Жұмыс және энергия

Табиғатта жұмыс істелу салдарынан материя қозғалысының формасы бір түрден екінші түрге өзгеріп отырады. Материалдық объектінің бір күйден екінші күйге көшкенде жұмыс істеу қабілетін энергия деп атайды. Дененің механикалық қозғалысының өзгерісі сол денеге басқа денелердің әсер күшінен пайда болады. Әсерлесетін денелердің арасындағы энергия алмасу процесінің сандық мөлшерін сипаттау үшін күш жұмысы деген ұғым енгіземіз.

Дене түзу сызықпен қозғалған жағдайда оған орын ауыстыру бағытына α бұрыш жасай, тұрақты күш әсер етсе, онда бұл күштің жұмысы күштің орын ауыстыру бағытына түсірілген құраушысы мен күш түскен нүктенің орын ауыстыруының көбейтіндісіне тең:

(3.1)

3.1-сурет

- әсер еткен күштің жолдың бағытына түсірілген проекциясы.

Жалпы алғанда күш модулы және бағыты бойынша өзгеруі мүмкін. Сондықтан жоғарыдағы формуланы пайдалануға болмайды. Егер -элементар орын ауыстыру болса, онда әсер етуші күші тұрақты, ал қозғалысы түзу сызықты болады. Осы кезде күшінің әсерінен -элементар орын ауыстырғанда - элементар жұмыс жасалады:

,

мұндағы - және векторларының арасындағы бұрыш, -элементар жол күшінің векторына түсірілген құраушысы.

Біз дененің қандай да бір М нүктеден N нүктеге орын ауыстыруын қарастырайық (3.2-сурет). Орын ауыстыру MN қисық сызықты себебі денеге түсірілген күш айнымалы. Айнымалы күштің жұмысы, жолдың аз бөлігіндегі элементар жұмыстардың қосындысына тең. Жолды шексіз элементар бөліктерге бөлгендегі жұмыс интегралмен анықталады:

(3.2)

3.2-сурет 3.3-сурет

Мұндағы интегралды есептеу үшін күшінің жолға траектория бойымен байланысын қарастырамыз. Жұмыстың 3.3-суреттегі графигі штрихталған фигураның ауданымен сипатталады. Егер және болса, онда жұмыс:

(3.3)

Бұл формуладан: егер пен арасындағы бұрыш болса, онда құраушысы қозғалыс жылдамдық векторымен бағыттас болады да, күш жұмысы оң болады, егер пен арасындағы бұрыш болса, онда жұмысы теріс болады, яғни жұмыс түсірілген күшке қарсы істелінеді, ал егер болса, онда күш жұмысы нөлге тең болады. Жұмыстың өлшем бірлігі: күш әсерінен дене орын ауыстырса жұмыс жасалады.

Істелінген жұмыстың жылдамдығын сипаттау үшін қуат деген ұғым енгіземіз. Мехннизмнің уақыт бірлігіндегі істелетін жұмысын қуат дейді. Егер уақытта істелінген жұмыс болса, онда осы уақыттағы орташа қуат мына формуламен

өрнектеледі. Уақыттың берілген мезетіндегі қуат (лездік қуат)

(3.4)

яғни қуат деп, жұмыстан уақыт бойынша алынған бірінші ретті туындыға тең шаманы айтады. Қуаттың өлшемі – ватт (Вт): . Егер дене әсер еткен күштің салдарынан тұрақты жылдамдықпен қозғалса, онда қуат былай анықталады:

(3.5)

Қуат – күш векторы мен күш түсірілген нүктенің жылдамдық векторының көбейтіндісіне тең скаляр шама.

Жоғарыда айтып кеттік, материалдық объектінің бір күйден екінші күйге көшкенде жұмыс істеу қабілетін энергия деп атайды. Материя қозғалысы формасының әртүрлі болуына байланысты энергия да әртүрлі болады: механикалық, ішкі, электромагниттік, ядролық т.б. Соның ішінде механикалық энергияны қарастырайық. Механикалық энергияның өзі кинетикалық және потенциалдық болып екіге бөлінеді.

Кинетикалық энергия деген ұғымды еркін денеге әсер етуші күштің жұмысын есептеу арқылы түсіндірген жөн. Түсірілген күштің істеген жұмысы дененің жылдамдығының өзгертеді. Бұл байланыс материалдық нүктенің кинетикалық энергиясы деп аталатын физикалық шама арқылы өрнектеледі.

Материалдық дененің кинетикалық энергиясын анықтау керек болсын. Сонда массасы дененің жылдамдығы ден -ға дейін артқан кездегі күштің істеген жұмысы, сол дененің кинетикалық энергиясының өсуіне жұмсалады, яғни . Әсер етуші күшке Ньютонның екінші заңын пайдаланамыз . Осы инерция күшінің нәтижесінен дене -ке орын ауыстырса, онда істелінген жұмыс болады, яғни

. Бұдан , сонда

Енді істелген жұмысты табу үшін соңғы өрнекті интегралдаймыз, яғни

(3.6)

Сонымен күшінің істелінген жұмысы кинетикалық энергия деп аталатын шамаға тең болады. Соңғы формуладан кинетикалық энергияның дененің тек қана массасы мен жылдамдығына тәуелді екендігін көреміз, яғни жүйенің кинетикалық энергиясы оның қозғалысының күй функциясы болып табылады. Жоғардағы формуланы қорытқанда, қозғалысты инерциалды санақ жүйесінде қарастырайық. Онсыз Ньютон заңдарын қолдана алмас едік. Бір-біріне қатысты қозғалғандағы әртүрлі инерциялды санақ жүйелерінде дененің жылдамдығы және кинетикалық энергиясы түрлі болады. Бұдан кинетикалық энергия санақ жүйесіне тәуелді екендігін көреміз. Егер бірнеше материалдық нүктелер жүйесін қарастырсақ, онда формуланы ескере отырып, жұмысты мына түрде өрнектеуге болады:

Жүйенің кинетикалық энергиясы деп, осы жүйені құрайтын барлық материалдық нүктелердің кинетикалық энергияларының қосындысын айтады. Қорыта келгенде, жүйенің кинетикалық энергиясынның өзгерісі жүйені құрайтын нүктелерге түсірілген барлық нүктелердің жұмысына тең болады.

Потенциалдық энергия жүйенің бөлшектерінің өзара орналасуымен және олардың сыртқы күштік өрістегі орнына байланысты анықталады. Егер дене кеңістіктің әрбір нүктесінде басқа бір дененің күш әсеріне тап болатын болса және нүктеден нүктеге өзгеретін жағдайға түссе, онда ол денені күштер өрісінде тұр деп айта аламыз.

Дененің орнына ғана байланысты болатын күштер үшін олардың денеге қатысты істейтін жұмысы жолға тәуелді болмай, дененің кеңістіктегі бастапқы және соңғы орнымен ғана анықталатын жағдайы болады. Бұл жағдайдағы күштерді консервативті күштер деп атаймыз. Мысалы, гравитациялық күштердің әсерінен жасалған жұмыс жолдың формасына байланыссыз тұрақты болып қала береді. Себебі гравитациялық күштің өзі консервативті күштер қатарына жатады. Консервативті күші бар өрісті потенциалды деп атайды. Егер күш жұмысы дененің бір нүктеден екінші бір нүктеге орын ауыстыру траекториясына тәуелді болса, ондай күштер диссипативті күштер деп аталады (мысалы, үйкеліс күші). Потенциалдық энергия ұғымы консервативті күштердің жұмысына байланысты енгізіледі. функциясының нақты түрі күш өрісінің сипатына тәуелді. Айталық, мысалы материалдық дене ауырлық күшінің біртекті өрісінде қозғалғанда, яғни дене бір деңгейден екінші деңгейге көтерілгенде жұмыс істеуі салдарынан потенциалдық энергиясы өзгереді. Массасы дене жер бетінен биіктікке көтерілген кезде істеген жұмысы потенциалдық энергияның өзгерісіне тең: . Толық жұмысты табу үшін жер бетінен, яғни ден биікткке дейін интегралдаймыз:

(3.7)

Ауырлық күші өрісінде істелген жұмыс жолдың формасына және ұзындығына байланысты емес, тек жолдың соңғы нүктесінің бастапқы нүктесіне қарағанда қаншама биік жатқандығына байланысты. Дененің потенциалдық энергиясы жер бетінен жоғары болса оң , ал төмен болса (шахтаның түбінде) теріс болады. Кинетикалық энергия әр уақытта оң болады.

Потенциалдық энергияның абсолют мәні өлшенбейді, бірақ әруақытта нақты тұрақты мәніне дейінгі дәлдікпен бағаланатынын түсіну өте маңызды. Мысал үшін серіппенің потенциалық энергиясын табайық. Гук заңы бойынша серпімділік күші деформацияға пропорционал: , мұндағы серпімділік (қатаңдық) коэффициенті. Ньютонның үшінші заңы бойынша деформациялаушы күш серпімділік күшіне модулі жағынан тең, бағыты жағынан қарама-қарсы, яғни

. Элементар деформацияланғанда күштің істейтін элементар жұмысы , ал толық жұмыс серппенің потенциалдық энергиясының өсуіне жұмсалады:

(3.8)

Тұйық механикалық жүйеде кинетикалық және потенциялдық энергиялардың қосындысы тұрақты шама болып қалады Мұндай жүйелер консервативті деп аталады.

Енді материалдық нүктелер жиынынан тұратын оңашаланған жүйені қарастырайық,оларға сыртқы және консервативті ішкі күштер әсер ететін. Материалдық нүктелер жүйесінің массалары , жылдамдықтары деп, ал осы материалдық нүктелердің әрқайсысына әсер ететін консервативті ішкі күштер, жүйеге әсер ететін сыртқы күштер деп алайық. Енді Ньютонның екінші заңына сүйене отырып, қозғалыс теңдеуін жазамыз:

Осы күштердің әсерінен жүйедегі нүктелер уақыт аралығында элементар ара қашықтыққа орын ауыстырсын. Теңдіктің екі жағын да осы көбейтіп, әрі ескерсек, онда:

Енді бұл теңдеулерді қосатын болсақ:

бұдан бірінші қосылғыш жүйенің кинетикалық энергиясының өсімшесін береді:

ал екінші қосылғыш барлық күштердің жүйедегі денелерді элементар орын ауыстыру үшін істелген жұмысы, яғни теріс “-“ таңбалы потенциялық энергияның өсімшесіне тең:

яғни бұдан жүйенің толық энергиясы:

(3.9)

Сонымен, тек консервативті күштер әсер еткенде ғана тұйық жүйенің толық энергиясы тұрақты болады, яғни уақыт өтуімен өзгермейді. Бұл тұжырымдалған қағида механикалық энергияның сақталу заңы деп аталады және механикалық негізгі заңдарының маңызы салдарының бірі болып табылады.

Энергияның сақталу заңы кез-келген инерциялды санақ жүйесінде орындалады және ол кеңістіктің симметриялық қасиетімен тығыз байланысты. Жүйеде әсер етуші күштер консервативті күштер болса ғана оңашаланған жүйе үшін механикалық энергияның сақталу заңы орындалады. Ал диссипативті күштер әсер етсе, онда кинетикалық және потенциалық энергияларының қосындысы тұрақты болмайды, бұл кезде энергия бір түрден екінші түрге ауысады, бірақ оның жалпы мөлшері өзгермейді.

Энергияның сақталу заңын кеңірек түсіну мынаны көрсетеді: энергия жоғалып кетпейді және жоқтан пайда болмайды, ол тек бір түрден екінші түрге ауысады және де энергияның бір түрі қаншаға кемісе, екінші түрі соншаға артады. Басқаша айтқанда, материя және қозғалыс біртұтас байланыста болады. Материясыз қозғалыс, қозғалыссыз материя болмайды. Қозғалыс – материяның өмір сүру формасы.

Атты дене механикасы

Қатты дененің инерция моменті. Жалпы өмірде кездесетін қатты денелер, күштің әсерінен деформацияланады, яғни олардың өлшемі мен формасы өзгереді. Көбінесе деформациясының шамалы болатындығы сондайлық, дененің қозғалысын сипаттағанда оны елемеуге де болады. Сондықтан біз әрі қарай осы тақырыпты қарастырғанда абсолют қатты дене деген түсінік енгіземіз. Қандай жағдайда да дененің деформациясын елемеуге болатын немесе барлық жағдайда осы дененің екі нүктесінің (яғни екі бөлшегінің) ара қашықтығы өзгермей сақталатын денелерді абсолют қатты денелер деп айтамыз.

Айналмалы қозғалыс кезінде қатты денелердің барлық нүктелері шеңбер бойымен қозғалады, олардың центрлері айналу осі деп аталатын бір түзудің бойында жатады. Айналмалы қозғалысты сипаттау үшін кеңістіктегі айналу осінің қалпын және әрбір уақыт мезетіндегі дененің бұрыштық жылдамдығын білу керек. Қатты дененің айналысын қарастырған кезде инерция моменті деген ұғым енгіземіз.

Қатты дененің немесе материалдық нүктенің айналу осіне қатысты инерция моменті деп дененің немесе материалдық нүктенің массасы мен қарастырылып отырған оське дейінгі арақашықтығының квадратының көбейтіндісіне тең физикалық шаманы айтады:

(4.1)

4.1-сурет

Қатты дененің өзі жеке-жеке материалық нүктелер жиынтығынан тұрады. Сондықтан қатты денені (4.1-сурет) материалық нүктелер жиынтығы ретінде де қарастыруға болады.

Жүйенің (дененің) айналу осіне қатысты инерция моменті деп осы жүйені құрайтын материалдық нүктелердің массаларының қарастырылып отырған оське дейінгі арақашықтықтың квадратының көбейтіндісінің қосындысына тең шаманы айтады: . Массасы бірқалыпты таралған дене үшін бұл сумма барлық көлемі бойынша интегралданады: мұндағы .

Мысал: Біртекті тұтас цилиндрдің инерция моментін табайық. 4.2-суретте цилиндр биіктігін , ал оның радиусын деп алайық. Цилиндрді кішкене бөліктерге бөлеміз, қалыңдығы тең. Оның ішкі радиусы r, ал сыртқы радиусы тең. Әрбір кішкене цилиндірдің инерция моменті , мұндағы цилиндрдың барлық нүктесінің осьтен арақашықтығы әрі ескереміз, ал -барлық элементар цилиндрдің массасы.

4.2-сурет

Қарастырылып отырған элементар цилиндрдің көлемі: , егер - материалдың тығыздығы болса, онда яғни оның массасы, ал элементар инерция моменті болады.

Сонда тұтас цилиндрдің инерция моменті:

,

бұдан -цилиндрдің көлемі, ал оның массасы болады. Сонда цилиндрдің инерция моменті:

(4.2)

Бұдан басқа кейбір денелердің иерция моменттері:

1. Радиусы болатын шардың центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті:

(4.3)

2. Ұзындығы стерженге перпендикуляр әрі оның ортасы арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті:

(4.4)

3. Ұзындығы стерженге перпендикуляр және оның бір ұшы арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті:

(4.5)

Егер айналатын қатты дененің ауырлық центрі арқылы өтетін оське айланысты инерция моменті белгілі болса, онда оның кез-келген осы оське параллель осьтен айналғандағы инерция моменті Штейнер теоремасы арқылы анықталады: кез-келген оське қатысты инерция моменті – берілген оське параллель және дене инерциясының центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті мен дененің массасының осьтер арасындағы арақашықтығының квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең:

(4.6)

Айналыстың кинетикалық энегиясы. Абсолют қатты дененің қозғалмайтын осьтен айналысын қарастырайық. Осы денені ойша кішкене көлемшелерге бөлейік, оның массалары айналмайтын осьтен қашықта болсын. Қатты денелердің оське қатысты айналысында массалары әр түрлі радиусты шеңберлер сыза қозғалып, сызықтық жылдамдыққа ие болады.

Бірақ біздің қарастырып отырғанымыз абсолют қатты дене болғандықтан, оның қозғалысының бұрыштық жылдамдығы бірдей болады:

(4.7)

Дененің айналмалы қозғалысының кинетикалық энергиясы оның жеке бөліктерінің кинетикалық энергиясынан құралады:

немесе

бұған енді _i=r_iω өрнегін пайдалансақ:

(4.8)

Сонымен, қозғалмайтын остьтен айналатын дененің кинетикалық энергиясы деп, осы оськеқатысты инерция моменті мен бұрыштық жылдамдықтың квадратының көбейтіндісінің жартысына тең шаманы айтады.

Бұл өрнек ілгерімелі қозғалатын дененің кинетикалық энергиясына ұқсас келеді. Айналмалы қозғалыс кезінде массасының рөлін инерция моменті, ал сызықтық жылдамдық рөлін ω бұрыштық жылдамдық атқарады. Көлбеу жазықтықтан домалап келе жатқан дененің, мысалы цилиндрдің, кинетикалық энергиясы ілгерімелі қозғалыс энергиясы мен айналмалы қозғалыс энергиясының қосындысынан тұрады:

(4.9)

мұндағы: – дененің массалар центрінің сызықтық жылдамдығы, ω-дененің бұрыштық жылдамдығы, -массалар центрі арқылы өтетін осіне қатысты денеің инерция моменті, m-домалап келе жатқан денеің массасы.

Қатты дененің күш моменті. Қозғалмайтын 0 нүктесіне байланысты күш моменті деп, 0 нүктесінен нүктесіне жүргізілген радиус-вектор векторы мен оған түскен күшінің көбейтіндісіне тең физикалық шаманы айтады:

М

4.3-сурет

Мұндағы псевдовектор, 4.3-суретте оның бағыты - ден -ке қарай бұрағандағы оң бұранданың ілгерімелі қозғалыс бағытымен бағыттас. Күш моментінің модулі:

(4.10)

мұндағы бұрышы мен арасындағы бұрыш, r – бұл 0 нүктесі мен әсер етуші күш сызығының арасындағы ең қысқа арақашықтық күш иіні деп аталады. Сонда күш моменті айналдырушы күш пен айналу осіне дейінгі ең қысқа арақашықтық, иіннің көбейтіндісіне тең.

Енді осы денені айналдырған кездегі жұмыстың өрнегін анықтайық (4.4-сурет). Айналмайтын 0 осьтен қашықтығы нүктесіне күші әсер етсін. Күштің бағыты мен векторының арасындағы бұрыш -ға тең.

4.4-сурет

Денеміз абсолют қатты дене болғандықтан, осы айналдырушы күш жұмысы осы дененің түгел бұрылуына жұмсалған жұмысына тең. Дене өте азғантай dφ бұрышқа бұрылған кезде, В нүктесі dS жол жүреді: dS=rdφ. Бұрылған кездегі істелген жұмыс бұрылу бағытына түсірілген күш проекциясы мен бұрылу шамасының көбейтіндісіне тең: , мұндағы , сонда . Бізге бұрыннан r sinα = l иінді береді, ал күш моментін береді. Сондықтан

(4.11)

яғни денені айналдырғандағы істелінген жұмыс әсер етуші күш моменті мен бұрылу бұрышының көбейтіндісіне тең. Денені айналдырғанда істелінген жұмыс оның кинетикалық энергиясының өсуіне жұмсалады: ,

бірақ , сондықтан немесе ескере отырып, мына өрнекті аламыз:

; (4.12)

Денеге әсер етуші күш моменті дененің инерция моменті мен бұрыштық үдеуінің көбейтіндісіне тең: – қозғалмайтын оське қатысты қатты дененің айналмалы қозғалысының динамикалық теңдеуін береді.

Қатты дененің импульс моменті және оның сақталуы. Айналмалы қозғалыс пен ілгерімелі қозғалысты салыстырайық, яғни дененің импульсінің аналогы қандай шама болатынын қарастырайық.

0 қозғалмайтын оське қатысты А материалдық нүктенің импульс моменті және векторлардың көбейтіндісімен анықталатын физикалық шама болып табылады:

мұндағы - 0 нүктесінен нүктесіне жүргізілген радиус – вектор, - материалдық нүктенің импульсі немесе қозғалыс мөлшері.

- псевдовектор, оның бағытын оң бұрғанда ережесімен -дан -ға айналдыра бұрғанда ілгерімелі қозғалысының бағытымен бағыттас болады. Импульс моментінің модулі:

мұндағы r sinα = l – 0 нүктесіне қатысты векторының иіні, ал α - мен векторларының арасындағы бұрыш. Импульс моменті иін мен материалдық нүктенің импульсінің көбейтіндісіне тең.

Енді кез-келген і нүктесінің немесе m_i дене бөлшегінің массасының қозғалмайтын оське қатысты импульс моментін анықтаймыз. Абсолют қатты денені қозғалмайтын оське қатысты айналдыра қоссақ, онда осы дененің әрбір жеке нүктесі осы оське қатысты тұрақты r_i радиуспен және _i сызықтық жылдамдықпен шеңбер сыза қозғалады. жылдамдығы мен m_і импульсі осы радиусқа перпендикуляр бағытталған, яғни радиус осы векторының иіні болып табылады. Сондықтан әрбір жеке бөлшектің импульс моментін былай жазамыз:

(4.13)

Ал қозғалмайтын оське қатысты абсолют қатты дененің импульс моменті әрбір жеке бөлшектерінің импульс моменттерінің суммасына тең:

Бізге бұрыннан белгілі пайдалана отырып, былай жазамыз:

яғни (4.14)

Сонымен, қозғалмайтын оське қатысты қатты дененің импульс моменті осы оське қатысты дененің инерция моменті мен бұрыштық жылдамдықтың көбейтіндісіне тең. Соңғы өрнекті уақыт бойынша дифференциалдасақ:

яғни (4.15)

Бұл өрнек қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасының тағы бір түрін береді. Қозғалмайтын оське қатысты қатты дененің импульс моментінің уақыт мезетіндегі өзгерісі осы оське қатысты күш моментіне тең болады. Егер біз тұйық жүйе алсақ, онда сыртқы күш моменті =0 бұдан

, олай болса (4.16)

Соңғы өрнек импульс моментінің сақталу заңын береді: тұйық жүйенің импульс моменті сақталады, яғни уақыт өтуімен өзгермейді. Импульс моментінің сақталу заңы табиғаттың фундаменталды заңы. Ол кеңістіктің белгілі бір симметриялық қасиетімен байланысты, кеңістіктің изотроптығымен байланысты, яғни координаталар санақ жүйесінде таңдап алынған ось бағытына қатысты физикалық заңдылықтардың инварианттылығына байланысты.

Импульс моментінің сақталуын үйкеліссіз вертикаль осьтен айналатын Жуковский орындығына адамды тұрғызып көрсетуге болады (4.5-сурет).

көбейсе, ω азаяды немесе азайса, ω көбейеді.

4.5-сурет