Методы софизмов и парадоксов

Метод парадоксов — создание противоречащих здра­вому смыслу ситуаций, доказательств, неожиданно и не­привычно приводящих к противоречию с традиционными утверждениями и выводами, истинность которых, каза­лось, не вызывает сомнения. Метод обостряет понимание сути процесса, его тонкостей, стимулирует интерес, по­буждает к напряженной работе мысли по распутыванию клубка противоречий.

Софизмы — это уловки, выдумки сродни головоломкам, в которых мнимое доказательство выдается правдоподобное. Этот метод с успехом работает во всех науках, ибо уме­ние довести до абсурда рождает глубокое понимание ис­тины.

Суть метода лучше всего проясняют конкретные при­меры.

Задача 1. Половину окружности велосипедист на треке проехал с постоянной скоростью υ₁ = 4 м/с. Сред­няя скорость на всем треке была 10 м/с. Определить скорость на второй половине пути.

Решение. Обычно решение этой задачи получают с помощью известной формулы

υ_ср = , т.к. S₁=S₂=S, а , , то

υ_ср = ,отсюда .

Подставив значение, = - 40 м/с.

Как понимать полученный ответ? Объясните.

Время движения со средней скоростью должно быть равно сумме времени, затраченного на прохождение каждого участка или .

Но …. без прибавления второй дроби.

Это означает, что время, затрачиваемое на прохождение первой половины пути, уже больше, чем время, отпущенное на прохождение с данной средней скоростью всего пути. При таких исходных данных задача лишена смысла.

Задача 2. На наклонной плоскости высотой Н ле­жит свернутый в рулон линолеум. М - масса рулона, R - его радиус. Край линолеума прикреплен гвоздем к полу. После легкого толчка линолеум случайно пока­тился, раскручиваясь, вдоль наклоненной плоскости. Вначале его потенциальная энергия W_o = Mg·(R + Н)_, а в конце W = MgH/2.Куда же исчезла значительная часть энергии?

Решение Значительная доля потерянной энер­гии пошла в создание звуковой волны (ушла в «хлопок»). Часть энергии при ударе потрачена на деформацию, в конце концов, перешла во внутреннюю энергию.

Задача 3. Луч из оптически более плотной среды может и не выйти (в случае предельного угла) в среду с меньшей оптической плотностью. Если явление полного внутреннего отражения обладает, как все явления геометрической оптики, обратимостью, то как луч находит точку, где ему следует вернуться в среду более оптически плотную?

Решение. Обратимость, разумеется, выполняется. Тут происходит подмена понятия световой луч и ось луча. Световой луч имеет расходимость: где пучок коснется другой среды, там и начинает происходить преломление.

Задача 4. Мимо непо­движного наблюдателя, стоя­щего на платформе, проходит вагон со скоростью υ. В ваго­не со скоростью и в направле­нии движения вагона бросают шарик массой т. Какова ки­нетическая энергия шарика по отношению к наблюдателю?

Задача 5. При ремонте перегоревшей спирали ее чуть-чуть укоротили. При включении в сеть она стала светиться ярче, так как при параллельном включении (а все бытовые приборы включаются именно так) выделяется мощность Р = U² /R, которая возрастает при умень­шении сопротивления. Возникает вопрос: нельзя ли для выделения большей мощности почти совсем укоротить спираль нагревателя» оставив лишь очень маленькую длину, тогда (R=ρ·l/S) сопротивление спирали умень­шится, а потребляемая прибором мощность возрастет?

Решение. Очень сильно изменить длину спирали нагревателя нельзя хотя бы потому, что резкое умень­шение сопротивления в цели вызовет очень большой ток и приведет к короткому замыканию. Все нагрузки эле­ктрических цепей и источников должны быть в этом пла­не согласованы.

Приложение №2

МЕТОД ЗЕРКАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Метод зеркальных изображений основан на построе­нии изображений предметов в плоских зеркалах. Этим методом можно решать задачи кинематики, электроста­тики, оптики.

Вспомним, как строятся изображения в плоском зеркале. На рисунке 1, а показано изобра­жение A₁В₁ предмета АВ в плоском зеркале ОО₁. При этом угол падения α₁ равен углу отражения β₁; β_{2 =}α₂; А₁О₁ =AO; ВО₁ = В₁О_1. Кроме того, плоское зеркало меняет «лево» на «право». Эго свойство зеркальных изображений используется в оптике и электростатике и нe имеет значения в кинематике.

Рис.1

Задача 1. Два мальчика стоят на расстоянии r₁ и r₂ от бетонной стены и на расстоянии r друг от друга (рис. 2). Один из мальчиков говорит фразу, другой слышит совпадение ее окончания с началом эха. Найти длительность звучания фразы. Скорость звука u.

Решение. Длительность звучания фразы равна разности времен прохождения звука по двум путям 102 и 12:

Рис. 2

Метод зеркальных изображений в электростатике основан на следующем свойстве эквипотенциальной по­верхности (поверхности равного потенциала): если заме­нить эквипотенциальную поверхность в произвольном электростатическом поле проводящей поверхностью той же формы и создать на ней тот же потенциал, то элект­ростатическое поле не из­менится.

Задача 2. Найти силу взаимодействия точечного эаряда q, расположенного на расстоянии r от проводя­щей бесконечной заземлен­ной плоскости (рис 3), с этой плоскостью.

Решение: На плоскости в силу явления электро­статической индукции наводится заряд — q1 распре­деленный по ней. Сила взаимодействия заряда q и индуцированного на плоскости заряда - q эквивалента силе взаимодействия заряда q и его «зеркального» изображения - q. Так в электростатике проявляется «ле­во»— «право». Итак,

Рис.3

Задача 3. Два плоских зер­кала образуют двугранный угол (n -целое число). Точечный источник света находится между ними на биссектрисе угла. Найти коли­чество изображений источника в зеркалах (рис 4.).

Решение: 1. 2. Все изображения ле­жат на окружности радиу­са О. Если n = 2k (k — целое), то . Тогда в зеркалах будет n -1 изображений. Если n = 2k + 1, то k-ые изображения лежат на продолжениях зеркал. Следовательно, изображений 2k = n - 1. Итак, в зеркалах будет n - 1 изображений.

Рис.4

Приложение №3

МЕТОД ОБРАТИМОСТИ

Обратимость — это свойство равновесных процессов, т. е. таких, которые можно осуществить в обратном на­правлении, повторяя все промежуточные состояния пря­мого процесса. Строго говоря, реальные процессы необ­ратимы, но в физике изучается довольно много квазиста­ционарных процессов (квази — почти).

Метод обратимости дает возможность упростить ре­шение прямой задачи, когда удается переформулировать ее условие с тем, чтобы воспользоваться известными соотношениями.

Обратимы, например, прямая и обратная задачи ме­ханики. В термодинамике обратимы все замкнутые про­цессы — например циклы Карно, Отто, Дизеля

В электродинамике идея обратимости электрических и магнитных явлений, предугаданная Фарадеем после открытия Эрстеда в 1820г., привела к формулировке за­кона электромагнитной индукции в 1831г. Обратимость электромагнитных явлений материализована в двигате­лях и генераторах.

Яркой иллюстрацией ее могут служить все периоди­ческие процессы: от механических колебаний маятника до электромагнитных колебаний в контуре.

Известно, что все законы геометрической оптики об­ладают обратимостью. Применяемые для получения по­зитивного изображения пластинки и пленки являются еще одним примером ее.

Не является исключением обратимость и в ядерной физике. Наглядным примером могут служить взаи­мопревращения элементарных частиц.

Понять суть метода обратимости помогут следующие задачи:

Задача 1. За последние полсекунды свободно падающее тело проходит путь, равный 30 м. Найти скорость тела в мо­мент приземления.

Решение. Из уравнений движения и скорости , и исключая , получаем . Последнее выражение запишем иначе: .

Движение из ускоренного «превратилось» в замедленное. Конечная скорость стала «начальной». Представьте себе, что в кино снятый эпизод падения прокручивают в обратном порядке. Таким образом, по методу обратимости значение скорости в момент падения тела следовало получить сразу.

Задача 2. За пятую секунду равнозамедленного движения тело проходит 5см и останавливается. Какой путь тело прошло за третью секунду?

Решение. Используя обратимость, переформули­руем задачу так. За первую секунду равноускоренного движения без начальной скорости тело проходит 5 см. Каков его путь за третью секунду?

Решение: Пути, проходимые телом при равноускоренном дви­жении без начальной скорости за последовательные рав­ные промежутки времени, относятся как нечетные числа натурального ряда. Поэтому искомый путь равен 25см.

Задача 3. Откуда необходимо бросить маленький шарик на жестко закрепленную на горизонтальной плос­кости полусферу радиусом R, чтобы он остановился в ее вершине? (Рис. 1а)

Решение. Пусть шарик начинает без начальной скорости свободно двигаться с вершины полусферы (рис. 1б.). Дальнейшее движение описывается уравнениями: x ≈ 1,13R

Рис. 1

Из закона сохранения энергии следует, что начальная скорость может иметь единственное значение: .

Задача 4. В калориметре медленно остывает рас­плав исследуемого вещества. Удельная теплота плавления этого вещества 200 кДж/кг. По графику зависимости температуры вещества от времени, определить удельные теплоемкости вещества в твердом и жидком состояниях. Теплоемкостью калориметра пренебречь (рис. 2).

Решение. Рассмотрим процесс, обратный данно­му - нагревание. При постоянной мощности нагревателя p. Ответ:

Рис. 2

Задача5. Тормозной путь автомобиля 320м. Считая, движение равнозамедленным, разбить весь путь на такие 4 участка, на прохож­дение каждого из которых затрачено одинаковое время.

Задача 6. Кастрюлю, в которую налит 1 л воды, никак не удается до вести до кипения при помощи нагревателя мощностью 100 Вт. Опре­делить, за какое время вода нагрелась на последний градус.

Приложение №4

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Законы сохранения играют исключительно важную роль в процессе познания физических форм движения материи. В них полагается, что существуют величины, которые обладают замечательным свойством — не ме­няться во времени. Законы отражают важнейший диалектико-материалистический принцип неуничтожимостей материи и ее движения, взаимосвязь и взаимопревращае­мость форм движения.

В известной мере, являясь критерием истины, законы сохранения обладают функцией запрета, то есть непроти­воречивость этим законам является убедительным аргу­ментом в пользу их истинности, а несоответствие — без­оговорочно отвергает решение любой задачи. В отличие от других приемов и методов решения законы сохранения дают возможность получать конечный результат, не вда­ваясь в рассмотрение подробного механизма протекания процесса (явления), когда неизвестны другие данные. В основе метода лежит использование сохранения для замкнутых систем массы системы, электрического заряда, импульсов, моментов импульсов, и, наконец, сохранение полной энергии системы. Природа разнообразна в своих свойствах и проявлениях, но замечательно, что сущест­вуют в определенных условиях законы сохранения ка­ких-то физических величин.

Задача 1. При каких углах бросания α существует точка траектории, в которой кинетическая энергия тела в три раза больше его потенциальной относительно уров­ня Земли?

Решение: Запишем закон сохранения полной механической энергии для начальной точки А и искомой В (Рис. 1). . По условию задачи в точке В: . Тогда ; , но . отсюда .Следовательно, при углах бросания условие задачи выполнено.

Рис. 1       Если h ≤ Hmax, то ,

Задача 2. Два бруска массами m₁ и m₂ соединены недеформированной легкой пружиной. Бруски лежат на горизонтальной плоскости и μ - коэффициент трения между брусками и плоскостью. Какую минимальную горизонтальную силу F следует приложить к бруску m₁, чтобы другой брусок сдвинулся с места?

Рис. 2

Решение. Если на брусок m₂ будет действовать внешняя сила больше силы трения

F_внеш ≥ F_тр, он сдвинется. Значит, эта сила должна быть F ≥ μm₂g. Но эта сила возникает лишь за счет сжатия пружины, то есть F_внеш = F_упр = kΔx = μm₂g. (1)

Пусть искомая сила — F, тогда ее работа по сжатию пружины должна сопровождаться и работой против си­лы трения, действующей на первый брусок.

Уравнение FΔx = (2) показывает, что работа приложенной внешней силы идет на увеличе­ние потенциальной энергии пружины и на работу против сил трения первого бруска. Найдя из (1) Δх = и подставив его в (2), после простейшего преобразования имеем F = .

Задача 3. На нити длиной 2h висит тело малых раз­меров. Его вместе с нитью отклоняют так, что нить го­ризонтальна. На какую максимальную высоту подни­мется тело, если на пути движения нити посредине рас­положен гвоздь на одной вертикали с точкой подвеса? Потерями энергии пренебречь.

Решение. После некоторой точки 3, где натяже­ние нити равно нулю, движение тела аналогично движе­нию тела, брошенного под углом к горизонту. Найдем высоту точки 3 по отношению к точке 2. Н3 = h + h∙cosα, где α подлежит определению. Поскольку T = 0, , то . Скорость υ3 найдем из

Рис. 3

закона сохранении энергии. . или .

Подставив значение H₃, получим . Поэтому H₃ = . Окончательно H_max = .

После подстановки значений получаем .

Налицо нарушение закона сохранения энергии?! Естественно, нет. Просто тело в этот момент имеет горизонтальную скорость. .

Задача 4. В закрепленном на столе цилиндре под поршнем находится одна «молекула» — шарик массой m. Вначале поршень массой М неподвижен, а скорость мо­лекулы направлена перпендикулярно ему. Какую ско­рость будет иметь поршень через достаточно большое время? Трение и силу тяжести не учитывать. Все удары абсолютно упругими и что по обе стороны поршня вакуум (М > m).

Задача 5. Два тела одина­ковых масс участвуют в упругом соударении. Начальные скорости тел v₁ и v₂ направлены под углом α друг к другу. Под каким углом β тела раз­летаются, если их скорости ста­ли u₁ и u₂ соответственно?

Задача 6. Какое максимальное количество капель ртути, лежащих на гладкой горизонтальной поверхнос­ти, могут слиться в одну большую каплю?

Решение. Согласно одному из важнейших следст­вий из закона сохранения энергии все в природе стремит­ся к минимуму потенциальной энергии. Поэтому система объединяющихся капель будет сливаться до тех пор, по­ка уменьшение энергии поверхностного слоя будет мень­ше (или в критической ситуации станет равным) увели­чению потенциальной энергии капли в поле тяжести. Пусть n капель слились в одну. Из закона сохранения массы (плотность ртути считаем постоянной): , где r – радиус первоначальных капель, R – радиус образовавшейся капли.

Изменение поверхностной энергии должно быть равно изменению потенциальной энергии системы.

, , .

В реальном случае число слившихся капель меньше из-за потерь энергии при слиянии на нагрев вещества.

Задача 7. При падении с большой высоты капля ис­паряется постепенно. С какой высоты (где было облако) падал дождь, если у поверхности он испарился? (Оценить.)