Вероятность. Гауссово распределение

Поскольку появление того или иного значения в процессе измерения является случайным событием, необходимо ввести понятие вероятности события (математической), как количественной меры объективной возможности появления данного события. Событием назовем результат опыта. Если событие достоверное, т.е. всегда наступающее в результате опыта, то его вероятность равна 1. Вероятность невозможного события, т.е. никогда не наступающего в результате опыта равно нулю. Поэтому вероятность любого события лежит в промежутке [0;1].

Пусть – число измерений, а – число результатов, попадающих в заданный промежуток значений, тогда вероятность события есть предел отношения этих величин при :

. (1.1)

Плотностью вероятности назовём отношение вероятности того, что значение величины попадает в заданный интервал, к ширине этого интервала значений:

. (1.2)

Плотность вероятности возникновения значения x_i, как правило, определяется законом нормального распределения Гаусса:

, (1.3)

где – средняя квадратичная погрешность, определяемая дисперсией D (разброс) распределения

.(1.4)

График функции распределения показан на рис.10, откуда видно, что гауссова кривая имеет симметричный колоколообразный вид, характеризуемый двумя параметрами: положением вершины – , 2 – расстоянием между точками перегиба. Здесь – характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше , тем уже гауссова кривая.

Рис.10. График функции распределения

Для каждой серии измерений среднее арифметическое будет различным, и само будет являться случайной величиной, определяемой выражением

. (1.5)

Так как , то значение должно лежать в некоторых пределах значений вблизи . Назовем доверительным интервалом интервал значений [ ; ], в который истинное значение попадает с заданной вероятностью. Доверительной вероятностью (надежностью)- называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в заданный доверительный интервал. Чем больше ширина доверительного интервала, тем с большей вероятностью искомая величина попадает в этот интервал. При конечном числе измерений заменяют его приближенным значением , называемым средним квадратичным отклонением среднего арифметического:

. (1.6)

Если систематическими погрешностями можно пренебречь, то при числе измерений с доверительной вероятностью можно считать . Для более точного нахождения доверительного интервала вводят коэффициент , зависящий от числа измерений и доверительной вероятности.