Метод початкових параметрів 4 страница

Продовження таблиці 2.3

5,85	—6,3471	6,9455	0,5984	—15,9144	2,5073	—31,7152	5,85
5,86	—6,5268	7,1132	0,5864	—15,9970	2,4510	—31,8886	5,86
5,87	—6,7150	7,2891	0,5741	—16,0802	2,3947	—32,0622	5,87
5,88	—6,9120	7,4738	0,5618	—16,1636	2,3385	—32,2359	5,88
5,89	—7,1188	7,6681	0,5493	—16,2474	2,2823	—32,4098	5,89
5,90	—7,3358	7,8725	0,5368	—16,3314	2,2262	—32,5838	5,90
5,91	—7,5641	8,0884	0,5243	—16,4154	2,1702	—32,7579	5,91
5,92	—7,8043	8,3159	0,5116	—16,5000	2,1142	—32,9322	5,92
5,93	—8,0580	8,5570	0,4990	—16,5844	2,0581	—33,1068	5,93
5,94	—8,3260	8,8122	0,4862	—16,6694	2,0020	—33,2815	5,94
5,95	—8,6094	9,0830	0,4736	—16,7540	1,9460	—33,4565	5,95
5,96	—8,9100	9,3706	0,4606	—16,8396	1,8900	—33,6316	5,96
5,97	—9,2293	9,6769	0,4476	—16,9252	1,8338	—33,8070	5,97
5,98	—9,5690	10,0035	0,4345	—17,0112	1,7777	—33,9827	5,98
5,99	—9,9313	10,3528	0,4215	—17,0970	1,7216	—34,1585	5,99
6,00	—10,3186	10,7269	0,4083	—17,1834	1,6653	—34,3347	6,00
6,01	—10,7339	11,1289	0,3950	—17,2700	1,6089	—34,5112	6,01
6,02	—11,1799	11,5615	0,3816	—17,3570	1,5525	—34,6879	6,02
6,03	—11,6605	12,0287	0,3682	—17,4440	1,4960	—34,8649	6,03
6,04	—12,1799	12,5346	0,3547	—17,5314	1,4394	—35,0422	6,04
6,05	—12,7431	13,0842	0,3411	—17,6190	1,3827	—35,2198	6,05
6,06	—13,3561	13,6835	0,3274	—17,7070	1,3258	—35,3978	6,06
6,07	—14,0257	14,3393	0,3136	—17,7952	1,2687	—35,5762	6,07
6,08	—14,7603	15,0602	0,2998	—17,8836	1,2116	—35,7548	6,08
6,09	—15,5701	15,8560	0,2859	—17,9722	1,1543	—35,9338	6,09
6,10	—16,4673	16,7392	0,2719	—18,0612	1,0968	—36,1132	6,10
6,11	—17,4670	17,7249	0,2579	—18,1502	1,0391	—36,2930	6,11
6,12	—18,5882	18,8319	0,2437	—18,2398	0,9813	—36,4731	6,12
6,13	—19,8546	20,0841	0,2295	—18,3295	0,9232	—36,6537	6,13
6,14	—21,2965	21,5116	0,2151	—18,4196	0,8649	—36,8347	6,14
6,15	—22,9537	23,1544	0,2007	—18,5098	0,8064	—37,0161	6,15
6,16	—24,8783	25,0645	0,1862	—18,6004	0,7476	—37,1980	6,16
6,17	—27,1413	27,3129	0,1716	—18,6912	0,6887	—37,3802	6,17
6,18	—29,8411	29,9981	0,1570	—18,7822	0,6294	—37,5630	6,18
6,19	—33,1182	33,2604	0,1422	—18,8736	0,5699	—37,7462	6,19
6,20	—37,1810	37,3083	0,1273	—18,9654	0,5101	—37,9299	6,20
6,21	—42,3515	42,4638	0,1123	—19,0574	0,4500	—38,1141	6,21
6,22	—49,1553	49,2526	0,0973	—19,1496	0,3896	—38,2988	6,22
6,23	—58,5139	58,5961	0,0822	—19,2420	0,3289	—38,4840	6,23
6,24	—72,2020	72,2689	0,0669	—19,3350	0,2678	—38,6698	6,24
6,25	—94,1338	94,1854	0,0516	—19,4280	0,2064	—38,8561	6,25
6,26	—134,975	135,011	0,0361	—19,5216	0,1446	—39,0430	6,26
6,27	—237,751	237,771	0,0207	—19,6150	0,0825	—39,2304	6,27
6,28	—985,773	985,778	0,0050	—19,7092	0,0200	—39,4184	6,28

Таблиця 2.4 - Таблиці спеціальних функцій для розтягнуто-вигнутих стержнів

0,00	2,0000	l,0000	3,0000	6,0000	3,0000	3,0000	0,00
0,10	2,0007	0,9998	3,0005	6,0060	3,0020	3,0120	0,10
0,20	2,0027	0,9993	3,0020	6,0241	3,0080	3,0480	0,20
0,30	2,0060	0,9985	3,0045	6,0540	3,0180	3,1080	0,30
0,40	2,0106	0,9973	3,0080	6,0960	3,0319	3,1919	0,40
0,50	2,0166	0,9959	3,0125	6,1500	3,0496	3,2996	0,50
0,60	2,0239	0,9941	3,0180	6,2159	3,0713	3,4313	0,60
0,70	2,0325	0,9920	3,0244	6,2938	3,0967	3,5867	0,70
0,80	2,0423	0,9895	3,0319	6,3837	3,1257	3,7657	0,80
0,90	2,0534	0,9838	3,0403	6,4855	3,1584	3,9684	0,90
1,00	2,0658	0,9838	3,0496	6,5993	3,1945	4,1945	1,00
1,10	2,0794	0,9806	3,0600	6,7250	3,2341	4,4441	1,10
1,20	2,0943	0,9770	3,0713	6,8626	3,2768	4,7168	1,20
1,30	2,1103	0,9732	3,0835	7,0120	3,3228	5,0128	1,30
1,40	2,1275	0,9692	3,0967	7,1734	3,3718	5,3318	1,40
1,50	2,1458	0,9650	3,1108	7,3466	3,4237	5,6737	1,50
1,60	2,1653	0,9605	3,1258	7,5316	3,4784	6,0384	1,60
1,70	2,1858	0,9558	3,1416	7,7282	3,5357	6,4257	1,70
1,80	2,2074	0,9510	3,1584	7,9368	3,5955	6,8355	1,80
1,90	2,2301	0,9459	3,1760	8,1570	3,6577	7,2677	1,90
2,00	2,2537	0,9407	3,1944	8,3888	3,7222	7,7222	2,00
2,10	2,2786	0,9354	3,2140	8,6330	3,7888	8,1988	2,10
2,20	2,3041	0,9299	3,2340	8,8882	3,8575	8,6975	2,20
2,30	2,3306	0,9244	3,2550	9,1550	3,9281	9,2181	2,30
2,40	2,3581	0,9187	3,2768	9,4336	4,0004	9,7604	2,40
2,50	2,3865	0,9129	3,2994	9,7238	4,0745	10,3245	2,50
2,60	2,4157	0,9071	3,3228	10,0256	4,1502	10,9102	2,60
2,70	2,4457	0,9012	3,3469	10,3388	4,2273	11,5173	2,70
2,80	2,4765	0,8952	3,3718	10,6636	4,3058	12,1458	2,80
2,90	2,5081	0,8892	3,3973	10,9998	4,3856	12,7956	2,90
3,00	2,5405	0,8832	3,4237	11,3474	4,4667	13,4667	3,00
3,10	2,5735	0,8772	3,4507	11,7064	4,5489	14,1589	3,10
3,20	2,6072	0,8711	3,4783	12,0766	4,6321	14,8721	3,20
3,30	2,6415	0,8652	3,5067	12,4584	4,7163	15,6063	3,30
3,40	2,6765	0,8591	3,5356	12,8512	4,8015	16,3615	3,40
3,50	2,7121	0,8531	3,5652	13,3556	4,8875	17,1375	3,50
3,60	2,7483	0,8472	3,5955	13,6710	4,9743	17,9343	3,60
3,70	2,7851	0,8412	3,6263	14,0976	5,0619	18,7519	3,70
3,80	2,8223	0,8354	3,6577	14,5354	5,1501	19,5901	3,80
3,90	2,8601	0,8296	3,6897	14,9844	5,2390	20,4490	3,90
4,00	2,8984	0,8237	3,7221	15,4444	5,3286	21,3286	4,00
4,10	2,9372	0,8180	3,7553	15,9156	5,4186	22,2286	4,10
4,20	2,9764	0,8121	3,7888	16,3976	5,5092	23,1492	4,20
4,30	3,0160	0,8069	3,5229	16,8908	5,6003	24,0903	4,30
4,40	3,0561	0,8014	3,8575	17,3950	5,6919	25,0519	4,40
4,50	3,0966	0,7960	3,8926	17,9102	5,7838	26,0338	4,50
4,60	3,1373	0,7907	3,9280	18,4360	5,8763	27,0363	4,60
4,70	3,1786	0,7854	3,9640	18,9730	5,9690	28,0590	4,70
4,80	3,2201	0,7802	4,0003	19,5208	6,0621	29,1021	4,80
4,90	3,2620	0,7753	4,0373	20,0796	6,1556	30,1656	4,90
5,00	3,3042	0,7703	4,0745	20,6490	6,2493	31,2493	5,00
5,10	3,3466	0,7655	4,1121	21,2292	6,3433	32,3533	5,10
5,20	3,3895	0,7607	4,1502	21,8204	6,4376	33,4776	5,20
5,30	3,4326	0,7560	4,1886	22,4 220	6,5321	34,6221	5,30
5,40	3,4759	0,7514	4,2273	23,0378	6,6269	35,7869	5,40

Продовження таблиці 2.4

5,50	3,5194	0,7468	4,2662	23,6576	6,7220	36,9720	5,50
5,60	3,5633	0,7426	4,3059	24,2918	6,8171	38,1771	5,60
5,70	3,6073	0,7381	4,3455	24,93 0	6,9126	39,4126	5,70
5,80	3,6516	0,7340	4,3856	25,5912	7,0082	40,6482	5,80
5,90	3,6961	0,7300	4,4261	26,2572	7,1040	41,9140	5,90
6,00	3,7408	0,7258	4,4666	26,9332	7,1999	43,1999	6,00

2.4.2 Основні припущення в розрахунках рам на стійкість

Точне визначення критичного навантаження досить громіздка задача, тому роблять припущення, які дають можливість спростити задачу.

Основні припущення:

- рама завантажена тільки вузловими силами, які в початковому стані не викликають деформації вигину стержнів;

- не враховуються поздовжні деформації та деформації зсуву стержнів;

- співвідношення між компонентами зовнішніх сил до втрати стійкості залишається незмінним, тобто критичний стан рами досягається шляхом одночасного та пропорційного підвищення всіх компонентів навантаження;

- розглядаються малі переміщення, а матеріал підпорядковується закону Гука.

До тих пір, поки ми розглядаємо малі деформації, прийняті припущення себе виправдовують і дають хороші результати.

Розглянемо детальніше деякі із цих припущень на прикладі рами, яку зображено на рисунку 2.7.

Рисунок 2.7 – Схема рами, яку необхідно розрахувати на стійкість

У вихідному стані рами, яку необхідно розрахувати на стійкість, всі елементи зазнають вигин, а це проти ричіть першому припущенню, тобто розрахункову схему рами на стійкість ще необхідно створити. Ми маємо визначити вузлові сили та поздовжні зусилля в стержнях від заданого навантаження на раму. Зробити це можна одним із наступних методів:

- розрахувати раму за недеформованою схемою точним методом;

- розглянути ригель рами як систему нерозрізних балок;

- розглянути ригель рами як систему розрізних балок.

Розрахункова схема рами на стійкість матиме вигляд, який наведено на рисунку 2.8.

Рисунок 2.8 – Розрахункова схема рами на стійкість

Згідно з третім припущенням співвідношення між компонентами навантаження виконується завжди. Так само буде виконуватися завжди і співвідношення значень вузлових сил Це дає можливість виразити всі компоненти навантаження через один, що дасть можливість розшукувати один параметр навантаження.

Приймемо . Тоді , звідки . Аналогічно знаходяться . Остаточно розрахункова схема рами на стійкість матиме вигляд, який наведено на рисунку 9. Основна мета розрахунку на міцність – знайти критичне значення параметра навантаження.

Рисунок 2.9 – Остаточний вигляд розрахункової схеми рами на стійкість

2.4.3 Алгоритм розв’язання задачі стійкості рам та балок методом переміщень

– Намічаємо вузли розрахункової схеми.

– Знаходимо поздовжні сили в стержнях рами.

Поздовжні сили в стержнях рами можна знайти з умов рівноваги вузлів. Усі поздовжні сили будуть виражені через параметр навантаження (на рисунку 2.9 параметр навантаження - ).

– Визначаємо за формулою (2.13) параметри всіх стержнів рами. Ці параметри залежатимуть від одного параметра навантаження. Це дає можливість виразити всі параметри через параметр одного зі стержнів. За "еталонний" краще взяти стержень, у якого параметр найбільший.

– Визначаємо кількість основних невідомих методу переміщень (кількість кутових і лінійних переміщень у намічених вузлах).

– Складаємо рівняння рівноваги вузлів або відсічених частин стержневої системи.

– За допомогою основних залежностей методу переміщень виражаємо кінцеві зусилля (згинальні моменти та поперечні сили), що ввійшли в рівняння рівноваги, через переміщення вузлів.

Внаслідок того, що в розрахунковій схемі на стійкість тільки вузлове навантаження, система рівнянь, яку ми отримаємо, буде однорідною і матиме вигляд:

Використовуючи матричні позначення, систему рівнянь (2.28) можна записати у вигляді:

де - матриця коефіцієнтів,

- матриця вузлових переміщень.

– Складаємо рівняння стійкості.

Як відомо з математики, система алгебраїчних однорідних рівнянь може мати ненульове рішення лише в тому разі, коли визначник цієї системи дорівнює нулю. Для системи рівнянь (2.28) має виконуватися умова

Для нашої задачі виконання цієї умови означає наявність ненульових значень кутових та (або) лінійних переміщень вузлів системи. А це і є умовою втрати стійкості системи, тому рівняння (2.30) називають рівнянням стійкості.

– Знаходимо критичне навантаження.

Розкривши рівняння (2.30) отримаємо трансцендентне рівняння відносно критичного параметра навантаження. Трансцендентне рівняння має нескінченно велику кількість коренів. Найменший з коренів цього рівняння відповідає мінімальному навантаженню, яке називають критичним навантаженням. Знайти корінь рівняння, який відповідає критичному навантаженню, найпростіше методом спроб. Після того, як величину знайдено, обчислюємо величину критичного навантаження. Скориставшись формулою (2.13) знаходимо .

– Визначаємо форму втрати стійкості.

Після визначення критичного параметра навантаження стають відомими всі коефіцієнти системи рівнянь (2.28). Система (2.28) – система однорідних рівнянь, тому визначити з неї можна тільки відносні значення переміщень вузлів. Зробити це можна, наприклад, таким чином. Поклавши з -го рівнянь цієї системи знайдемо інші переміщення вузлів.

– Визначаємо приведенні довжини стиснутих стержнів рами.

Порівнявши критичне значення поздовжньої сили та значення критичної сили для центрально-стиснутого прямолінійного стержня, яка визначається за формулою Ейлера , встановимо зв'язок між коефіцієнтом приведення довжини стержня та параметром стійкості стержня : . Знаючи обчислюємо параметри стійкості всіх стиснутих стержнів системи, яку розраховуємо. (Для цього слід скористатися співвідношеннями між параметрами стійкості, які були отримані при підготовці розрахункової схеми). Визначивши параметри стійкості стиснутих стержнів рами знаходимо коефіцієнти приведення довжин стержнів та приведенні довжини .

2.4.4 Урахування симетрії споруди при розв’язанні задачі стійкості

На відміну від статичних розрахунків за недеформованою схемою симетрія споруди при розв’язанні задачі стійкості може бути використана лише в тому випадку, якщо навантаження на споруду теж симетричне. При цьому будемо користуватися теоремою : Симетрична споруда під дією симетричного навантаження може втратити стійкість або за симетричною або за кососиметричною формою. (Строгий доказ цього положення можна знайти в працях Н.В.Корноухова). Однак ця теорема не дає відповіді на питання - якій формі відповідає мінімальне значення критичного навантаження. Тому на практиці визначають критичне навантаження, яке відповідає симетричній формі втрати стійкості, визначають критичне навантаження, яке відповідає кососиметричній формі втрати стійкості, та приймають менше з двох отриманих.