Производная по направлению

Пусть скалярное поле имеет в некоторой точке М₀ значение U₀, и пусть при перемещении по направлению вектора мы приходим из точки М₀ в точку М, где скалярное поле имеет значение U_s. Приращение U при этом перемещении равно . Предел отношения этого приращения dU к численной величине перемещения ds называется производной скаляра U в точке М₀ по направлению :

Значение этой производной существенно зависитот выбора направления и ее ни в коем случае нельзя смешиватьс обыкновенной частной производной по скалярному параметру s. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, часто такую производную обозначают:

12.Градиент.

Градиентом поля называется вектор, определяемый в каждой точке поля соотношением:

Тогда , где - единичный вектор в направлении .

Часто вектор gradU обозначают также или , где ("набла") обозначает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:

13.Поток поля через поверхность.

Разобьем данную поверхность S на n элементарных площадок размером . Внутри каждой площадки выберем точку - и в этой точке построим нормальный к поверхности единичный вектор и вектор направление которого а модуль . Тогда мы определяем:

1) Поток скалярного поля:

2) Скалярный поток векторного поля:

3) Векторный поток векторного поля:

14.Производная по объему.

Под производными по объему скалярного или векторного полей в точке М понимают величины трех типов, которые получают следующим образом.

(1) Точка М окружается замкнутой поверхностью S, которая охватывает область с объемом V. (2) Вычисляется интеграл по поверхности S:

, или , или . (3) Определяется предел

отношения этого интеграла к объему V, когда S стягивается в точку М, так что V стремится к нулю.

15. Дивергенция векторного поля.

Дивергенцией(обозначается ) векторного поля называют следующую производную по объему поля в точке М:

Величина есть скалярный поток векторного полячерез замкнутую поверхность S, которая окружает точку М и охватывает область G с объемом V.

Дивергенция есть мера источников поля . Если в области G , то векторное поле называется свободным от источников. Те точки поля, в которых принято называть источникамиполя, а те, в которых — стокамиполя. 16.Формула Гаусса-Остроградского.

Для пространственной области G, ограниченной замкнутой поверхностью S:

17.Оператор Лапласа.

Пусть U(M) — скалярное поле, тогда оператор Лапласа определяется следующим образом:

или в декартовых координатах:

Оператор Лапласа векторного поля:

18.Ротор векторного поля.

Ротором (вихрем) векторного поля называют следующую производную по объему поля в точке М:

Обозначается:

19.Теорема Стокса.

Циркуляция векторного поля по замкнутой кривой L равна потоку ротора этого поля черезповерхность S , опирающуюся на кривую L:

Примечание.

В этом приложении приведены определения некоторых математических понятий, часто используемых в курсе физики. Материал носит справочный характер, поскольку предполагается, что данные понятия известны читателю.

ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ