Краткие теоретические сведения. Одновременное действие изгиба и кручения характерно для работы валов (трансмиссионных, двигателей, турбин) машин и механизмов

Одновременное действие изгиба и кручения характерно для работы валов (трансмиссионных, двигателей, турбин) машин и механизмов, которые обычно представляют собой прямые брусья круглого и кольцевого сечения.

В общем случае в поперечных сечениях элемента, испытывающего одновременное действие изгиба и кручения, возникают крутящий момент М_к, изгибающие моменты М_х, М_у и поперечные силы Q_x, Q_y. Так как поперечные силы вызывают незначительные касательные напряжения по сравнению с напряжениями от изгибающих и скручивающих моментов, то их влиянием обычно пренебрегают.

При расчёте валов круглого поперечного сечения на совместное действие изгиба и кручения необходимо вычислить максимальные нормальные и касательные напряжения по формулам:

,

где W — осевой момент сопротивления поперечного сечения бруса;

W_р — полярный момент сопротивления поперечного сечения бруса

Для круглых валов W_p = 2W.

При расчёте валов на изгиб и кручение применяют теорию Сен-Венана и теорию потенциальной энергии формоизменения.

По теории наибольших касательных напряжений:

.

.

Выражение, стоящее в числителе, называется эквивалентным моментом:

.

При проектном расчёте валов по теории касательных напряжений из условия прочности находят геометрическую характеристику сечения:

,

где W — осевой момент сопротивления поперечного сечения бруса (для круга W ≈ 0,1d³).

По теории потенциальной энергии формоизменения:

.

.

Выражение, стоящее в числителе, называется эквивалентным моментом:

.

При проектном расчёте валов по энергетической теории прочности из условия прочности находят геометрическую характеристику сечения:

.

Пример 7. На вал насажены три зубчатых колеса, нагруженных силами: F₁ = 2 кН; F₂ = 1,5 кН; F₃ = 1,2 кН, причём F₁ и F₂ — горизонтальные, а F₃ — вертикальная (рис. 13). Диаметры колёс: D₁ = 0,3 м; D₂ = 0,2 м; D₃ = 0,25 м. Построить эпюру крутящих моментов и эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях, пренебрегая весом колёс и самого вала. Определить требуемый диаметр вала по третьей теории прочности — теории наибольших касательных напряжений (теории Сен-Венана). Допускаемое напряжение для материала вала [σ] = 50 МПа.

Рис. 13

Решение.

1. Вычисляем моменты от сил F₁, F₂ и F₃, скручивающие вал:

Т₁ = F₁ · D₁ / 2 = 2000 · 0,3 / 2 = 300 Н·м;

Т₂ = F₂ · D₂ / 2 = 1500 · 0,2 / 2 = 150 Н·м;

Рис. 20.

Т₃ = F₃ · D₃ / 2 = 1200 · 0,25 / 2 = 150 Н·м.

2. Проведём расчёт вала на кручение. Рассмотрим участок АС (рис. 14, а). Проведём сечение I—I и рассмотрим левую отсечённую часть.

Н·м.

На участке АD проведём сечение II—II.

Н·м;

На участках АВ и DЕ крутящие моменты равны нулю.

Строим эпюру крутящих моментов.

3. Производим расчёт вала на изгиб от сил, действующих в вертикальной плоскости. Сила F₃ вызывает изгиб в вертикальной плоскости (рис. 14, б). Определяем опорные реакции:

Определяем внутренний изгибающий момент в характерных сечениях вала от действия вертикальных сил:

а) в сечении А изгибающий момент в вертикальной плоскости

М_x = 0;

б) на участке АВ изгибающий момент в вертикальной плоскости

М_x = R_А · 0,3 = 240 · 0,3 = 72 Н·м;

в) на участке АС изгибающий момент в вертикальной плоскости

М_x = R_А · 0,7 = 240 · 0,7 = 168 Н·м;

г) на участке DЕ изгибающий момент в вертикальной плоскости

М_x= R_Е · 0,3 = 960 · 0,3 = 288 Н·м;

д) в сечении Е изгибающий момент в вертикальной плоскости

М_x = 0.

По полученным значением строим эпюру изгибающих моментов в вертикальной плоскости М_х (рис. 14, б).

4. Производим расчёт вала на изгиб от сил, действующих в горизонтальной плоскости. Силы F₁ и F₂ вызывают изгиб в горизонтальной плоскости (рис. 14, в). Определяем опорные реакции:

Определяем внутренний изгибающий момент в характерных сечениях вала от действия горизонтальных сил:

Рис. 14

а) в сечении А изгибающий момент в горизонтальной плоскости

М_у = 0;

б) на участке АВ изгибающий момент в горизонтальной плоскости

М_у = R_Аx · 0,3 = 133 · 0,3 = 40 Н·м;

в) на участке АС изгибающий момент в горизонтальной плоскости

М_у = R_Аx · 0,7 − F₂ · 0,4 = 133 · 0,7 − 1500 · 0,4 = −507 Н·м;

г) на участке DЕ изгибающий момент в горизонтальной плоскости

М_у = −R_Ex · 0,3 = −633 · 0,3 = −190 Н·м;

д) в сечении Е изгибающий момент в горизонтальной плоскости

М_у = 0.

По полученным значением строим эпюру изгибающих моментов в горизонтальной плоскости М_у (рис. 14, в).

5. Определяем суммарный изгибающий момент в наиболее опасном в отношении изгиба сечении. Так как М_x и М_y возникают во взаимно перпендикулярных плоскостях, то суммарный изгибающий момент буде равен:

.

Наибольший суммарный изгибающий момент возникает в сечении С. Это сечение является опасным в отношении изгиба.

Н·м.

6. Выполняем проектный расчёт вала по теории наибольших касательных напряжений (теории Сен-Венана).

мм³,

Так как W ≈ 0,1d³, то мм.

Принимаем d = 50 мм.

Ответ: d = 50 мм.

Задание для практического решения №5.Для вала редуктора, схема которого изображена на рис. 15 построить эпюры изгибающих и крутящих моментов. Из условия прочности подобрать диаметр вала круглого поперечного сечения с использованием третьей теории прочности – теории наибольших касательных напряжений (теории Сен-Венана). Округлить полученное значение диаметра до ближайшего, кратного пяти, в бóльшую сторону.

Рис. 15

Рис. 15. Продолжение

Рис. 15. Продолжение

Рис. 15. Окончание

Контрольные вопросы.

1. Используются ли первая и вторая теории прочности при расчётах?

2. Что оценивают гипотезы прочности?

3. Что называется эквивалентным напряжением?

4. Чему равен эквивалентный момент по третьей теории прочности?

5. Как производится расчет валов на прочность при совместном действии изгиба и кручения?

6. Что такое эквивалентный момент и как его определить?