Звідси модуль напруженості дорівнює
. (104)
Перевіримо розмірність
Виразимо фізичні величини, що входять у формулу (104), в одиницях СІ і проведемо обчислення
Відповідь:
Приклад 19 На тонкому стрижні довжиною l рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною =10 нКл/м. Знайти потенціал
, що створюється розподіленим зарядом в точці А, розташованій на осі стрижня і віддаленій від його найближчого кінця на відстань l.
Розв’язання. В задачі розглядається поле, що створюється розподіленим зарядом. У цьому випадку роблять так. На стрижні виділяють нескінченно малу ділянку довжиною dx. Тоді на цій ділянці буде зосереджений заряд dQ = , який можна вважати точковим. Потенціал
, що створюється цим точковим зарядом в точці А (рис.18), можна визначити за формулою
Рисунок 18 – Напруженість поля, що створюється стрижнем у точці А
(105)
За принципом суперпозиції електричних полів потенціал електричного поля, що створюється зарядженим стрижнем в точці А, знайдемо інтегруванням виразу (105)
.
Після інтегрування одержимо
(106)
Підставимо числові значення фізичних величин в СІ у співвідношення (102) і проведемо обчислення
Відповідь: В.
Приклад 20. По тонкій нитці, зігнутій по дузі кола, рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною = =10 нКл/м.т (рис.19) Визначити напруженість Е і потенціал
електричного поля, що створюється таким розподіленим зарядом в точці, яка збігається з центром кривини дуги. Довжина нитки складає
довжини кола і дорівнює l =15 см.
Рисунок 19 – Напруженість поля, що створюється ниткою у центрі кривини
Розв’язання. Виберемо осі координат так, щоб початок координат збігався з центром кривини дуги, а вісь y була б орієнтована симетрично відносно кінців дуги (рис.19). На нитці виділимо елемент довжиною dl. Заряд dQ = , що знаходиться на цій ділянці, можна вважати точковим.
Тоді легко визначити напруженість електричного поля, що створюється зарядом dQ, в точці О. Для цього скористаємося таким співвідношенням:
(107)
де r - радіус-вектор, напрямлений від елемента dl до точки, в якій обчислюється напруженість.
Виразимо вектор d через його проекції
і
на осі координат
де і
- одиничні вектори напрямів (орти). Напруженість
знайдемо інтегруванням
Інтегрування будемо проводити вздовж дуги довжиною l. З міркувань симетрії задачі . Тоді
(108)
де . Оскільки r= =R=const,
= R d
, то
. (109)
Підставимо співвідношення (109) в (108). Взявши до уваги те, що розташування дуги симетричне відносно осі у, межі інтегрування візьмемо від 0 до , а результат подвоїмо:
.
Виразимо радіус R дуги через довжину l нитки (3l=2 R), тоді отримаємо
(110)
З цієї формули видно, що напруженість поля за напрямом збігається з віссю у.
Тепер знайдемо потенціал електричного поля в точці О. Для цього спочатку знайдемо потенціал d , що створюється точковим зарядом dQ в цій точці:
. (111)
Замінимо у виразі (111) r на R і проведемо інтегрування
(112)