Расчет момента инерции маятника

Пока сила тяжести Р, приложенная в центре масс С, направлена вдоль оси стержня (рис. «а»), система находится в равновесии. Если отклонить стержень на некоторый малый угол a (рис. «б»), то центр масс С поднимается на небольшую высоту и тело приобретает запас потенциальной энергии. На маятник относительно оси О, направление которой выбираем «к нам», будет при этом действовать момент силы тяжести, проекция которого на эту ось равна

, (1)

где ; L – расстояние между осью вращения О и центром масс С.

Вращающий момент М, создаваемый силой Р, при малых углах a равен

.

Он вызывает ускорение при вращательном движении маятника. Связь между этим ускорением и моментом сил дается основным уравнением динамики вращательного движения

, (2)

где J – момент инерции маятника относительно оси О.

Обозначим

. (3)

Тогда из уравнения (2) получим

. (4)

Уравнение (4) описывает колебательный процесс с циклической частотой .

Период колебаний, следовательно, равен

. (5)

Из формулы (5) выразим момент инерции

. (6)

Если положение центра масс системы не изменяется, то величина L постоянна и в формулу (6) можно ввести постоянный коэффициент

(7)

Измеряя время t, в течение которого происходит n полных колебаний, найдем период . Подставляя T и K в (6), получим рабочую формулу

. (8)

С помощью формулы (8) производятся косвенные измерения момента инерции физического маятника относительно оси О.

С другой стороны, момент инерции J зависит от положения грузов m₃ на стержне. Будем перемещать грузы m₃ по стержню так, чтобы они располагались симметрично относительно некоторой точки А. Эта точка выбрана произвольно вблизи середины стержня. Центр масс системы при этом сохраняет свое местоположение. Считая грузы m₃ материальными точками, момент инерции системы можно выразить так

, (9)

где - момент инерции системы без грузов; x – расстояние груза m₃ до точки А; l – расстояние точки А до оси вращения маятника О.

Преобразуя формулу (9), получим

, (10)

где - момент инерции маятника при положении грузов m₃ в точке А.

Зависимость (10) будем проверять, получая величины J и J_A экспериментально с помощью формулы (8).

Задание к работе

1. При подготовке к лабораторной работе получите расчетную формулу для погрешности косвенных измерений D_J момента инерции (см. «Введение»). Учтите, что момент инерции определяется с помощью рабочей формулы (8). Для упрощения вычислений можно считать, что коэффициент K в этой формуле измерен точно: D_K = 0.

2. Подготовьте эскиз таблицы1 для статистической обработки пятикратных прямых измерений времени t (см. «Введение»).

3. Подготовьте эскиз таблицы2 для исследования зависимости J от x².

4. Приступая к работе, поместите оба груза а точке А (ее положение отмечено на стержне маятника). Проведите пятикратные измерения времени t десяти полных колебаний физического маятника.

5. Рассчитайте среднее время и определите доверительную погрешность измерения D_t.

6. Используя рабочую формулу (8) определите значение момента инерции J_A, а по формуле, полученной в п.1 этого задания, определите погрешность измерения этой величины D_J. Результат запишите в виде . Результат занесите в таблицу2 для .

7. Раздвиньте грузы m₃ симметрично относительно точки А на расстояние x (см. рис.). Проведите однократные измерения времени t десяти полных колебаний физического маятника.

8. Повторите опыт п.7 при пяти различных расстояниях x.

9. Определите момент инерции маятника с помощью формулы (8) при различных расстояниях x. Результаты занесите в таблицу2.

10. Постройте график зависимости момента инерции маятника от x², пользуясь таблицей 2. Нанесите на этот же график ожидаемую зависимость (10). Проведите сравнение и анализ полученных результатов.

Контрольные вопросы

1. Цель данной работы.

2. Момент инерции тела, его физический смысл.

3. Сформулируйте и примените к данной работе основной закон динамики вращательного движения.

4. Что такое центр масс системы?

5. Почему местоположение центра масс маятника не меняется при изменении положения грузов m₃?

6. Найдите момент инерции системы относительно центра масс, задав или измерив нужные для этого величины.

7. Сформулируйте закон сохранения энергии и запишите его применительно к физическому маятнику.

8. Получите рабочую формулу (8) и зависимость (10).

9. Получите формулу для расчета погрешности косвенных измерений момента инерции.

10. Сформулируйте теорему Штейнера и примените ее к исследуемой системе.

11. Почему предлагается построить график зависимости момента инерции от квадрата величины x?

12. Что такое момент силы , угловая скорость , угловое ускорение , угловое перемещение , как направлены эти векторы?

Литература

Савельев И.В. Курс общей физики. - М, Наука, 1982 г. Т.1. и последующие издания.

лАБОРАТОРНАЯ Работа № 6

Определение показателя адиабаты методом Клемана и Дезорма

Цель работы

Изучение равновесных термодинамических процессов и теплоемкости идеальных газов, измерение показателя адиабаты классическим методом Клемана и Дезорма.