В поперечных сечениях стержня и проверка его на прочность

Методические указания

по выполнению расчётов на прочность стержней при растяжении-сжатии, кручении и изгибе в ходе практических занятий и выполнения домашних заданий по разделу «Сопротивление материалов» дисциплины «Прикладная механика»

Составители: проф. С.В. Палочкин

доц. О.Л. Бабашева

Москва, 2011

Методические указания предназначены для помощи студентам при решении задач на практических занятиях и в ходе самостоятельной работы по выполнению индивидуальных домашних заданий по разделу «Сопротивление материалов» дисциплины «Прикладная механика», связанных с расчётами на прочность стержней при растяжении - сжатии, кручении и изгибе.

Приведены необходимые теоретические сведения, справочный материал, порядок расчётов и расчётные зависимости. Рассмотрены численные примеры расчётов. В приложении даны исходные данные для выполнения домашних заданий по вариантам.

Подготовлено к печати на кафедре прикладной механики.

Введение

Прочность, т.е. способность материального объекта в определённых пределах воспринимать нагрузку (воздействие внешних сил) без разрушения, является одним из основных критериев работоспособности конструкций изделий машиностроения

Реальный объект, освобождённый от несущественных особенностей, называют расчётной схемой, при построении которой проводят не только схематизацию объекта в целом, но и схематизацию структуры и свойств материала изделия. В основе разработки расчетной схемы лежат следующие известные допущения сопротивления материалов [1]:

· материал рассматривается как сплошная и однородная среда, свойства которой во всех точках одинаковы;

· материал считается изотропным, т.е. имеющим одинаковые свойства во всех направлениях;

· материал является упругим, т.е. с приложением к объекту нагрузки (внешних сил и моментов) он меняет свои геометрические размеры и между частицами его материала появляются внутренние силы (усилия), которые при снятии нагрузки исчезают, и размеры объекта восстанавливаются;

· в точках объекта, достаточно удаленных от мест приложения нагрузок, внутренние силы весьма мало зависят от конкретного способа приложения этих нагрузок (принцип Сен-Венана).

· результат действия на объект совокупности различных нагрузок можно рассматривать как сумму результатов, полученных при действии каждой из них в отдельности (принцип независимости действия сил или принцип суперпозиции).

При моделировании проектируемых конструкций изделий элементы, из которых они состоят, рассматривают как стержни, пластины и оболочки.

Под стержнем понимают тело, один из размеров которого существенно больше двух остальных. Стержень, подверженный изгибу, называют балкой.

Определение внутренних сил, напряжений и перемещений

в поперечных сечениях стержня и проверка его на прочность

Для определения внутренних сил в стержнях применяют метод сечений, который основан на следующем принципе: если конструкция под действием внешних сил находится в равновесии, то в равновесии находится и любая её часть. Усилия (внутренние силы) находят в следующем порядке:

1. Действие на стержень от его опор заменяют их реакциями, которые рассматривают как дополнительные внешние силы. Значения реакций определяют из условий равновесия стержня [1].

2. Стержень разбивают по длине на характерные участки, границы которых устанавливают в местах приложения нагрузок и изменения размеров его поперечных перпендикулярных оси сечений.

3. В любом месте первого характерного участка с любого края стержня мысленно делают разрез, отсекая от стержня часть этого участка и заменяя взаимодействие частей стержня внутренними силами, которые уравновешивают внешние силы, действующие на отсеченную часть.

4. Из условий равновесия отсечённой части стержня определяют усилия в сечении, лежащем в плоскости разреза.

5. Далее последовательно повторяют действия пунктов 3 и 4 для всех характерных участков стержня.

Если внешние силы лежат в одной плоскости (система координат YZ), то для их уравновешивания необходимо в общем случае приложить в сечении 3 вида усилий: продольную силу вдоль оси Z стержня, перпендикулярную ей поперечную силу вдоль оси Y и изгибающий момент в плоскости YZ, перпендикулярной плоскости сечения.

В случае пространственной нагрузки (система координат XYZ) в поперечном сечении могут возникать 6 внутренних силовых факторов: продольная сила вдоль оси Z, две поперечные силы или вдоль осей X и Y, два изгибающих момента и относительно осей X и Y и крутящий момент относительно оси Z.

В зависимости от вида возникающих в сечениях стержня усилий различают следующие виды нагружения и, соответственно, напряжённые состояния:

· растяжение – сжатие, при котором возникает только продольная сила , направленная от сечения при растяжении и на сечение при сжатии;

· сдвиг, при котором возникает только поперечная сила или ;

· кручение, при котором возникает только крутящий момент ;

· чистый изгиб, при котором возникает только изгибающий момент или ;

· поперечный изгиб, при котором возникают изгибающий момент и поперечная сила или изгибающий момент и поперечная сила ;

· сложное напряженное состояние, которое возникает при одновременном действии двух и более простых видов нагружения.

Задача по определению неизвестных усилий называется статически определимой, если их число равно числу уравнений равновесия объекта. В противном случае она является статически неопределимой. Расчётные формулы справедливы при статических нагрузках.

Напряжения в поперечных сечениях рассматриваемого участка стержня определяют [1, 2] по следующим формулам:

· при растяжении – сжатии стержня

, (1)

где - расчётное значение нормального напряжения растяжения (со знаком «+») или сжатия (со знаком «-») в рассматриваемом сечении стержня, МПа; - продольная сила (усилие) в этом сечении, Н; - его площадь, мм²;

· при кручении стержня

, (2)

где - расчётное значение касательного напряжения кручения в рассматриваемом сечении стержня, МПа; - крутящий момент (усилие) в этом сечении, Нмм; - полярный момент сопротивления данного сечения, мм³ (для круглого сечения диаметром сплошного стержня );

· при изгибе стержня

, (3)

где - расчётное значение нормального напряжения изгиба в рассматриваемом сечении стержня, МПа; - изгибающий момент (усилие) в этом сечении, Нмм; - момент сопротивления данного сечения изгибу, мм³ (для круглого сечения диаметром сплошного стержня ).

Перемещение сечения, расположенного на расстоянии от начала рассматриваемого участка стержня, рассчитывают [1, 2] по следующим формулам:

· при растяжении – сжатии стержня

, (4)

где - линейное перемещение сечения, мм; - модуль упругости первого рода (модуль Юнга) материала стержня, МПа (для стали ;

· при кручении стержня

, (5)

где - угловое перемещение (угол закручивания) сечения, рад.; модуль упругости второго рода (модуль сдвига) материала стержня, МПа (для стали ; - момент инерции сечения, мм⁴ (для круглого сечения диаметром сплошного стержня ).

Проверку прочности стержня осуществляют [1, 2] согласно условиям:

· при растяжении – сжатии или изгибе стержня

, (6)

где - максимальное расчётное значение нормальных напряжений растяжения или изгиба в сечениях стержня; - допускаемое значение напряжений растяжения материала стержня; - предел текучести материала стержня, МПа (например, для стали 10 ); - допускаемое значение коэффициента запаса прочности;

· при кручении стержня

, (7)

где - максимальное расчётное значение касательных напряжений кручения в сечениях стержня; - допускаемое значение напряжений кручения материала стержня;

Основанная на базе описанных формул и зависимостей методика определения внутренних сил, напряжений и перемещений в поперечных сечениях стержня и проверки его на прочность при растяжении - сжатии, кручении и изгибе показана в последующих разделах работы на примере решения статически определимых задач при различных видах нагружения стержней.