Связь вектора напряжённости силового поля и разности потенциалов. Понятие о градиенте скалярной функции координат

Так как элементарная работа ,а , то получаем:

или .Учтём, что напряжённость гравитационного поля. Тогда последнее соотношение примет вид: .

.

В векторном анализе вектор с компонентами называется градиентом функции и обозначается либо (градиент ), либо символом («набла»), называемом так же оператором Гамильтона[15] (гамильтонианом).

Используя эти обозначения, можно записать:

или .

Напряжённость силового поля равна градиенту потенциала данной точки поля со знаком минус.

Знак «минус» в вышеприведённых формулах означает, что вектор напряжённости силового поля направлен в сторону убывания потенциала

Связь между и можно также представить в виде:

,

где –угол между векторами и ; ; –проекция вектора на направление вектора .

Понятие о «потенциальной яме»

«Потенциальной ямой» называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы меньше некоторого значения .

Термин «потенциальная яма» происходит от вида графика, изображающего зависимость потенциальной энергии частицы в силовом поле от её положения в пространстве (в случае одномерного движения от координаты ;(рис.56). Такая зависимость возникает в поле сил притяжения.

Рис.56. Схематическое изображение одномерной потенциальной ямы . Полная энергия частицы – сохраняющаяся величина, поэтому изображена на графике горизонтальной линией.

В частности, при и имеется потенциальная яма бесконечной глубины.

Примером потенциальной ямы может служить потенциал притяжения между протоном и нейтроном, экспоненциально убывающий с увеличением расстояния между ними.

В классической механике частица с энергией не сможет вылететь из потенциальной ямы и будет всё время двигаться в ограниченной области пространства внутри ямы (между двумя классическими точками остановки ).

Положение частицы на «дне» ямы отвечает устойчивому равновесию и соответствует нулевой кинетической энергии частицы. Если , то частица преодолевает действие сил притяжения и свободно покидает яму. Пример – движение упругого шарика, находящегося в поле сил земного притяжения, в обычной яме с жёсткими пологими стенками.

В квантовой механике, в отличие от классической, энергия частицы, находящейся в связанном состоянии в потенциальной яме может принимать лишь определённые дискретные значения, т. е. существуют дискретные уровни энергии. Однако такая дискретность уровней становится заметной лишь для систем, имеющих микроскопические размеры и массы.

Если в потенциальную яму попала частица, энергия которой ниже, чем необходимая для преодоления краёв ямы, то возникнут колебания частицы в яме. Амплитуда колебаний будет обусловлена собственной энергией частицы. Частица, находящаяся на дне потенциальной ямы, пребывает в состоянии устойчивого равновесия, то есть при отклонении частицы от точки минимума потенциальной энергии возникает сила, направленная в противоположную отклонению сторону. Потенциальная яма, удовлетворяющая условию:

при ; и при ,

называется одномерной потенциальной ямой бесконечной глубины с плоским дном или «потенциальным ящиком» (рис. 57).

Рис. 57.

Понятие о «потенциальном барьере»

Потенциальный барьер – ограниченная в пространстве область высокой потенциальной энергии частицы в силовом поле, по обе стороны которой потенциальная энергия более или менее резко спадает.

Потенциальный барьер соответствует силам отталкивания.

Рис. 58.

На рис. 58 изображен потенциальный барьер простой формы для случая одномерного (по оси )движения частицы. В некоторой точке потенциальная энергия принимает максимальное значение ,называется высотой потенциального барьера. Потенциальный барьер делит пространство на две области (I и II), в которых потенциальная энергия частицы меньше, чем внутри потенциального барьера (в области III).

В классической механике прохождение частицы через потенциальный барьер возможно лишь в том случае, если её полная (кинетическая + потенциальная) энергия превышает высоту потенциального барьера. Если ; тогда частица пролетает над барьером.Если же энергия частицы недостаточна для преодоления барьера, ,то в некоторой точке частица, движущаяся слева направо, останавливается и затем движется в обратном направлении.

То есть потенциальный барьер является как бы непрозрачной стенкой, барьером, для частиц с энергией, меньшей высоты потенциального барьера – отсюда название «потенциальный барьер».В квантовой механике, в отличие от классической, возможно прохождение через потенциальный барьер частиц с энергией (это явление называется «туннельным эффектом») и отражение от потенциального барьера частиц с . Такие особенности поведения частиц в квантовой физике непосредственно связаны с корпускулярно – волновой природой микрочастиц.

Рис. 59.

На рис. 59 изображён простейший одномерный потенциальный барьер прямоугольной формы.

Поле центральных сил

Центральной силой называется приложенная к телу сила, линия действия которой при любом положении тела проходит через некоторую определённую точку, называемую центром силы.

Рис. 60. Движение двух тел вокруг центра масс .

Примером центральных сил являются сила тяготения, направленная к центру планеты, кулоновские силы электростатического притяжения и отталкивания и др. (рис. 60).

Центральная сила зависит только от расстояния между взаимодействующими частицами: .

Рис. 61.

М

Рассмотрим работу при перемещении материальной точки в поле центральных сил (рис. 61): точка – силовой центр.

Элементарная работа по перемещению точки М в поле центральных сил:

.

Работа перемещения точки на конечном участке траектории 1 – 2:

, (1)

где первообразная функции .

Значение определённого интеграла в формуле (1) зависит только от расстояний и точек 1 и 2 до силового центра , но не зависит от формы пути, по которому материальная точка М перешла из положения 1 в положение 2.

Таким образом, поле центральных сил – поле потенциальное, а центральные силы – консервативные.

Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии: , т.е.

.(2)

Проинтегрировав (2), получим: ,т.е. потенциальная энергия частицы, находящейся в поле центральных сил, зависит только от расстояния до силового центра: .

Особый интерес представляют силы, обратно пропорциональные квадрату расстояния до силового центра (гравитационные, электростатические силы). Для них функция имеет вид: , где –постоянная величина ( при отталкивании от центра; –в случае притяжения к центру).

Проинтегрировав последнюю формулу, получим: .

Потенциальную энергию на бесконечности считают равной нулю, следовательно: . Так в случае гравитационного поля: ,получаем: –потенциальная энергия частицы массой в гравитационном поле планеты массой .