Обробка результатів вимірювань. Вимушені електричні коливання і послідовний електричний резонанс.

Лабораторна робота № 45

Вимушені електричні коливання і послідовний електричний резонанс.

Теоретичні відомості

В роботі досліджуються вимушені коливання, що виникають у коливальному контурі під впливом зовнішньої ЕРС, що змінюється з часом за гармонічним законом. Електричні коливання можна збудити, якщо ввімкнути послідовно з елементами контура змінну ЕРС чи, розірвавши контур, подати на контакти, що утворилися, змінну напругу U.

Припустимо, що до електричного контура, що складений з послідовно з'єднаних опору R, конденсатора С і котушки індуктивності L (Рис. 1), прикладено напругу, що змінюється за законом:

. (1).

Позначимо через U напругу на конденсаторі, а через I – струм у контурі. Прирівняємо суму спадів напруги на елементах контура і прикладену напругу:

. (2)

Нехай заряд конденсатора дорівнює q, а його ємність С. Виразимо величини струму I та напруги U через заряд q:

; ;

Підставляючи ці значення у (2), одержимо:

. (3)

Розділимо обидві частини рівняння (3) на L, одержимо:

. (4)

Введемо позначення:

, , де – частота коливань контура, а – коефіцієнт його згасання. Тоді рівняння (4) матиме вигляд:

. (5)

Окремий розв’язок цього рівняння має вигляд:

, (6)

де

;

Сила струму I в контурі, за умови, що коливання установились, змінюється за законом:

, (7)

де – зсув фаз між струмом I в контурі і прикладеною напругою U. Значення I_т (амплітудне значення струму в контурі) і визначаються за формулами:

Величина називається повним опором контура, опір R називається активним опором, а величина реактивним опором контура. Величини

та (10)

називаються відповідно ємнісним та індуктивним опорами.

Як видно з (8), амплітуда вимушених коливань залежить від частоти прикладеної напруги і від параметрів контура R, L і C. При певній визначеній для даної системи частоті амплітуда коливань досягає максимального значення. Коливальна система виявляється особливо чутливою, якщо діюча на неї сила має саме таку частоту. Явище різкого зростання амплітуди коливань у випадку, коли збігаються частота змушуючої сили із власною частотою коливань системи (контура), називається резонансом, а відповідна частота – резонансною частотою.

Розрізняють резонанс струмів і резонанс напруг. Розглянемо резонанс струмів. Амплітуда сили струму (8) має максимальне значення при . Отже, резонансна частота для сили струму збігається з власною частотою контура:

Залежності амплітуди вимушених коливань від частоти змушуючої сили для різних параметрів , подані графічно, називаються резонансними кривими. На Рис. 2 показані резонансні криві для сили струму. Відрізок, що відсікається резонансними кривими на осі I_т, дорівнює нулю – при постійній напрузі усталений струм у колі конденсатора текти не може. Гострота максимуму збільшується зі зменшенням опору R.

Резонансна частота , що відповідає максимуму амплітуди струму в контурі при вимушених коливаннях, не залежить від R.

Резонанс напруг виникає за умови, що спад напруги на активному опорі дорівнює зовнішній напрузі, прикладеній до кола, а спад напруги на ємності U_c і індуктивності U_L однакові за амплітудою і протилежні за фазою. Явище резонансу напруг характерне тим, що повний опір кола виявляється чисто активним і має найменшу можливу при даних параметрах кола величину. Резонансні криві в цьому випадку мають вигляд, показаний на Рис. 3. При резонансні криві прямують до U_ст = U_т. Максимум при резонансі виходить тим вищий і гостріший, чим менший коефіцієнт згасання , тобто чим менший активний опір і більша індуктивність контура.

Коливальний контур часто характеризують його добротністю Q, що визначається як величина, обернено пропорційна логарифмічному декременту загасання:

, де N_е – число коливань, протягом яких амплітуда коливань зменшується в е раз. Якщо загасання невелике ( ), то

(11)

При слабкому згасанні добротність контура виявляється пропорційною відношенню енергії, накопиченої в контурі, до втрат енергії за один період коливання

Добротність контура пов’язана з гостротою резонансних кривих. Крім значення величини струму у максимумі, важливою характеристикою резонансної кривої є її ширина, яка дорівнює різниці циклічних частот , для яких енергія коливань у два рази менша, від енергії коливань при частоті, що відповідає максимальному значенню струму (це відповідає значенню струму
Рис. 4).

Відносна ширина кривої виявляється оберненою до добротності контура Q:

Явище резонансу використовується для виділення зі складної напруги потрібної складової. Нехай напруга, прикладена до контура, дорівнює:

Настроївши контур на одну з частот , , ... (підібравши відповідним чином його параметри С і L), можна одержати на конденсаторі величину напруги, що у Q разів перевищує величину відповідної складової, в той час як напруги на конденсаторі, що створюються іншими складовими, будуть слабкими. Саме таким способом відбувається, наприклад, настроювання радіоприймача на потрібну довжину хвилі.

Хід виконання роботи

1. Зібрати контур за схемою (Рис. 5). Напруга до схеми подається через понижуючий трансформатор від електричної мережі (частота змінної напруги 50 Гц) або звукового генератора (3Г), частоту якого можна змінювати від 0 до 20000 Гц. Струм вимірюється за допомогою міліамперметра (мА). Магазин опорів (R) дозволяє змінювати активний опір контура.

2. Змінюючи ємність магазину, зняти за-лежність струму в кон-турі (покази міліампер-метра) від ємності С. Отримані дані занести в Таблицю 1.

Таблиця 1

С_к, мкФ
І_m, мА
w, Гц	U_m, B	С_рез, мкФ	I_m_рез, мА	L, Гн	R, Ом	DR, Ом

Обробка результатів вимірювань

1. Побудувати графік залежності I_m= f (С_к)

2. Із залежності I_m= f (С_к) знайти значення I_{m рез} і С_рез .

3. Виходячи з умови резонансу , за формулою розрахувати індуктивність контура.

4. Знаючи значення I_{m рез} і С_рез, визначити значення активного опору контура зі співвідношення . Обчислені дані занести в Таблицю 1.

Індивідуальні завдання

1. Зняти три резонансні криві I_т = f (С_к), що відповідають різним значенням R, установленим за допомогою магазину опорів (значення R задаються викладачем). Дані занести в Таблицю 2.

2. Змінюючи частоту звукового генератора, зняти залежність струму в контурі від частоти I_т= f (v). Дані занести в Таблицю 3.

Таблиця 2