Движения

Работа 13. ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО

Задание: Экспериментально проверить основной закон динамики вращательного движения. Определить момент инерции маятника Обербека без цилиндров с предельной относительной погрешностью e, не превышающей 5 %.

Рис. 1

Оборудование и принадлежности: установка для проведения измерений, штангенциркуль.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Для изучения вращательного движения используется маятник Обербека рис. 1. Он состоит из четырех взаимно перпендикулярных стержней 1, укрепленных на втулке. Втулка и два шкива различных радиусов насажены на общую ось. Ось закреплена в подшипниках, так что вся система может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси. На стержни надеваются цилиндры 2 массой m_ц, которые могут перемещаться и закрепляться посредством винтов на любом расстоянии от оси вращения. Момент инерции маятника можно изменять, передвигая грузы вдоль стержней. На один из шкивов маятника навита тонкая нить 3, на конце которой находится груз 4 массы m. Момент силы создаваемый грузом служит для приведения маятника во вращательное движение. Груз удерживается в неподвижном состоянии с помощью фрикционной муфты, приводимой в действие электромагнитом 5. Подвижный кронштейн 6 можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в любом положении, изменяя таким образом высоту падения груза. Для отсчета высоты на колонке нанесена шкала 7. На подвижном кронштейне 6 установлен фотоэлектрический датчик, импульсы которого служат для запуска миллисекундомера. На нижнем неподвижном кронштейне 7 закреплен фотоэлектрический датчик 8, вырабатывающий электроимпульс конца измерения времени, включающий тормозной электромагнит.

Перед началом работы необходимо с помощью регулируемых ножек основания прибора установить колонку в вертикальное положение. Установить подвижный кронштейн на выбранную высоту, чтобы грузы, падая, проходили через середину рабочего окна фотоэлектрических датчиков. При этом нижний край грузов должен совпадать с чертой на корпусе верхнего фотоэлектрического датчика.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Общие сведения. При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Линейные физические величины – перемещение, скорость и ускорение –различны для разных точек. Поэтому для изучения вращательного движения вводят угловые величины, одинаковые для всех точек тела. Связь между линейными и угловыми величинами имеет вид:

(1)

где DS – пройденный путь, Dj – угловое перемещение, v – линейная скорость, a_r – тангенциальное ускорение, w – угловая скорость, r – расстояние до оси вращения или радиус вращения точки, e – угловое ускорение.

Для вывода основного уравнения динамики вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси мысленно разобьем тело на совокупность материальных точек массами m_i, находящимися на расстояниях r_i от оси вращения (рис. 2).

Рис. 2

Пусть на точку m_i действует сила , которая представляет равнодействующую всех приложенных внутренних и внешних сил

(2)

Внутренние силы взаимодействия удерживают точки твердого тела на определенных расстояниях друг от друга. По второму закону Ньютона ускорение данной точки связано с силой F_i соотношением

(3)

Спроецируем (3) на направление касательной к траектории точки. Учитывая (1), получим

(4)

Умножив (4) на r_i, получим:

(5)

где – момент силы, действующей на i–тую точку относительно оси вращения. Поскольку, согласно (2), сила есть сумма двух сил, то ее момент равен сумме моментов внешней и внутренней сил

(6)

Просуммировав (6) по всем точкам, получим:

(7)

Согласно третьему закону Ньютона каждой внутренней силе в системе соответствует сила, равная ей по величине, противоположная по направлению и направленная по одной и той же прямой: (рис. 3). Моменты этих сил попарно равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому очевидно, что сумма моментов всех внутренних сил равна нулю:

Рис. 3

(8)

Обозначим:

(9)

– результирующий момент внешних сил.

В правую часть уравнения (7) входит сумма

(10)

которая называется моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции тела J численно равен сумме произведений масс всех его материальных точек на квадраты их расстояний до оси вращения. Для сплошного тела суммирование можно заменить интегрированием по объёму тела:

(11)

Уравнение (7) с учетом (8), (9) и (10) примет вид:

(12)

Соотношение (12) выражает основной закон динамики вращательного движения. Оно позволяет выяснить физический смысл момента инерции: момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Это уравнение является следствием законов Ньютона. Поэтому его экспериментальная проверка является в то же время проверкой основных положений механики.

Теория метода: Для проверки основного уравнения динамики вращательного движения необходимо определять три величины: угловое ускорение e, момент сил М и момент инерции J маятника относительно оси вращения (см. рис. 1). При безразличном равновесии маятника его вращение под действием постоянного натяжения нити будет равноускоренным.

Если груз m опускается с высоты h за время t, то его ускорение

(13)

Таким же будет ускорение любой точки поверхности шкива. Тогда

(14)

где R_о – радиус шкива. Момент сил M = R_оT, где T- сила натяжения нити. Сила Т определяется из второго закона Ньютона для опускающегося груза m:

mg - T = ma (15)

Тогда сила натяжения нити

(16)

Момент силы натяжения:

(17)

При значительных силах трения F_тр и их момента M_тр уравнение (12) примет вид:

M - M_тр = Je (18)

Момент инерции маятника J состоит из суммы моментов инерции вала со шкивами J_в, стержня J_c и цилиндров J_ц:

J = J_в+J_c+J_ц (19)

Расчет моментов инерции полых цилиндров относительно произвольной оси дает (см. Приложение 1):

(20)

где m_ц – масса цилиндра; d – расстояние от оси вращения до центра масс цилиндра; l – его длина; R₁ и R₂ – внутренний и внешний радиусы.

Экспериментально момент инерции маятника определяется согласно (12,14) и (17):

(21)

Момент инерции маятника со снятыми цилиндрами: J_о = J_в + J_c

тоже находится по (21). Тогда экспериментальное значение моментов инерции цилиндров при любом их положении на стержнях, согласно (21):

(22)