контрольного задания
Величины, Ом	Величины, Ом
	R1	R2	XL1	XL2	XС1		R1	R2	XL1	XL2	XС1
							1,5	1.5		А
									1,5	2,5
				й
					5 '

Раздел 3. Трёхфазные трёхпроводные и четырехпроводные

Электрические цепи

Трёхфазная четырёхпроводная система питания потребителей электроэнергии, широко распространённая в низковольтных сетях, позволяет получить для питания потребителей два напряжения − линейное U_л

и фазное U_ф.

При смешанной силовой и осветительной нагрузках силовые низковольтные потребители электроэнергии питаются линейными напряжениями (U_л=660; 380; 220 В). Для осветительной нагрузки используются фазные напряжения U_ф=220; 127 В.

В трёхфазных четырёхпроводных электрических цепях при наличии

линейных проводов, соединяющих начала фаз источника питания и

потребителя электроэнергии, имеется также нейтральный провод, соединяющий нейтральную точку Nисточника с нейтральной точкой ппотребителя (рис. 3.1), что обеспечивает симметрию фазных напряжений источника и потребителя, так как нейтральный провод уравнивает потенциалы нейтральных точек Nи п.

В четырёхпроводных электрических цепях фазы источника и фазы потребителя соединяются всегда «звездой».

При несимметричной нагрузке комплексные сопротивления фаз потребителя не одинаковы (Z_a≠Z_b≠Z_c), при этом комплексное напряжение , действующее между нейтральными точкамиNи псистемы, определяют по методу двух узлов

где ,E_C − комплексные ЭДС источника питания;

− комплексные

проводимости фаз потребителя и нейтрального провода.

При симметричной нагрузке Z_a= Z_b = Z_c сумма комплексных токов в точке n разветвления цепи, записанная в соответствии с I законом Кирхгофа:

т. к. ток в нейтральном проводе I_N = 0. При этом напряжение, действующее

между нейтральными точками:

Пренебрегая внутренним сопротивлением симметричного источника питания и учитывая, что ЭДС комплексное

напряжение, действующее между нейтральными точками системы, определяют исходя из выражения

где поворотные множители (операторы).

Комплексные фазные напряжения потребителя электроэнергии находят из уравнений, составленных по II закону Кирхгофа для соответствующих замкнутых контуров системы (рис. 3.2):

При этом комплексные фазные токи потребителя определяют по закону Ома для соответствующих участков цепи:

Комплексный ток в нейтральном проводе находят в соответствии с уравнением, составленным по I закону Кирхгофа для нейтральной точки n цепи:

При симметричной нагрузке фазные напряжения: U_a = U_b = U_c = U_ф,

при этом

При обрыве нейтрального провода его полное сопротивление а полная проводимость Y = 0.

При несимметричной нагрузке потребителя электроэнергии

(Z_a ≠ Z_b ≠ Z_c) на векторной диаграмме происходит смещение нейтральной точки ппотребителя относительно нейтральной точки N источника, что приводит к перекосу фазных напряжений потребителя. В результате на одних фазах потребителя напряжение будет больше, чем на других, что во многих случаях недопустимо, в частности при питании осветительной нагрузки, когда одни осветительные приборы находятся под напряжением, меньшим номинального, а другие − под напряжением, большим номинального, что приводит к преждевременному выходу приборов из строя. Поэтому в цепи нейтрального провода недопустимо наличие различного рода предохранителей и выключателей.

Трёхфазная четырёхпроводная система обеспечивает потребителя электроэнергии симметричным питанием. При этом активная, реактивная и полная мощности могут быть определены по следующим формулам с учётом знака реактивных сопротивлений:

где При симметричной нагрузке эти формулы приводятся к виду:

Литература. ГОСТ Р 52002 – 2003;[2] с. 107 − 119;

[3] с. 123 – 144; [4] с. 211 – 219, [5] с. 41 − 43.

Примеры решения

Задача № 1

Трёхфазный потребитель электроэнергии с активными и реактивными сопротивлениями

R₁ = 10 Oм, R₂ = R₃ = 5Oм и

X_L = X_C = 5 Oм фаз соединён «треугольником» (рис 3.3) и включён в трёхфазную сеть с линейным напряжением

U_Л = 100 В при симметричном питании. Определить:

1. Показания амперметра А при отключении (обрыве) линейного провода С (выключатель В разомкнут); 2. Фазные I_Ф и линейные I_Л токи, а также активную Р, реактивную Q и полную S мощности каждой фазы и всей электрической цепи (при замкнутом выключателе В ). Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Решение. Полное сопротивление параллельного участка цепи при обрыве линейного провода

Т. к. реактивные сопротивления Х_L = X_C, то в цепи возникает резонанс напряжений, и она ведёт себя как активное сопротивление (Z₁ = R = 10 Oм).

Общее сопротивление цепи при обрыве линейного провода:

Показание амперметра при обрыве линейного провода С:

Фазные токи потребителя при замкнутом выключателе В:

Векторная диаграмма токов и напряжений с учётом характера нагрузки представлена на рис 3.4.

− вектор тока опережает вектор напряжения,

− вектор тока отстаёт от вектора напряжения.

Составляющие фазных токов:

активные:

реактивные:

Линейные токи потребителя электроэнергии определяют исходя из векторной диаграммы (рис. 3.4):

Мощности фаз потребителя:

активные:

реактивные:

где знак минус указывает на ёмкостный характер мощности.

Полные мощности фаз потребителя:

Мощности всей цепи:

активная:

реактивная:

полная:

Задача № 2

Для трёхфазной электрической цепи (рис. 3.5, а) определить линейные токи I_Л и активную мощность Р, потребляемую цепью, если линейное симметричное напряжение питающей сети U_Л = 220 В, а активные и реактивные сопротивления: R = 5 Ом, Х_C = 5 Ом, Х_L = 5 Ом. Построить векторную диаграмму напряжений и токов.

Решение. Комплексные сопротивления фаз потребителя:

Комплексные напряжения фаз (направляем вектор комплексного напряжения U_AB по оси действительных чисел):

Фазные токи потребителя электроэнергии:

или

или

или

Линейные токи потребителя:

или

s New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t> </m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> или

или

.

Векторная диаграмма токов и напряжений для рассматриваемой цепи приведена на рис. 3.5, б.

Контрольное задание

Задача № 5

Три потребителя электроэнергии, имеющие одинаковые полные сопро­тивления фаз Z_ф, соединены «звездой» и включены в четырёхпроводную трёхфазную сеть с системой симметричных линейных напряжений U_л. Определить токи I_ф по фазам и в нейтральном проводе I_N, а также мощность Р трёхфазной цепи с учётом данных, привёденных в таблице 3.1 (с. 38) для каждого варианта задания. Составить электрическую схему питания. Построить векторную диаграмму напряжений и токов с учётом характера нагрузки.

Дополнительное задание. Пояснить, в каких случаях используются трёх и четырёхпроводные трёхфазные электрические цепи? Объяснить назначение нейтрального провода в четырёхпроводных трёхфазных электрических цепях. Дать разъяснение, почему в нейтральные провода не устанавливают предохранители и выключатели?

Примечание. В вариантах 31 − 60 фазное сопротивление Z _ф уменьшить в два раза.

Задача № 6.

Потребитель электроэнергии, фазы которого имеют комплексные сопротивления: и соединены в трёхфазную электрическую цепь «треугольником» (рис. 3.6), питается симметричной системой линейных напряжений: U_АВ = U_ВС = U_СА = U_Л. По данным таблицы 3.2 (с. 39) для каждого варианта задания определить фазные I_Ф и линейные I_Л токи потребителя и показания ваттметров W1 и W2. Определить полную и реактивную мощности всей системы, активную мощность системы определить по формуле Арона. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Примечание. В вариантах 33 – 60 имеет место обрыв в фазе ВС.

Таблица 3.1

Варианты	Контрольное задание
Величины
Uл, В	Zф, Ом	Фаза А	Фаза В	Фаза С
cos φа	характер нагрузки	cos φв	характер нагрузки	cos φс	характер нагрузки
				R	0,865	R, XL	0,865	R, XС
				XС	0,705	R, XL	0,5	R, XС
		12,7		R	0,5	R, XС	0,865	R, XL
			0,705	R, XС		R	0,5	R, XL
				R	0,865	R, XL	0,705	R, XС
				XL	0,5	R, XС		R
			0,5	R, XL	0,865	R, XС	0,5	R, XС
			0,865	R, XС	0,865	R, XL		R
				R	0,5	R, XL	0,705	R, XС
				R	0,705	R, XС	0,865	R, XL
			0,62	R, XС		R	0,38	R, XL
			0,5	R, XL	0,45	R, XС		R
				R	0,6	R, XL	0,8	R, XС
			0,72	R, XС		R	0,28	R, XL
			0,705	R, XL	0,705	R, XС		R
				R	0,37	R, XL	0,63	R, XС
				R	0,45	R, XС	0,28	R, XL
				R	0,5	R, XL	0,5	R, XС
		12,7	0,5	R, XL		R	0,9	R, XС
		12,7	0,705	R, XL	0,705	R, XС	0,2	R, XL
			0,865	R, XL		XС		R
				R	0,38	R, XL	0,5	R, XС
			0,865	R, XL	0,705	R, XС	0,865	R, XС
			0,45	R, XС	0,705	R, XL		R
			0,8	R, XL	0,6	R, XС		R
				R	0,9	R, XL	0,865	R, XС
			0,705	R, XС	0,705	R, XL		XС
			0,5	R, XС		R	0,8	R, XL
				R	0,5	R, XL	0,5	R, XС
			0,67	R, XL	0,4	R, XС		R

Таблица 3.2