Законы изменения и сохранения механической энергии

Работа постоянной силы.

- работа постоянной силы, приложенной к телу, определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения тела.

4.1. Под действием постоянной силы величиной 5 Н тело совершает перемещение величиной 2 м. Вычислите работу этой силы, если угол между векторами силы и перемещения равен 60⁰.

4.2. Под действием постоянной силы величиной 2 Н тело совершает перемещение величиной 1 м. Вычислите работу этой силы, если угол между векторами силы и перемещения равен 120⁰.

4.3. Под действием постоянной силы величиной 7 Н тело совершает перемещение величиной 4 м. Вычислите работу этой силы, если угол между векторами силы и перемещения равен 90⁰.

4.4. Под действием постоянной силы небольшое тело совершает перемещение из точки с радиус-вектором в точку с радиус-вектором . Вычислите работу этой силы.

4.5. Под действием постоянной силы небольшое тело совершает перемещение . Вычислите работу этой силы.

Работа переменной силы.

Разделяем конечное перемещение на такие элементарные перемещения , чтобы на любом из них можно было считать силу постоянной по величине и по направлению. Тогда можно ввести понятие элементарной работы . Затем учитываем замечательное свойство работы - аддитивность (свойство складываться): .

4.6. Материальная точка движется вдоль координатной оси X под действием силы, проекция которой F_x находится по формуле F_x = -100∙x. . Вычислите работу этой силы на перемещении от точки с координатой x₁=0,1м до точки с координатой x₂=0,3м.

4.7. Известно, что на небольшое тело массы m со стороны Земли массы M и радиуса R действует сила притяжения G∙m∙M/x² (причем x>R). Здесь x – расстояние от центра Земли до тела. С высоты H = R из состояния покоя падает небольшое тело. Найдите работу силы притяжения на этом пути.

4.8. Тело массой 6,4кг бросили вертикально вверх и оно поднялось на высоту равную радиусу Земли. Вычислите работу силы притяжения, действующей на тело со стороны Земли на этом пути. Гравитационная постоянная, масса Земли и ее радиус равны соответственно 6,7×10^-11; 6×10²⁴; 6,4×10⁶ .

Мощность силы.

4.9. Небольшое тело движется со скоростью . под действием силы . Вычислите мощность этой силы для момента t = 1 с

4.10. Небольшое тело массы 1кг движется со скоростью . Вычислите мощность силы, действующей на тело в момент t = 1 с.

4.11. Тело массы m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью . Найдите среднюю мощность, развиваемую постоянной силой тяжести за все время движения тела от старта до финиша на стартовом горизонте, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

Теорема о приращении кинетической энергии.

- приращение кинетической энергии материальной точки или поступательно движущегося твердого тела равно работе всех сил, приложенных к материальной точке или к телу.

4.12. Пуля массы 10г, перемещаясь практически горизонтально, пробивает доску. В результате ее скорость, равная в начале 400м/с, уменьшается в два раза. Вычислите работу силы сопротивления, которая действует на пулю в доске.

4.13. Тело массой 5 кг движется под действием сил так, что его скорость увеличивается со временем по закону . Вычислите работу суммарной силы, действующей на тело, за первые две секунды после начала движения.

4.14. Материальная точка начинает двигаться вдоль координатной оси X под действием силы, проекция которой находится по формуле F_x = 4x³ , и проходит расстояние равное одному метру. Вычислите кинетическую энергию этой материальной точки в конце пути.

Потенциальная энергия взаимодействия системы материальных точек.

Для того, чтобы работа силы, приложенной к телу, при переносе тела из позиции 1 в позицию 2

не зависела от формы траектории, необходимо, чтобы сумма

была полным дифференциалом. В свою очередь, для того, чтобы указанная сумма была полным дифференциалом, должны выполняться равенства

; ; .

Только при выполнении этих условий можно сопоставить точкам пространства некоторую функцию координат и назвать ее потенциальной энергией, а силу потенциальной или консервативной.

Определение формулируется не для потенциальной энергии, а для ее приращения

,

или ее убыли

.

Таким образом, потенциальная энергия неопределенна с точностью до постоянной – уровня отсчета потенциальной энергии.

Определение приращения потенциальной энергии в дифференциальной форме имеет вид

.

Отсюда

.

4.17. Является ли сила консервативной?

4.18. Является ли сила консервативной?

4.19. Является ли сила консервативной?

4.21. Введем координатную ось X, направленную от центра Земли. Пусть точка x = 0 расположена на поверхности Земли. Найдите разность потенциальных энергий взаимодействия Земли и тела массой m в точках x₁ = 0 и x₂ = H, если считать силу притяжения тела к Земле постоянной и равной mg.

4.22. Материальная точка движется вдоль координатной оси X под действием силы, проекция которой F_x находится по формуле F_x = -100∙x. . Вычислите приращение потенциальной энергии материальной точки на перемещении от точки с координатой x₁=0,1м до точки с координатой x₂=0,3м.

4.23. Материальная точка движется вдоль координатной оси X под действием силы, проекция которой F_x находится по формуле . Вычислите приращение потенциальной энергии материальной точки на перемещении от точки с координатой x₁=0м до точки с координатой x₂=2м.

4.24. Известно, что на небольшое тело массы m со стороны Земли массы M и радиуса R действует сила притяжения G∙m∙M/x² (причем x>R). Здесь x – расстояние от центра Земли до тела. Найдите разность потенциальных энергий взаимодействия тела, массой m и Земли в точках x = R + H и x = R.

4.25. В некоторой точке траектории потенциальная энергия взаимодействия материальной точки с внешним полем равна 2 Дж. Можно ли располагая этой информацией найти силу, действующую на материальную точку?

4.26. В двух «близких» точках 1 и 2 потенциальная энергия взаимодействия частицы с внешним полем равна 5 Дж и 6 Дж соответственно. Расстояние между точками равно 1 см. Вычислите проекцию силы на координатную ось X, проходящую через эти точки (от 1 к 2 ).

4.29. Потенциальная энергия взаимодействия частицы с внешним силовым полем равна . Здесь A – постоянная величина. Найдите проекции F_x, F_y, F_z силы, действующей на эту частицу.

4.31. Потенциальная энергия взаимодействия частицы с внешним силовым полем равна . Здесь a, b, c – постоянные. Найдите силу , действующую на эту частицу.

Изменение механической энергии.

Пронумеруем тела, которые входят в состав системы тел. Все силы, действующие на тела системы, разделяем на внешние и внутренние. Внешние действуют на пронумерованные тела со стороны тел не входящих в систему. внутренние – со стороны одних тел системы на другие тела системы. Вводим по определению механическую энергию E системы тел, как сумму кинетических энергий тел системы и потенциальных энергий их взаимодействия друг с другом. Тогда справедливо следующее утверждение:

-

приращение механической энергии системы тел равно сумме работы внешних сил и работы внутренних диссипативных (неконсервативных, непотенциальных) сил. Это закон (или теорема) изменения механической энергии.

4.35. Тело массы 1кг брошено вверх с начальной скоростью 10 м/с. Высота подъема тела оказалась равной 4 м. Найдите работу силы сопротивления воздуха.

4.36. Тело массы m брошено с начальной скоростью c башни высоты h. На землю тело упало со скоростью . Найдите работу силы сопротивления воздуха.

4.37. Небольшую шайбу массы m пустили снизу вверх по горке с начальной скоростью . Добравшись до некоторой высоты, шайба соскальзывает вниз, причем у основания ее скорость равна . Найдите работу силы трения, приложенной к шайбе, на всем пути (от основания до основания горки).

4.38. Гладкий легкий горизонтальный стержень AB может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец A. На стержне находится небольшая муфточка массы m, соединенная легкой пружинкой длины l₀ с концом A. Коэффициент жесткости пружинки равен k. Найдите работу, которую следует совершить, чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой скорости ω.

4.39. Небольшое тело массы m налетает на покоившееся небольшое тело массы 2m. Происходит абсолютно неупругий удар. Найдите относительное приращение кинетической энергии этой системы тел.

4.40. Небольшое тело массы 2m налетает на покоившееся небольшое тело массы m. Происходит абсолютно неупругий удар. Найдите относительное приращение кинетической энергии этой системы тел.

4.41. Молекула столкнулась с другой, покоившейся, молекулой той же массы. Угол разлета молекул после столкновения равен 180⁰. По знаку приращения кинетической энергии системы молекул установите, увеличилась или уменьшилась кинетическая энергия системы.

4.42. Молекула столкнулась с другой, покоившейся, молекулой той же массы. Угол разлета молекул после столкновения равен 120⁰. По знаку абсолютного приращения кинетической энергии системы молекул установите, увеличилась или уменьшилась кинетическая энергия системы.

4.43. Молекула столкнулась с другой, покоившейся, молекулой той же массы. Угол разлета молекул после столкновения равен 60⁰. По знаку абсолютного приращения кинетической энергии системы молекул установите, увеличилась или уменьшилась кинетическая энергия системы.

4.44. Молекула столкнулась с другой, покоившейся, молекулой той же массы. Угол разлета молекул после столкновения равен 30⁰. По знаку абсолютного приращения кинетической энергии системы молекул установите, увеличилась или уменьшилась кинетическая энергия системы.

4.45. Молекула столкнулась с другой, покоившейся, молекулой той же массы. Угол разлета молекул после столкновения равен 0⁰. По знаку абсолютного приращения кинетической энергии системы молекул установите, увеличилась или уменьшилась кинетическая энергия системы.

Сохранение механической энергии.

Назовем систему тел изолированной от внешнего мира, если работа внешних сил равна нулю. Назовем систему тел консервативной, если работа внутренних диссипативных сил равна нулю. Тогда можно утверждать, что механическая энергия изолированной и консервативной системы тел сохраняется:

если и , то или .

4.52. В результате абсолютно упругого центрального столкновения частицы 1 массы m₁ с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми по величине скоростями. Найдите массу m₂ частицы 2.

4.53. В результате абсолютно упругого столкновения частицы 1 с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично относительно первоначального направления движения частицы 1, и угол между их направлениями разлета оказался равным 60⁰. Найдите отношение массы частицы 1 к массе частицы 2.

4.54. При упругом ударе нейтрона о неподвижное ядро некоторого атома нейтрон двигался после удара в направлении, перпендикулярном первоначальному. В результате кинетическая энергия нейтрона уменьшилась в 2 раза. Найдите, под каким углом α к первоначальному направлению движения нейтрона будет двигаться ядро.

4.55. После упругого столкновения нейтрона с неподвижным ядром атома углерода нейтрон движется в направлении, перпендикулярном первоначальному. Считая, что масса ядра атома углерода в 12 раз больше массы нейтрона, найдите, во сколько k раз уменьшится энергия нейтрона в результате столкновения.

Собственная кинетическая энергия системы материальных точек.

Собственной кинетической энергией системы материальных точек называется сумма кинетических энергий материальных точек, вычисленная в системе отсчета центра масс:

.

Кинетическая энергия системы материальных точек, вычисленная в лабораторной системе отсчета, может быть представлена в виде суммы собственной кинетической энергии и кинетической энергии системы как целого, движущейся со скоростью центра масс относительно лаборатории:

-

теорема Кенига.

4.59. Два шарика, массой 100г каждый, движутся относительно лаборатории с одинаковыми по величине скоростями 10м/с. В некоторый момент времени скорость одного из них перпендикулярна прямой, проходящей через шарики, а другого направлена вдоль этой прямой. Вычислите собственную кинетическую энергию системы шариков.

4.60. Два шарика массой 100г каждый движутся относительно лаборатории со скоростями 10м/с и 30 м/с соответственно. В некоторый момент времени скорости шариков перпендикулярны прямой, проходящей через шарики, и направлены в одну сторону. Вычислите собственную кинетическую энергию системы шариков.

4.61. Два шарика массой 100г каждый движутся относительно лаборатории со скоростями 10м/с и 20 м/с соответственно. В некоторый момент времени скорости шариков сонаправлены и лежат на прямой, проходящей через шарики. Вычислите собственную кинетическую энергию системы шариков.

4.62. Два шарика массой 100г каждый движутся относительно лаборатории со скоростями 10м/с и 30 м/с соответственно. В некоторый момент времени скорости шариков перпендикулярны прямой, проходящей через шарики, и направлены в противоположные стороны. Вычислите собственную кинетическую энергию системы шариков.