Пример реализации поиска квадратичной теоретической зависимости для дискретных значений

Метод наименьших квадратов (МНК) используется для поиска такой теоретической функциональной зависимости, которая предельно близко описывает дискретно эмпирически полученные значения, а именно сумма квадратов отклонений значений теоретической зависимости и эмпирических значений минимальна. Рассмотрим реализацию метода для поиска линейной и квадратичной функциональных зависимостей.

Зная зависимость между величинами, представленными в таблице и полученными опытным путем, необходимо составить математическую зависимость (функциональную зависимость). Причем, эту зависимость необходимо составить наилучшим образом. Воспользуемся методом наименьших квадратов. Пусть опытные данные, близкие к линейной функции, записаны в таблицу:

i				n
	x1	x2		xn
Y	y1	y2		yn

Подбираемy=a·x+bтаким образом, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей

S зависит от a и b, т.е. функция двух переменных принимает наименьшее значение в стандартной точке, которая находится из условия

,

,

,

.

В итоге получена система из двух уравнений с двумя неизвестными, решение которой приведёт к возможности записи искомой линейной функции y=a·x+b.

Для квадратичной функции вида

сумма наименьших квадратов отклонений примет следующее выражение

.

Значения a, b и c также находятся из следующего выражения

.

Выражения для частных производных по каждой из неизвестных примут следующий вид

Таким образом, систему уравнений можно записать так:

Получена система из трёх уравнений с тремя неизвестными. В результате её решения (например, по методу Крамера) будут получены коэффициенты для искомой квадратичной теоретической функции.

Для поиска теоретической квадратичной зависимости можно воспользоваться программой MS Excel. Для начала занесём в таблицу эмпирически полученные величины x, yи номер i (соответственно, столбцы 2, 3 и 1).

Эмпирические величины коэффициентов

	i	x	y	x4	x3	x2	y·x2	y·x	Y
		0,100	2,130	0,000	0,001	0,010	0,021	0,213	2,140
		0,200	2,153	0,002	0,008	0,040	0,086	0,431	2,155
		0,300	2,161	0,008	0,027	0,090	0,194	0,648	2,156
		0,400	2,151	0,026	0,064	0,160	0,344	0,860	2,142
		0,500	2,128	0,063	0,125	0,250	0,532	1,064	2,113
		0,600	2,080	0,130	0,216	0,360	0,749	1,248	2,070
		0,700	2,026	0,240	0,343	0,490	0,993	1,418	2,012
		0,800	1,859	0,410	0,512	0,640	1,190	1,487	1,940
		0,900	1,875	0,656	0,729	0,810	1,519	1,688	1,854
		1,000	1,772	1,000	1,000	1,000	1,772	1,772	1,753
	Σ	5,500	20,335	2,533	3,025	3,850	7,400	10,829
	K5	K4	K8	K1	K2	K3	K6	K7

После этого необходимо вычислить значения столбцов с 4 по 8-й по формулам, написанным в строке 1, затем просуммировать значения в этих столбцах и записать их в соответствующие ячейки в строку 12. Обозначим через К1..К8(строка 13 таблицы) коэффициенты системы уравнений

.

Далее вычислим определители для решения системы по методу Крамера:

	K1	K2	K3		2,533	3,025	3,850
D=	K2	K3	K4	=	3,025	3,850	5,500	=	0,436
	K3	K4	K5		3,850	5,500	10,000
	K6	K2	K3		7,400	3,025	3,850
Da=	K7	K3	K4	=	10,829	3,850	5,500	=	-0,316
	K8	K4	K5		20,335	5,500	10,000
	K1	K6	K3		2,533	7,400	3,850
Db=	K2	K7	K4	=	3,025	10,829	5,500	=	0,160
	K3	K8	K5		3,850	20,335	10,000
	K1	K2	K6		2,533	3,025	7,400
Dc=	K2	K3	K7	=	3,025	3,850	10,829	=	0,919
	K3	K4	K8		3,850	5,500	20,335

Вычислив определители, находим сами коэффициенты

a =	-0,725
b =	0,368
c =	2,111

Для наглядности построим эмпирические значения и теоретическую зависимость в одной системе координат

Рис. 1. Кривые вычисляемых зависимостей

Метод Крамера поддаётся простой автоматизации. Далее приведен текст модуля на языке Delphi, в котором описывается процедура нахождения коэффициентов А0, А1 и А2 для нахождения квадратичной теоретической зависимости по массиву дискретных точек (рис. 2.).

Рис. 2. Фрагмент программы вычисления коэффициентов

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 9