Производная постоянной величины.

Определение точки разрыва

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

Точка разрыва первого рода

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.

Точка разрыва второго рода

Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Точка устранимого разрыва

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.

11.Производная функции, её геометрический и механический смысл.

Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f ( x ) в двух точках x₀ и x₀ + : f ( x₀ ) и f ( x₀ + ). Здесь через обозначено некотороемалое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f ( x₀ + ) - f ( x₀)называется приращением функции. Производной функции y = f ( x ) в точке x₀называется предел:

Если этот предел существует, то функция f ( x ) называется дифференцируемой в точке x₀ . Производная функции f ( x ) обозначается так:

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

где - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точкуB, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x₀ , f ( x₀) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x₀) имеет вид:

y = f ’( x₀) · x + b .

Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f ( x₀) = f ’( x₀) · x₀ + b ,

отсюда, b = f ( x₀) – f ’( x₀) · x₀, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:

y = f ( x₀) + f ’( x₀) · ( x – x₀) .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t₀ до t₀ + точка перемещается на расстояние: x ( t₀ + ) -x ( t₀ ) = , а её средняя скорость равна:v_a = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t₀) материальной точки в момент времени t₀ . Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v ( t₀) = x’ ( t₀) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).

12. Основные правила дифференцирования.

Операция дифференцирования или нахождения производной функции обладает фундаментальным свойством линейности. Это свойство упрощает нахождение производных функций, которые образованы из основных элементарных функций с помощью операций сложения и умножения на постоянное число. Простейшие правила дифференцирования позволяют вычислять производные таких функций без использования формального определения производной. Рассмотрим эти правила более подробно.

Производная постоянной величины.

Если f(x)=C, тоf′(x)=C′=0.Доказательство этого правила рассмотрено на странице Определение производной.