Врахувавши, що , цей вираз можна переписати у вигляді

(115)

Переконаємося в тому, що права частина співвідношень (114) та (115) дає одиницю напруженості

Визначимо всі величини в одиницях СІ і проведемо обчислення:

Е₁=0,

Побудуємо графік Е(r). В області 1 ( < ) E=0. В області 2 змінюється згідно із законом

У точці r= напруженість = В точці r= (r прямує до зліва) В області 3 (r> ) змінюється за законом , причому в точці r= (r прямує до справа) . Таким чином, функція Е(r) в точках r= і r= зазнає розриву.

Графік залежності від r наведений на рис.21.

Рисунок 21 – Графік залежності

Приклад 22. Електричне поле створюється двома зарядами =4 мкКл і =-2 мкКл, що знаходяться на відстані a=0,1 м один від одного. Визначити роботу сил поля з переміщення заряду Q =50 нКл з точки 1 в точку 2 (рис.22).

Рисунок 22 – Заряд Q переміщають з точки 1 в точку 2

Розв’язання. Для визначення роботи сил поля скористаємося співвідношенням

(116)

Застосовуючи принцип суперпозиції електричних полів, визначимо потенціали і точок 1 і 2 поля

, (117)

. (118)

Тоді, підставивши вирази (117) і (118) в (116), одержимо

,

або

Перевіримо розмірність

Підставимо числові значення фізичних величин в СІ і проведемо обчислення

Відповідь:

Приклад 23 Електричне поле створене довгим циліндром радіусом R=1 см, рівномірно зарядженим з лінійною густиною =20 нКл/м. Визначити різницю потенціалів двох точок цього поля, що знаходяться на відстані =0,5 см і =2 cм від поверхні циліндра, в середній його частині (рис.23).

Рисунок 23 – Електричне поле поблизу довгого циліндра

Розв’язання. Для визначення різниці потенціалів скористаємося співвідношенням між напруженістю поля і зміною потенціалу . Для поля з осьовою симетрією,

яким є поле циліндра, це співвідношення можна записати у вигляді

, або .

Інтегруючи цей вираз, знайдемо різницю потенціалів двох точок, віддалених на відстані і від осі циліндра:

. (119)

Оскільки циліндр довгий і точки взяті поблизу його середньої частини, то для визначення напруженості поля можна скористатися формулою напруженості поля, що створюється нескінченно довгим циліндром:

. (120)

Підставивши вираз (120) в (119), отримаємо

або

(121)

Проведемо обчислення, враховуючи, що величини і , що входять у формулу (121) у вигляді відношення, можна виразити в сантиметрах ( =R+ =1,5 см, = R+ =3 см):

Відповідь: В.

Приклад 24 З поверхні нескінченного рівномірно зарядженого ( =50 нКл/м) прямого циліндра вилітає a-частинка (u₀ = 0). Визначити кінетичну енергію a-частинки в кеВ у точці 2 на відстані 8R від поверхні циліндра (рис.24).

Розв’язання. Оскільки сили електростатичного поля є консервативними, то для визначення кінетичної енергії a-частинки в точці 2 скористаємося законом збереження енергії,

Рисунок 24 – Заряд Q переміщується з точки 1 в точку 2

записаним у вигляді E₁ = E₂, де Е₁ і Е₂ - повні енергії a -час-тинки в точках 1 і 2.

Оскільки E_l = + і E₂= + (де і - кінетичні енергії a-частинки; і – потенціальні енергії), то, враховуючи, що = 0 (х₀ = 0), можна записати = + + . Звідси

, (122)

де Q - заряд a -частинки; - потенціали точок 1 і 2.

Використовуючи розв’язок попередньої задачі (співвідношення (121)), запишемо

. (123)

Тоді після підставлення співвідношення (123) у (122) одержимо остаточно

.

Виразимо всі величини в одиницях СІ і проведемо обчислення, використавши співвідношення ,

еВ = 3,96 кеВ.

Відповідь: = 3,96 кеВ.

Приклад 25 Сила струму в провіднику опором R = 20 Ом наростає протягом часу Dt = 2 с за лінійним законом від I₀ = 0 до I = 6 А (рис.25). Визначити теплоту Q₁, Q₂, що виділилася в цьому провіднику за першу та другу секунди, а також знайти відношення цих величин Q₂/Q₁.

Розв’язання. Закон Джоуля-Ленца у вигляді є справедливим лише для постійного струму (I= const). Якщо ж сила струму у провіднику змінюється, то цей закон може бути використаний для нескінченно малого інтервалу часу

, (124)

де сила струму I є деякою функцією часу.

У даному випадку ця функція лінійна (рис.25)

Рисунок 25 – Залежність сили струму від часу

, (125)

де k - коефіцієнт пропорційності, що характеризує швидкість зміни сили струму:

.

З урахуванням співвідношення (125) формула (124) набуде вигляду

. (126)

Для визначення теплоти, що виділилася за скінченний інтервал часу Dt, вираз (122) треба проінтегрувати від t₁ до t₂:

.

Проведемо обчислення:

Q₁ = ×3²·20×(1-0) Дж=60 Дж,

Q₂= ·3²·20× (8-1) Дж = 420 Дж,

отже

Q₂/Q₁ = 420/60 = 7,

тобто за другу секунду виділиться теплоти в сім разів більше, ніж за першу.

Відповідь: Q₁ =60 Дж; Q₂= 420 Дж; Q₂/Q₁ = 7.