Нормальное и тангенциальное ускорения при криволи-нейном движении

В общем случае при движении тела его скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Для характеристики быстроты

изменения скорости движения вводится   υτ D B r  
понятие ускорения.          
      υC   υt  
  Рассмотрим плоское движение, т. е.   S    
такое, при котором все участки траектории A        
    r    
точкиr лежат в одной плоскости. Пусть век- υ   Δυ    
тор υ задает скорость точки А в момент   n E    
времени t. За время t движущаяся точка          
перешла в положение В и приобрела ско-          
рость, отличную от υ как по модулю, так и     O    
    r r r          
направлению и равную υ1 = υ+ Δυ . Перене-   Рис. 1.4.1    
  r     υ (рис.).          
сем вектор υ1 в точку А и найдем          
Средним ускорением аrср неравномерного движения в интервале вре-  
Нормальное и тангенциальное ускорения при криволи-нейном движении - student2.ru мени от t до t+ t называется векторная величина, равная отношению  
r   t:  
изменения скорости Δυ к интервалу времени  
аrср= υ . (1.4.1)  
  t    
                       

Ускорение в данный момент времени (мгновенное ускорение) представляет собой предел, к которому стремится выражение (1.4.1) при t → 0 , т. е.


r   r   Δυ   r   r    
  = lim = d υ = d 2r .  
a = lim a dt dt dt2  
  t →0 ср t →0        

Таким образом, ускорение есть векторная величина, производной скорости по времени.

(1.4.2)

равная первой



Разложим вектор Δυr на две составляющие. Для этого из точки А uuur

(рис. 1.4.1) по направлению скорости υ отложим вектор AD ,по мо-
r   uur r  
дулю равный υ1 . Очевидно, что вектор CD , равный Δυτ , определяет
изменение скорости по модулю за время t:Δυτ= υ1− υ.Вторая же со-
ставляющая Δυn вектора υ характеризует изменение скорости за
время t no направлению.        
Тангенциальная составляющая ускорения  
aτ=lim υτ = dυτ , (1.4.3)
t →0 t dt    

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, опре-деляя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Определим вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В близка к точке А, поэтому s можно считать дугой окружно-сти некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из

подобия треугольников АОВ и ЕАD следует Δυn/АВ=υ1/r, но так как  
АВ=υΔt,тоΔυn/ t=υυ1/r.В пределе при t→0,получим r r  
υ1 →υ.  
Поскольку r r а так как тре-  
υ1 →υ, угол ЕАD стремится к нулю,  
угольник ЕАD равнобедренный, то угол АDE между υ и r  
Δυn стремит-  
    r   оказываются  
ся к прямому. Следовательно, при t→0 векторы υ и Δυn  

взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор Δυrn , перпендикулярный вектору

скорости , направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ус-корения, равная

a   = lim Δυ n = υ2 . (1.4.4)  
n      
  t →0 t r      
         

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны. Поэтому эту составляю-

щую ускорения называют также центростремительным ускорением.

Таким образом, полное ускорение тела a есть геометрическая сумма тангенциальной arτ и нормальной an составляющих

a = arτ+ arn , (1.4.5)


Тангенциальное ускорение равно первой производной по време-ни от модуля скорости и определяет быстроту изменения скорости по модулю, и направлено по касательной к траектории.

Нормальное ускорение определяет быстроту изменения скоро-сти по направлению и rнаправлено к центру кривизны траектории.

Векторы aτ и an взаимно перпендикулярны поэтому модуль полного ускорения равен

a =   a   = =   d υ2   υ 2 2 (1.4.6)  
     
    a τ + an     +   .  
                  dt   R      

Нормальное и тангенциальное ускорения при криволи-нейном движении - student2.ru

Наши рекомендации