Приклад виконання завдання. Система тіл (рис. 3.11) до якої входить електродвигун 1 масою m2 = 20 кг, однорідний стержень 2 масою m2 = 2 кг та довжиною м

Система тіл (рис. 3.11) до якої входить електродвигун 1 масою m₂ = 20 кг, однорідний стержень 2 масою m₂ = 2 кг та довжиною м, матеріальна точка масою m_А= 0,5 кг, яка знаходиться в точці А (ОА=2/3 ).

Система пружин жорсткістю С₁=2·10³Н/м, С₂=3·10³Н/м, та С₃=4·10³Н/м знаходиться у положенні статичної рівноваги.

В деякий момент часу точку О зміщують із положення рівноваги вверх на х₀=2см і надають швидкість ν₀ = 3 м/с вертикально вниз. Одночасно ротор електродвигуна починає обертатись із постійною кутовою швидкістю ω = 1/2·ρ (ρ – частота збурювальної сили) навколо горизонтальної осі.

Знайти закон та побудувати графік (при , де T – період) руху центра мас (точка О) електродвигуна.

Рисунок 3.11

Розв’язання. Систему пружин замінюємо однією еквівалентною пружиною жорсткістю С

,

де

С₁₃ = С₁·С₃ /(С₁+С₃) = 2·10³·4·10³/(2·10³+4·10³) = 4/3·10³ Н/м.

λ

Рисунок 3.12

Розглянемо рух невільної системи тіл (рис. 3.11): електродвигуна 1, двох однорідних стержнів 2, двох матеріальних точок А. Центр мас О електродвигуна зміщений із положення статичної рівноваги на величину х (рис. 3.12), а стержні 2 повернулися на кут φ навколо горизонтальної осі О. Дію в’язі (пружину жорсткістю С) замінюємо реакцією в’язі – силою F_пр. Оскільки в точці деформація пружин дорівнює нулю, то

F_пр= С· (х+λ), (3.1)

де λ – статична деформація пружин, яка знаходиться за формулою

λ= (P₁+2P₂+2P_A ) /C,

де P₁,P₂,P_A – вага відповідно тіл 1,2 та матеріальної точки А.

Кутова швидкість обертання ротора

,

оскільки при явищі резонансу частота збурювальної сили p дорівнює власній частоті коливань системи k= (m – маса системи)

Для дослідження руху корпуса електродвигуна (рис.3.12) використаємо теорему про зміну головного вектора кількості руху системи в проекції на вісь х.

(3.2)

, (3.3)

Проекція Q_х головного вектора кількості руху системи на вісь х

. (3.4)

Використовуючи теорему додавання швидкостей, отримаємо проекцію швидкості точки А і швидкості центра мас тіл 2 на вісь х (рис.3.12).

(3.5)

,

де .

Тепер формула (3.4), враховуючи (3.5), запишеться :

Q_х= ( +2m₂+2m )-( m₂+ m ) (3.6)

Підставляючи значення Q_х (3.6) та F_x^e (3.3) в теорему (3.2), отримаємо диференціальне рівняння:

.

Або , (3.7)

Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (3.7) складається із загального розв’язку однорідного диференціального рівняння ₁+ х₁=0, а саме:

х₁=B₁coskt + B₂ sinkt (3.8)

та частинного розв’язку х₂ неоднорідного диференціального рівняння (3.7), який будемо шукати у вигляді:

х₂=B₃cosωt. (3.9)

Із (3.7) враховуючи (3.9), знаходимо B₃

-ω²B₃cosωt + k²B₃cosωt = h₀cosωt,

.

Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (3.7)

(3.10)

Постійні інтегрування B₁ та B₂ визначимо із початкових умов:

.(3.11)

Швидкість V точки О (рис.3.12)

Із рівнянь (3.10), (3.12) та початкових умов (3.11) знаходимо постійні інтегрування B₁ та B₂ .

-0,02 = B₁+0,007, 3 = 22,86 B_2. B₂ = 0,13 м; B₁ = -0,027м.

Тепер рівняння (3.10) руху точки О електродвигуна запишеться:

x=-0,027cos(22,86t) +0,13sin(22,86t)+0,007cos(11,43t). (3.13)

Рисунок 3.13

На рис.3.13 наведений графік руху точки О корпуса електродвигуна, який отриманий на підставі формули (3.13).

Відповідь: