Расчет электрических цепей с одним источником

Схемы электрических цепей.Главной задачей расчета электрической цепи является определение токов отдельных элементов цепи (источников, приемников, приборов и др.)- Определив значение тока, легко найти напряжение, мощность. Значения этих величин необходимы для того, чтобы правильно выбрать или оценить условия работы элементов цепи, путем сравнения рабочих величин с номинальными. Расчеты проводят по схемам электрических цепей.

Схема электрической цепи—это графическое изображение, содержащее, условные обозначения элементов электрической цепи и показывающее соединения между ними. Различают принципиальные схемы, схемы соединений и схемы замещения.

Принципиальные схемы, на которых в виде условных обозначений представлен полный состав элементов цепи и связи между ними, позволяют получить детальное представление о работе электроустановки при ее изучении.

На схемах соединений (монтажных), по которым осуществляется монтаж электроустановок, показаны места соединения составных частей установки, точки при­соединения и ввода проводов, жгутов, кабелей.

Если в принципиальной схеме опустить элементы, которые не влияют на расчет цепи (приборы, предохра­нители, выключатели и др.), а остальные заместить (заменить) их сопротивлениями R и ЭДС £, получим схему замещения, используемую при расчетах.

Наиболее общим случаем цепи с одним источником является цепь со смешанным соединением сопротивлений (см. рис. 2.11, 2.16). Расчет этих цепей основывается на использовании закономерностей последовательного и параллельного соединения сопротивлений.

Последовательное соединение сопротивлений.При последовательном соединении элементов цепи конец первого элемента присоединяется к началу второго, конец второго — к началу третьего ит. д. В результате образуется неразветвленная ветвь цепи, на всех участках которой, в соответствии с положением (3) , один и тот же ток.

К двум узлам схемы на рис. 2.11 (узел — это место соединения ветвей) присоединены четыре ветви.

В одной из них соединены последовательно источник и сопротивления R₁ и R₂. Соединение сопротивлений R₁ и R₅ нельзя назвать последовательным, так как через них проходят разные токи.

По второму закону Кирхгофа U = U₁+U₂+U₃,

U = IR₁ + IR₂ + IR₃ ; (2.19)

I= U/(R₁ + R₂ + R₃) = U/R, (2.20)

где R— общее сопротивление цепи:

R =R₁ + R₂ + R₃ (2.21)

Таким образом, при последовательном соединении сопротивлений: 1) на всех элементах один и тот же ток; 2) общее (эквивалентное) сопротивление ветви равно сумме сопротивлений ее элементов; 3) общее напряжение ветви, распределяясь на элементах прямо пропорционально их сопротивлениям, равно сумме напряжений

участков ветви (1).

На практике при необходимости уменьшить напряжение и ток приемника последовательно ему подключают резистор (2). Например, лампочка карманного фонарика, рассчитанная на ток 0,2А, и имеющая R = 20 Ом, при прямом включении в сеть 220 В перегорит, так как ток I = U/R = 220/20 = 11А значительно превышает допустимый ток 0,2А. Если же последовательно лампочке включить резистор R = 1200 Ом (рис. 2.13), то I= U/(R₁ +R₂) = 0,18А, что допустимо. При этом напря­жение на лампочке уменьшается

до U₂ = IR ₂=0,18 • 20 = 3,6В (при напряжении источника 220 В).

Иногда уменьшение напряжения осуществляется по схеме делителя напряжения (рис. 2.14). В этой схеме сопротивления резисторов R₁ и R₂ можно подобрать так, чтобы получилось на выходе нужное напряжение U₂.

Применение последовательного соединения элементов ограничено его недостатками: при выходе из работы одного элемента нарушается работа других элементов ветви, и при изменении сопротивления одного из элементов изменяются ток и напряжения на других элементах. Параллельное соединение сопротивлений.При параллельном соединении элементов цепи все они присоединены к одной паре узлов, т. е. находятся под действием одного и того же напряжения.

Из закона Ома следует, что при параллельном соединении приемников ток и напряжение каждого из них не зависят от числа приемников, если напряжение источника неизменное. При этом включение и отключение одного из приемников не влияет на работу других. Поэтому параллельное соединение элементов нашло широкое применение на практике.

В соответствии с балансом мощностей:

Р = Р₁+Р₂ + Р₃;

UI = UI₁ + UI₂ + UI₃;

I = I₁ + I₂ + I₃ . (2.22)

С другой стороны, используя выражение (2.11), получаем:

P ₌ P₁ + P₂ + P_3;

U ²g = U² g₁+ U² g₂ +U²g₃ (2.23)

g = g₁ + g₂ + g ₃ ,

где g — общая проводимость всей цепи.

Таким образом, при параллельном соединении сопротивлений:

1) напряжения на всех сопротивлениях одинаковые;

2) общая (эквивалентная) проводимость цепи равна сумме проводимостей параллельных ветвей;

3) общий ток цепи равен сумме токов ветвей (3).

Используя уравнения (2.9) и (2.23), получаем выражение для расчета эквивалентного сопротивления цепи.

1/R = 1/R₁ + 1/R₂+ 1/R₃. (2.24)

При параллельном соединении двух сопротивлений

R = R₁R₂ /(R₁+R₂).

При параллельном соединении п одинаковых сопро­тивлений

R = R₁ /n.

Уравнение (2.22) представляет собой частный случай первого закона Кирхгофа: сумма токов, направленных к узлу электрической цепи, равна сумме токов, направленных от узла.

При расчете цепей со смешанным соединением сопротивлений применяют метод преобразования (свертывания) схем. Сущность метода заключается в замене отдельных групп последовательно или параллельно соединенных сопротивлений эквивалентными сопротивлениями.

ТЕМА 3. ЭЛЕТРОМАГНЕТИЗМ.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Магнитное поле создается токами и намагниченными телами и оказывает воздействие на токи и намагниченные тела.

В разных областях техники целенаправленно используются те или иные свойства и особенности магнитного поля. Так, в магнитной подвеске транспортных средств (позволяющей достигнуть скоростей до 500 км/ч) используются силовые свойства магнитного поля, в магнитной дефектоскопии — способность магнитного поля изменять свои характеристики в местах дефектов стальных деталей, в магнитном охлаждении (позволяющем достигать темпе­ратур 10 ^-3 К) — способность веществ резко охлаждаться при быстром выключении магнитного поля, в магнитном обогащении железных и марганцевых руд — способность магнитного поля воздействовать на ферромагнитные мате­риалы и

т.д. Выделились даже отдельные отрасли науки, такие как магнитооптика, магнитобиология, магнитная гидродинамика и др.

В электротехнике используются силовые и энергети ческие способности магнитного поля как материального «посредника» при преобразованиях энергии в электрических машинах, трансформаторах, электроизмерительных приборах, электромагнитах.

В физике магнитное поле образно изображают замкнутыми силовыми линиями и считают, что совокупность, т. е. количество, сумма этих линий, есть магнитный поток Ф (его можно сравнить с дождевым потоком либо световым).

Единица магнитного потока — вебер (Вб). Интенсивность магнитного поля в отдельных точках оценивается плотностью магнитного потока Ф/S, назы­ваемой магнитной индукцией:

В = Ф/S, (3.1)

где S — площадь поперечного сечения магнитного потока (см. рис. 3.1) однородного поля.

Силовые линии магнитного поля принято называть линиями магнитной индукции. Однородным (равномерным) называется магнитное поле, во всех точках которого одинаковая магнитная индукция.

Единица магнитной индукции — тесла (Тл).

Векторы магнитной индукции направлены по касатель­ной к линиям магнитной индукции.

На рис. 3.2, а показаны магнитные поля прямо­линейного провода с током и витка (контура) с током.

Рис. 3.2

За положительное направление магнитного поля условно принято направление северного полюса магнитной стрелки, расположенной в магнитном поле. Проще всего направление магнитного поля определить по правилу правой руки: 1) если отставленный под прямым углом в плоскости ладони большой палец правой руки совместить с направлением тока, то четыре пальца, охватывающие прямолинейный провод, покажут направление поля; 2) если четыре пальца правой руки совместить с направлением тока в витке (обмотке), то большой палец, отставленный под прямым углом в плоскости ладони, покажет направ­ление поля.

Способность токов создавать в окружающей их среде магнитный поток характеризуется физической величиной, называемой магнитодвижущей силой F. Направление МДС совпадает с направлением линий магнитной индукции и рассматривается вдоль замкнутых контуров.

Единица МДС, как и токов, которые ее создают,— ампер (А).

Значение МДС определяется значением токов, которые ее создают, и не зависит от размеров и конфигурации контуров, вдоль которых она берется.

По правилу правой руки токи I₁ и I₂ стремятся создать МДС по часовой стрелке, а ток I₃ — против часовой стрелки.

Поэтому, результирующая МДС F= I₁+I₂ -I₃, а в общем случае

F=ΣI (3.2)

Алгебраическая сумма токов ΣI, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром, называется полным током. Выражение (3.2) отражает закон полного тока: МДС вдоль контура равна полному току, проходящему сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.

В соответствии с законом полного тока для магнитной цепи

(см.рис. 3.1)

F = Iw, (3.3)

где w — число витков обмотки электромагнита.

3.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СИЛЫ

Одним из способов создания электромагнитных сил является магнитоэлектрический способ, при ко­тором осуществляется взаимодействие магнитного поля постоянного магнита и магнитного поля проводника с током. На магнитоэлектрическом принципе основано действие ряда электроизмерительных приборов, электродвигателей и других устройств.

Направление электромагнитной силы определяется по правилу левой руки: если в ладонь левой руки входят линии магнитной индукции поля, а вытянутые четыре пальца совпадают с направлением тока, то отогнутый под прямым углом (в плоскости ладони) большой палец левой руки указывает направление электромагнитной силы (1).

Если увеличить ток I провода, или его длину l, или магнитную индукцию В однородного поля, то прямо пропор­ционально этим величинам возрастет электромагнитная сила, т. е.

F_м = BIl (3.10)

Особый интерес представляет поведение в магнитном поле контура с током (например, витка обмотки электроизмерительного прибора или электродвигателя).

Электромагнитные силы, действующие на противоположные стороны

контура, равны (рис.3.17)т. е. F₁=F₄, F₂ = F₃ Поэтому контур перемещаться не будет.

Чтобы пара сил F₁, F₄ создала вращающий момент (рис. 3.18), контур нужно расположить так, чтобы линии индукции В_к собственного магнитного поля контура находились под углом α к линиям индукции В внешнего поля. При этом под действием пары сил F₁, F₄ контур с током стремится занять положение, при котором его пронизывает максимальный магнитный поток внешнего поля и собственное поле контура совпадает по направлению с внешним (2).

Направление собственного поля контура, определенное по правилу правой руки, встречно внешнему. Поэтому контур в соответствии с положением (2) повернется на 180°.

При перемещении провода с током I длиной l на рас­стояние d в однородном магнитном поле (рис. 3.20) совершается работа

А = Fd = IBld = IBS = IФ,

где Ф — магнитный поток, который пересек провод при движении.

Работа электромагнитных сил при повороте контура определяется

следующим образом:

А=1∆Ф, (3.13)

где ∆Ф — приращение магнитного потока, пронизывающе­го контур.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

Явление электромагнитной индукции имеет большое практическое значение, так как оно лежит в основе уст­ройства электрических генераторов, трансформаторов и ряда других приборов.

Электромагнитная индукция — это явление возникновения ЭДС

в проводнике под действием магнитно­го поля. Если проводник и магнитное поле друг по отноше­нию к другу неподвижны, ЭДС не возникает.

На свободные электроны проводника, движущиеся вместе с ним в магнитном поле (рис. 3.23), действуют электромагнитные силы (силы Лоренца) F_л, создающие ЭДС. Эти силы возникают за счет взаимодействия магнитного поля, образованного в результате движения электронов, с внешним магнитным полем. Под действием сил Лоренца, направленных по правилу левой руки вдоль провода, электроны перемещаются к одному концу проводни­ка, где создается избыточный отрицательный заряд, а на другом конце образуется такой же по величине положительный заряд. Движение электронов прекратится, когда силы электрического притяжения разделенных зарядов (силы Кулона) F_к уравновесят силы Лоренца, т. е. когда F_к = F_л

При движении проводника вдоль линий магнитной индукции силы Лоренца не возникают.

Таким образом, магнитное поле порождает в проводни­ке электрическое поле и ЭДС при условии, что проводник и линии магнитной индукции пересекаются (1). При этом не имеет значения, движется проводник или магнитное поле.

Направление ЭДС в проводнике определяется по правилу правой руки: если в ладонь правой руки входят линии магнитной индукции поля, а отставленный под пря­мым углом в плоскости ладони большой палец указывает направление движения проводника, то вытянутые четыре пальца правой руки указывают направление ЭДС.

Экспериментально установлено, что в проводе длиной l, пересекающем со скоростью v линии магнитной индукции поля под углом α, возникает ЭДС:

E=Blv sin α. (3.21)

Если за время ∆t провод пройдёт путь ∆b, то v = ∆b/∆t, и при α=90º

E=Bl∆b/∆t=B∆S/∆t=∆Ф/∆t,

где ∆Ф –магнитный поток, пересекаемый проводом.

При движении контура в однородном магнитном поле (рис. 3.24) в его противоположных сторонах возникают численно равные и направленные навстречу друг другу ЭДС Е₁ и E₂, сумма которых равна нулю. При этом магнитный поток, пронизывающий контур, не изменяется. ЭДС в контуре возникает при его движении в сторону более густых или редких силовых линий неоднородного поля, когда, например,В₁>В₂, т. е. Е₁>Е₂ и резуль­тирующая ЭДС е = Е₁ -Е₂ = ∆Ф₁/∆t — ∆Ф₂/∆t =(∆Ф₁ —∆Ф₂)/∆t = ∆Ф/∆t, где ∆Ф — приращение магнитного потока внутри контура. Заменив элементарные приращения ∆Ф и ∆t бесконечно малыми приращениями dФ и dt, получаем

e = dФ/dt. (3.22)

ЭДС в контуре равна скорости изменения магнитного потока и индуцируется в нем лишь в случае, если магнитный поток, пронизывающий контур, изменяется во времени (2). При этом изменяющееся магнитное поле порождает в контуре электрическое поле, называемое вихревым.

А как определить направление ЭДС в контуре? Изме­няющийся во времени магнитный поток Ф, действуя, наво­дит в контуре ЭДС е, которая создает ток i, образующий собственный магнитный поток Ф_i (рис. 3.25). Действию Ф оказывает противодействие Ф_i, так, что если Ф возрастает, Ф_i направлен встречно ему, противодействуя его возраста­нию, а если Ф уменьшается, Ф_i направлен согласно с ним, противодействуя уменьшению Ф. Учитывая это, легко определить направление е и i, создающих необходимое направление Ф_i. ЭДС индукции имеет такое направление, при котором создаваемый ею в замкнутом контуре индукционный ток своим магнитным полем препятствует при­чине, вызывающей появление этой ЭДС. Это положение называется законом Ленца.

Так как ЭДС противодействует изменению магнитного потока, то в формуле (3.22) проставляется знак «минус»:

е= —dФ/dt. (3.23)

Итак, чтобы определить направление ЭДС индукции, необходимо: 1) выяснить, какое направление имеет маг­нитный поток, вызывающий эту ЭДС, и как он изменяется (увеличивается или уменьшается); 2) сделать вывод по закону Ленца о том, как должен быть направлен собственный магнитный поток Ф_i; 3) по направлению Ф_i определить направление е и i.

Частными случаями проявления электромагнитной индукции являются самоиндукция и взаимоиндукция.

Явление возникновения ЭДС в катушке (в цепи) под действием собственного тока называется самоиндукцией, а возникающая ЭДС называется ЭДС самоиндукции e_L.

Явление возникновения ЭДС в катушке под действием тока соседней катушки, расположенной рядом, называется взаимоиндукцией, а возникающая ЭДС — ЭДС взаимоиндукции е_м.