Оптической разностью хода волн. 2 страница

В качестве иллюстрации на рис. 19.14 изображена векторная диаграмма, соответствующая дифракционной решетке, состоя­щей из шести щелей: E1 Е₂ и т. д. — векторы напряженности электрической составляющей электромагнитных волн от первой, второй и т. д. щелей. Возникающие при интерференции пять до­бавочных минимумов (сумма векторов равна нулю) наблюдаются при разности фаз волн, приходящих от соседних щелей, в (а), (б), 180° (в), (г) и (д).

Так, можно убедиться, что между центральным и каждым пер­вым главным максимумами имеется N - 1 добавочных минимумов, удовлетворяющих условию

(19.31)

Рис. 19.14

.

Особо отметим роль минимумов от одной щели. В направле­нии, отвечающем условию (19.27), каждая щель дает минимум, поэтому минимум от одной щели сохранится и для всей решетки. Если для некоторого направления одновременно выполняются ус­ловия минимума для щели (19.27) и главного максимума решет­ки (19.29), то соответствующий главный максимум не возникнет. Обычно стараются использовать главные максимумы, которые размещаются между первыми минимумами от одной щели, т. е. в интервале

(19.33)

При падении на дифракционную решетку белого или иного немо­нохроматического света каждый главный максимум, кроме цент­рального, окажется разложенным в спектр [см. (19.29)]. В этом случае k указывает порядок спектра.

Таким образом, решетка является спектральным прибором, поэтому для нее существенны характеристики, которые позволя­ют оценивать возможность различения (разрешения) спектраль­ных линий.

Одна из таких характеристик — угловая дисперсия — опреде­ляет угловую ширину спектра. Она численно равна угловому рас-

Рис. 19.16

стоянию da между двумя линиями спектра, длины волн которых различаются на единицу

Дифференцируя (19.29) и используя только положительные значения величин, получаем

Из последних двух равенств имеем

(19.34)

Так как обычно используют небольшие углы дифракции, то

. Угловая дисперсия D тем выше, чем больше порядок спектра и чем меньше постоянная с дифракционной решетки.

Возможность различать близкие спектральные линии зависит не 1?олько от ширины спектра, или угловой дисперсии, но и от ширины Спектральных линий, которые могут накладываться друг на друга.

Принято считать, что если между двумя дифракционными мак­симумами одинаковой интенсивности находится область, где сум­марная интенсивность составляет 80% от максимальной, то спект­ральные линии, которым соответствуют эти максимумы, уже раз­решаются. При этом, согласно Дж. У. Рэлею, максимум одной линии совпадает с ближайшим минимумом другой, что и считает ся критерием разрешения. На рис. 19.17 изо­бражены зависимости интенсивности / отдель­ных линий от длины волны (сплошная кривая) и их суммарная интенсивность (штриховая кривая). Из рисунков легко увидеть неразре-шенность двух линий (а) и предельную разре-шенность (б), когда максимум одной линии совпадает с ближайшим минимумом другой.

Разрешение спектральных линий количе­ственно оценивается разрешающей способ­ностью, равной отношению длины волны к наименьшему интервалу длин волн, которые еще могут быть разрешены:

(19.35)

Так, если имеются две близкие линии с длинами волн , то (19.35) можно приближенно записать в виде

. (19.36)

Условие главного максимума для первой волны

С ним совпадает ближайший минимум для второй волны, усло­вие которого

Приравнивая правые части последних двух равенств, имеем

откуда [с учетом (19.36)]

Итак, разрешающая способность дифракционной решетки тем больше, чем больше порядок спектра и число N штрихов.

Рассмотрим пример. В спектре, полученном от дифракционной ре­шетки с числом щелей N = 10 000, имеются две линии вблизи длины вол­ны = 600 нм. При какой наименьшей разности длин волн эти линии различаются в спектре третьего порядка (k = 3)?

Для ответа на этот вопрос приравняем (19.35) и (19.37), ,Откуда Подставляя числовые значения в эту формулу, находим = 600 нм(3* 10 000) = 0,02 нм.

Так, например, различимы в спектре линии с длинами волн 600,00 и 600,02 нм и не различимы линии с длинами волн 600,00 и 600,01 нм.

Выведем формулу дифракционной ре­шетки для наклонного падения когерент­ных лучей (рис. 19.18, — угол падения). Условия формирования дифракционной картины (линза, экран в фокальной плос­кости) те же, что и при нормальном паде­нии.

Проведем перпендикуляры А'В к падаю­щим лучам и АВ' ко вторичным волнам, идущим под углом к перпендикуляру, восставленному к плоскости решетки. Из рис. 19.18 видно, что к положению А'В лучи имеют одинаковую фазу, от АВ' и далее разность фаз лучей сохраняется. Следовательно, разность хо­да есть

d= ВВ'-АА. (19.38)

Из DАА'В имеем АА' = АВ sin (3 = с sin р. Из DВВ'А находим ВВ' = АВ sin a = = с sin а. Подставляя выражения для АА' и ВВ' в (19.38) и учитывая ус­ловие для главных максимумов, имеем

с (sin а - sin Р) = + kX. (19.39)

Центральный главный максимум соответствует направлению падающих лучей (а = b).

Наряду с прозрачными дифракционными решетками исполь­зуют отражательные, у которых штрихи нанесены на металличе­скую поверхность. Наблюдение при этом ведется в отраженном свете. Отражательные дифракционные решетки, изготовленные на вогнутой поверхности, способны образовывать дифракцион­ную картину без линзы.

В современных дифракционных решетках максимальное чис­ло штрихов составляет более 2000 на 1 мм, а длина решетки более 300 мм, что дает значение N около миллиона.

^{______________________}

¹ Из формулы (19.29) видно, что максимальное значение не может превышать величины c/l.

§ 19.7. Основы рентгеноструктурного анализа

Основная формула дифракционной решетки (19.29) может быть использована не только для определения длины волны, но и для решения обратной задачи — нахождения постоянной дифрак­ционной решетки по известной длине волны. Такая скромная применительно к обычной дифракционной решетке задача подво­дит к практически важному вопросу — измерению параметров кристаллической решетки посредством дифракции рентгенов­ских лучей, что является содержанием рентгеноструктурного анализа.

CF — перпендикуляры к падающим и отраженным лучам соот­ветственно. Разность хода отраженных лучей 1’ и 2'

(19.41)

где t — межплоскостноерасстояние.

Максимумы интерференции при отражении возникают в слу­чае, когда разность хода равна целому числу длин волн:

(19.42)

Это условие Брэгга—Вульфа.

При падении монохроматического рентгеновского излучения на кристалл под разными углами наибольшее отражение (максимум) будет для углов, отвечающих условию (19.42). При регистрации под определенным углом скольжения пучка рентгеновского излу­чения со сплошным спектром максимум дифракции будет выпол­няться для длин волн, удовлетворяющих условию Брэгга—Вульфа.

П. Дебаем и П. Шеррером был предложен метод рентгено-структурного анализа, основанный на дифракции монохромати­ческих рентгеновских лучей в поликристаллических телах (обыч­но спрессованные порошки). Среди множества кристаллитов всег­да найдутся такие, для которых одинаковы и k, причем эти величины соответствуют формуле Брэгга—Вульфа. Отраженный луч 2 (максимум) составит угол с падающим рентгеновским лу­чом 1 (рис. 19.20, а). Так как условие (19.42) одинаково для мно­гих кристаллов, по-разному ориентированных, то дифрагирован­ные рентгеновские лучи образуют в пространстве конус, вершина которого лежит в исследуемом образце, а угол раствора равен (рис. 19.20, б). Другой совокупности величии и k, удовлетво­ряющих условию (19.42), будет соответствовать другой конус. На фотопленке рентгеновские лучи образуют рентгенограмму (дебае-грамму) в виде окружностей или дуг (рис. 19.21 а, б).

Дифракцию рентгеновских лучей наблюдают также при рассея­нии их аморфными твердыми телами, жидкостями и газами. В этом случае на рентгенограмме получаются широкие и размытые кольца.

В настоящее время широко применяют рентгеноструктурный анализ биологических молекул и систем: на рис. 19.22 показаны рентгенограммы белков. Этим методом Дж. Уотсон и Ф. Крик ус­тановили структуру ДНК и были удостоены Нобелевской премии (1962). Использование дифракции рентгеновских лучей от крис­таллов для исследования их спектрального состава относится к области рентгеновской спектроскопии.

§ 19.8. Понятие о голографии и ее возможном применении в медицине

Голография¹ — метод записи и восстановления волнового поля, основанный на интерференции и дифракции волн.

Идея голографии была впервые высказана Д. Габором в 1948 г., однако ее практическое использование оказалось возможным пос­ле появления лазеров.

Изложение основ голографии уместно начать сравнением с фо­тографией. При фотографировании на фотопленке фиксируется интенсивность световых волн, отраженных предметом. Изображе­ние в этом случае является совокупностью темных и светлых точек. Фазы рассеиваемых волн не регистрируются, и таким обра­зом пропадает значительная часть информации о предмете.

Голография позволяет регистрировать и воспроизводить более полную информацию об объекте с учетом амплитуд и фаз волн, рассеянных предметом. Регистрация фазы возможна вследствие интерференции волн. С этой целью на светофиксирующую по­верхность посылают две когерентные волны: опорную, идущую непосредственно от источника света или зеркал, которые исполь­зуют как вспомогательные устройства, и сигнальную, которая по­является при рассеянии (отражении) части опорной волны пред­метом и содержит соответствующую информацию о нем.

Интерференционную картину, образованную сложением сигнальной и опорной волн и зафиксированную на светочувст­вительной пластинке, называют голограммой. Для восстанов­ления изображения голограмму освещают той же опорной волной.

Покажем на некоторых примерах, как получается голограмма и восстанавливается изображение.

Голограмма плоской волны.В этом случае на голограмме фик­сируется плоская сигнальная волна /, попадающая под углом а_х на фотопластинку Ф (рис. 19.23, а).

Опорная волна // падает нормально, поэтому во всех точках фото­пластинки одновременно ее фаза одинакова. Фазы сигнальной волны вследствие ее наклонного падения различны в разных точках светочувствительного слоя. Из этого следует, что разность фаз между лучами опорной и сигналь­ной волн зависит от места встречи этих лучей на фотопластинке и, согласно условиям макси­мумов и минимумов интерференции, получен­ная голограмма будет состоять из темных и светлых полос.

Пусть АВ (рис. 19.23, б) соответствует рас­стоянию между центрами ближайших тем­ных или светлых интерференционных полос. > Это означает, что фазы точек А и В в сигналь­ной волне отличаются на . Построим нор-i маль АС к ее лучам (фронт волны). Очевидно, что фазы точек А и С одинаковы. Различие

фаз точек В и С на означает, что Из прямоугольного имеем

(19.43)

Итак, в этом примере голограмма подобна дифракционной решетке, так как на светочувствительной поверхности зарегистрированы.

Направив на голограмму опорную волну II (рис. 19.24), осуществим дифракцию (см. § 19.6). Соглас­но (19.29), первые главные максимумы (k = 1) соответствуют на­правлениям

(19.44)

Подставив в это выражение АВ из (19.43) вместо с, имеем

(19.45)

откуда

(19.46)

Из (19.46) видно, что направление волны I’ (рис. 19.24), дифра­гированной под углом , соответствует сигнальной: так восстанав­ливают волну, отраженную (рассеянную) предметом. Волна I" и вол­ны остальных главных максимумов (на рисунке не показаны) также воспроизводят информацию, зафиксированную в голограмме.

Голограмма точки.Одна часть опорной волны II попада­ет на точечный объект А (рис. 19.25, а) и рассеивается от него

в виде сферической сигнальной волны /, другая часть плос­ким зеркалом 3 направляется на фотопластинку Ф, где эти вол­ны и интерферируют. Источником излучения является лазер Л. На рис. 19.25, б схематически изображена полученная голо­грамма.

Хотя в данном примере сигнальная волна является сфериче­ской, можно с некоторым приближением применить формулу (19.43) и заметить, что по мере увеличения угла а₁ (см. рис. 19.23, а) уменьшается расстояние АВ между соседними полосами. Нижние дуги на голограмме (рис. 19.25, б) расположены более тесно.

Если вырезать из голограммы узкую полоску, показанную штриховыми линиями на рис. 19.25, б, то она будет подобна уз­кой дифракционной решетке, постоянная которой уменьшается в направлении оси X. На такой решетке отклонение вторичных волн, соответствующих первому главному максимуму, возрастает по мере увеличения координаты X щели [см. (19.29)]: с становит­ся меньше, |sin a| — больше.

Таким образом, при восстановлении изображения плоской опорной волной дифрагированные волны уже не будут плоскими. На рис. 19.26 показаны волна /', формирующая мнимое изобра­жение А' точки А, и волна I", создающая действительное изобра­жение А".

Так как рассеянные предметом волны попадают совместно с опорной волной во все точки голограммы, то все ее участки содер­жат информацию о предмете, и для восстановления изображения не обязательно использовать полностью всю голограмму. Следу­ет, однако, заметить, что качество восстановленного изображения тем хуже, чем меньшую часть голограммы для этого применяют. Из рис. 19.26 видно, что мнимое и действительное изображения образуются и в том случае, если восстановление осуществляют,

например, нижней половиной го­лограммы, однако изображение при этом формируется меньшим коли­чеством лучей.

Любой предмет является сово­купностью точек, поэтому рассуж­дения, приведенные для одной точ­ки, могут быть обобщены и на го­лографирование любого предмета. Голографические изображения объ­емны, и их зрительное восприятие ничем не отличается от восприятия

соответствующих предметов²: ясное видение разных точек изображения осуществляется посредством аккомодации глаза (см. § 21.4); при изменении точки зрения изменяется перспектива, одни детали изображения могут заслонять другие.

При восстановлении изображения можно изменить длину опорной волны. Так, например, голограмму, образованную неви­димыми электромагнитными волнами (ультрафиолетовыми, инф­ракрасными и рентгеновскими), можно восстановить видимым светом. Так как условия отражения и поглощения электромаг­нитных волн телами зависят, в частности, от длины волны, то эта особенность голографии позволяет использовать ее как метод внутривидения, или интроскопии³.

Особо интересные и важные перспективы открываются в связи с ультразвуковой голографией. Получив голограмму в ультразву­ковых механических волнах, можно восстановить ее видимым све­том. Ультразвуковая голография в перспективе может быть ис­пользована в медицине для рассматривания внутренних органов человека с диагностической целью. Учитывая большую информа­тивность этого метода и существенно меньший вред ультразвука по сравнению с рентгеновским излучением, можно ожидать, что в будущем ультразвуковая голографическая интроскопия заменит традиционную рентгенодиагностику.

Еще одно медико-биологическое приложение голографии свя­зано с голографическим микроскопом. Один из первых способов построения голографического микроскопа основан на том, что изображение предмета получается увеличенным, если голограм­му, записанную с плоской опорной волной, осветить расходящей­ся сферической волной.

В развитие голографии внес вклад советский физик Ю. Н. Де-нисюк, разработавший метод цветной голографии.

Сейчас трудно оценить все возможности применения гологра­фии: кино, телевидение, запоминающие устройства и т. д. Несом­ненно лишь, что голография является одним из величайших изо­бретений XX в.

¹ Голография (греч.) — полная запись.

² Некоторое отличие обусловлено одноцветностью изображения, ко­торое неизбежно при записи и восстановлении монохроматической вол­ной.

³ Intro (лат.) — внутри и skopeo (лат.) — смотрю. Ризуальное наблюдение объектов, явлений и процессов в оптически непрозрачных телах и средах, а также в условиях плохой видимости

.

ГЛАВА 20

Поляризация света

В главе рассматриваются методы получения упорядоченной ориентации электрического и магнитного векторов в свето­вых волнах и некоторые свойства таких волн.

§ 20.1. Свет естественный и поляризованный. Закон Малюса

Электромагнитнаю волну, в которой векторы и, следо­вательно, векторы лежат во вполне определенных плоскос­тях, называют плоскополяризованной.

Плоскость, проходящая через электрический вектор и на­правление распространения электромагнитной волны, является плоскостью поляризации.

Плоскополяризованную волну излучает отдельный атом. В ес­тественном свете, идущем от Солнца, накаленной нити лампы, га­зоразрядной трубки, пламени и т. п., складываются неупорядо­ченные излучения множества атомов, поэтому направление не выдерживается в одной плоскости. Такой свет можно рассматри­вать как наложение плоскополяризованных волн с хаотической ориентацией плоскостей колебаний, электрические векторы ори­ентированы по всевозможным перпендикулярным лучу направле­ниям. На рис. 20.1 показаны в некоторый момент времени се чение луча О и хаотическая ориентация векторов в плоскости, перпендикуляр­ной лучу.

Если выбрать две любые взаимно пер­пендикулярные плоскости, проходящие через луч естественного света, и спроеци­ровать векторы на эти плоскости, то в среднем эти проекции будут одинако­выми. Поэтому луч естественного света удобно изображать как прямую, на ко­торой расположено одинаковое число тех и других проекций в виде стрелок и точек (рис. 20.2, а). Таким образом, прямая с черточками (рис. 20.$, б) или точками (рис. 20.2, в) обозначает луч плоскополяризованного света.

Луч света, состоящего из неполяризованной и поляризованной составляющих и называемого частично поляризованным, ус­ловно показан на рис. 20.2, г, д, причем соотношение числа стре­лок и точек условно иллюстрирует степень поляризации, т. е. долю интенсивности поляризованной составляющей относитель­но полной интенсивности света.

Устройство, позволяющее получать поляризованный свет из естественного, называют поляризатором. Он пропускает толь­ко составляющую вектора на некоторую плоскость — глав­ную плоскость поляризатора, которая содержит световой век­тор и направление распространения света. При этом из поляри­затора выходит поляризованный свет¹, интенсивность которого рав­на половине интенсивности падающего естественного (неполяризованного) света. При вращении поляризатора относительно луча естественного света поворачивается плоскость колебаний вышедше­го плоскополяризованного света, но интенсивность его не изменяет­ся. Поляризатор можно использовать для анализа поляризованного света, тогда его называют анализатором.

Если плоскополяризованный свет с амплитудой электрическо­го вектора падает на анализатор, то он пропустит только со­ставляющую, равную

(20.1)

где — угол между главными плоскостями поляризатора Р и ана­лизатора А (рис. 20.3).

Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амп­литуды колебаний [см. (14.60)], то из (20.1) получаем

(20.2)

Как видно из закона Малюса, при повороте анализатора отно­сительно луча падающего плоскополяризованного света интен­сивность вышедшего света изменяется от нуля до 1₀. Если при по­вороте анализатора вокруг падающего луча как оси вращения ин­тенсивность прошедшего света не изменяется, то свет может быть естественным¹; если при этом интенсивность изменяется по зако­ну (20.2), то падающий свет — плоскополяризованный.

Термин «поляризация света» имеет два смысла. Во-первых, под этим понимают свойство света, характеризующееся простран­ственно-временной упорядоченностью ориентации электрическо­го и магнитного векторов. Во-вторых, поляризацией света назы­вают процесс получения поляризованного света.

¹ Возможное поглощение света поляризатором здесь и далее не учи­тывается.

где I_o — интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор, / — интенсивность света, вышедшего из анализа­тора. Уравнение (20.2) выражает закон Малюса.

§ 20.2. Поляризация света при отражении и преломлении на границе двух диэлектриков

При отражении от границы двух диэлектриков естественный свет частично поляризуется(рис. 20.4).

Вотраженном луче преобладают колебания, перпендикуляр­ные плоскости падения, а в преломленном — параллельные ей.

Если угол падения удовлетворяет условию

(20.3)

то отраженный монохроматический луч полностью поляризован (рис. 20.5). Соотношение (20.3) выражает закон Брюстера.Здесь