Метод початкових параметрів 1 страница

2.3.1 Диференціальні рівняння рівноваги при поздовжньо-поперечному вигиністержня

Вигин стержня від дії поперечного навантаження з урахуванням впливу поздовжніх сил називають поздовжньо-поперечним вигином. Вплив поздовжніх сил виявляється суттєвим, якщо їх абсолютна величина має один порядок з величиною зусиль, які визивають втрату стійкості стержня.

Розглянемо плоский вигин стержня, вихідне положення якого зображено на рисунку 3. Обмежимося випадком малих деформацій стержня з матеріалу, що підкоряється закону Гука.

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Рисунок 2.3 – Вихідне положення стержня системи

Диференціальні умови рівноваги елемента розтягнуто-вигнутого стержня (рисунок 2.4) для малих переміщень мають вигляд:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Суттєво, що ці рівняння складено для деформованого стану стержня.

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Рисунок 2.4 – До виведення диференціальних рівнянь рівноваги стержня

За прийнятих припущень між внутрішніми зусиллями Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru та переміщеннями Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru для стержня постійної жорсткості існують залежності:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

У випадку, коли поздовжня сила Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru у стержні постійна, остання з залежностей (2.2) має вигляд:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

де Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru – жорсткість стержня при вигині ;

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru – переміщення перерізу вздовж осі Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru ;

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru – інтенсивність розподіленого навантаження вздовж осі Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru .

2.3.2 Розв’язок диференціального рівняння рівноваги при поздовжньо-поперечному вигині

Рівняння (2.3), яке звуть диференціальним рівнянням пружної лінії при поздовжньо-поперечному вигині, можна записати у вигляді:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Загальний розв’язок рівняння (2.4) у випадку, коли стержень зазнає розтягнення Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru ,

має вигляд:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

де

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru – частинний розв’язок неоднорідного рівняння (2.4).

Довільні постійні Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru визначають з крайових умов.

У випадку, коли стержень зазнає стиснення Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru , загальний розв’язок рівняння (2.4)

має вигляд:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

2.3.3 Розв’язок за методом початкових параметрів

Розв’язок рівняння (2.4) у нормальних фундаментальних функціях (за методом початкових параметрів) у випадку, коли стержень зазнає розтягнення Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru , має вигляд:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

де Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru – переміщення вздовж осі Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru перерізу на початку координат;

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru – кут повороту перерізу на початку координат;

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru – момент в перерізі на початку координат;

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru – поперечна сила в перерізі на початку координат.

У випадку, коли стержень зазнає стиснення Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru , розв’язок рівняння (2.4) по методу початкових параметрів має вигляд:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

2.3.4 Дослідження стійкості методом початкових параметрів

Алгоритм розв’язання задачі стійкості методом початкових параметрів такий:

- визначаються поздовжні сили на кожній ділянці;

- визначаються параметри Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru для кожної ділянки;

- складається рівняння пружної лінії для першої ділянки;

- за граничними умовами на лівому кінці визначаються початкові параметри (частина з них);

- визначаються Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru в кінці першої ділянки ( ці значення будуть початковими параметрами для другої ділянки);

- складається рівняння пружної лінії для другої ділянки;

- визначаються Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru в кінці другої ділянки ( ці значення будуть початковими параметрами для третьої ділянки) і так далі;

- складається рівняння пружної лінії для останньої ділянки.

У це рівняння увійдуть невідомі початкові параметри першої ділянки. Рівняння для їх визначення отримаємо із граничних умов на правому кінці.

Отримані рівняння – лінійні однорідні рівняння відносно невідомих початкових параметрів. Умова існування ненульового рішення дасть нам рівняння стійкості. Визначивши найменший корінь цього рівняння знайдемо критичне навантаження.

Позитивна якість цього методу: початкових параметрів ніколи не буває більше, ніж чотири. У найгіршому випадку рівняння стійкості ми отримаємо у вигляді визначника четвертого порядку.

Метод початкових параметрів доцільно використовувати для дослідження стійкості прямолінійних стержнів коли багато ділянок але відсутні проміжні опори. Для дослідження стійкості багатопрогонових балок та рам кращим є метод переміщень.

Метод переміщень

Метод переміщень є основним методом розрахунків стержневих систем на стійкість та міцність за деформованою схемою. Розробив цей метод для розв’язання задач стійкості та стійкої міцності стержневих систем видатний український вчений Н.В.Корноухов. Основні залежності методу переміщень для прямолінійного стержня постійної жорсткості при поздовжньо-поперечному вигині,якими будемо користуватися в подальших розрахунках, наведено в позначеннях Н.В.Корноухова.

2.4.1Основні залежності методу переміщень для прямолінійного стержня постійної жорсткості при поздовжньо-поперечному вигині

Обмежимося випадком малих деформацій стержня з матеріалу, що підкоряється закону Гука. Знехтуємо поздовжніми деформаціями стержня, а також впливом зсуву на поперечні деформації. У цьому випадку рівняння пружної лінії стержня (рисунок 2.5) матиме вигляд (2.8), коли стержень зазнає розтягнення Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru , або (2.9), коли стержень зазнає стиснення Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru .

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Рисунок 2.5 - Вихідне й деформоване положення стержня

Підпорядкувавши рівняння пружної лінії граничним умовам:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

одержимо систему рівнянь, з якої знайдемо значення згинальних моментів та поперечних сил на кінцях стержня Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru :

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

де Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru – зусилля на кінцях Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru та Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru стержня при поздовжньо-поперечному вигиністержня від місцевого навантаження коли перерізи Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru та Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru стержня жорстко защемлені; для обчислень Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru слід користуватися результатами, які отримані для стержня з двома защемленими кінцями при поздовжньо-поперечному вигині стержня. Для найбільш часто вживаних випадків формули для обчислення Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru наведено в таблиці 2.1.

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru – спеціальні функції. Визначаються ці функції для стиснуто-вигнутих стержнів (N<0) залежностями:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Тут N – поздовжня стискуюча сила.

Для розтягнуто-вигнутих стержнів (N>0) ці функції визначаються залежностями:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Зрозуміло, що величини Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru та Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru пов’язані залежністю Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru або Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru , тому тригонометричні функції Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru обертаються в гіперболічні функції Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru :

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Інші позначення в залежностях (2.11) відповідають рисунку 2.5.

Залежностями (2.11) визначаються кінцеві зусилля стержня Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru коли відомі переміщення кінцевих перерізів Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru та Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru - Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru . Ці залежності надалі будемо називати основними залежностями методу переміщень при поздовжньо-поперечному вигиністержня в місцевій (локальній) системі координат.

У практичних додатках зручніше користуватися залежностями, записаними для загальної (глобальної) системи координат. Як видно з рисунка 2.6, між компонентами переміщень кінцевих перерізів Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru та Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru , визначеними в локальній (місцевій) і в глобальній (загальній) системах координат, існують залежності:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Рисунок 2.6 - До визначення зв’язку між компонентами переміщень визначеними в

локальній і в глобальній системах координат

З урахуванням залежностей (2.16) основні залежності методу переміщень (2.11) можна записати у вигляді:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Зауваження!

При користуванні формулами (2.11) та (2.17) для обчислень Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru слід користуватися результатами, які отримані для стержня з двома з жорстко затиснутими кінцями при поздовжньо-поперечному вигині стержня. Для найбільш часто вживаних випадків формули для обчислення Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru наведено в таблиці 2.1.

Таблиця 2.1 – Кінцеві зусилля балки з жорстко затиснутими кінцями

Схема балки, навантаження та додатні кінцеві зусилля Значення кінцевих зусиль при поздовжньо-поперечному вигині
Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru
Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

У тому випадку, коли на одному із кінців стержня є шарнір (наприклад, на кінці Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru ), для визначення трьох зусиль Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru ми маємо визначити чотири переміщення Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru . Щоб не розшукувати зайву невідому, виключимо кут повороту шарнірного кінця Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru . Для цього скористаємось тим, що в цьому випадку Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Знайшовши з цієї умови Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru та підставивши його в Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru отримаємо основні залежності методу переміщень для стержня із шарніром на кінці.

У локальній системі координат кінцеві зусилля Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru визначаються залежностями:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Спеціальні функції Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru та Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru для стиснуто-вигнутих стержнів (N<0) визначаються залежностями:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Для розтягнуто-вигнутих стержнів (N>0) ці функції визначаються залежностями:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

У переміщеннях глобальної системи координат Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru визначаються залежностями:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Зауваження!

При користуванні формулами (2.18) та (2.21) для обчислень Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru слід користуватися результатами, які отримані для стержня з одним затиснутим та з другим шарнірним кінцем при поздовжньо-поперечному вигині стержня. Для найбільш часто вживаних випадків формули для обчислення Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru наведено в таблиці 2.2.

Таблиця 2.2 – Кінцеві зусилля балки з одним жорстко затиснутим кінцем, а другим - шарнірно обпертим

Схема балки, навантаження та додатні кінцеві зусилля Значення кінцевих зусиль при поздовжньо-поперечному вигині
Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru
Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

У тому випадку, коли стержень Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru рами стиснутий, а один кінець, наприклад Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru , вільний, то, підпорядкувавши рівняння пружної лінії умовам Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru , отримаємо залежність, яка дозволить не розшукувати кут повороту та лінійне переміщення вільного кінця:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Урахувавши залежності (2.19) формулу (2.22) можна представити у вигляді:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

У тому випадку, коли стержень Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru рами стиснутий, а на одному кінці, наприклад на кінці Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru , пружно-податлива при повороті опора Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru , то, підпорядкувавши рівняння пружної лінії умові Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru , отримаємо залежність, яка дозволить не розшукувати лінійне переміщення кінця Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru :

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

Урахувавши залежності (2.19) залежності (2.24) можна представити у вигляді:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

У тому ж випадку, коли стержень Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru рами стиснутий, а на кінці Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru "плаваюче" затиснення ( Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru ), то з рівнянь (2.24) отримаємо залежності:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

У тому випадку, коли стержень Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru рами стиснутий, а на обох кінцях стержня є шарніри, то, підпорядкувавши рівняння пружної лінії умовам Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru , отримаємо:

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru

У тих випадках, коли поздовжня сила в стержні дорівнює нулю (N=0), Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru У цьому разі основні залежності методу переміщень обертаються у відомі основні залежності методу переміщень зі статики стержневих систем, коли виконується розрахунок не за деформованою схемою.

Основними залежностями методу переміщень для стержня при поздовжньо-поперечному вигині користуються в розрахунках на стійкість та міцність за деформованою схемою балок та рам. Коли ці розрахунки виконуються без використання обчислювальної техніки, зручно користуватися таблицями спеціальних функцій, які наведено нижче в таблицях 2.3 та 2.4. Таблиці взято з вибраних праць Н.В.Корноухова Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru .

Таблиця 2.3 – Таблиці спеціальних функцій Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru для стиснуто-вигнутих стержнів

Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru Метод початкових параметрів 1 страница - student2.ru
0,00 2,00000 1,00000 3,00000 6,00000 3,00000 3,00000 0,00
0,10 1,99933 1, 00017 2,99950 5,99400 2,99800 2,98800 0,10
0,20 1,99733 1,00067 2,99800 5,97600 2,99199 2,95199 0,20
0,30 1,99399 1,00150 2,99550 5,94599 2,98195 2,89195 0,30
0,40 1,98931 1,00268 2,99199 5,90398 2,96785 2,80785 0,40
0,50 1,98328 1,00420 2,98748 5,84996 2,94964 2,69964 0,50
0,60 1,97589 1,00607 2 98195 5,78391 2,92725 2,56725 0,60
0,70 1,96712 1,00829 2,97541 5,70583 2,90060 2,41060 0,70
0,80 1,95697 1,01088 2,96785 5,61571 2,86959 2,22959 0,80
0,90 1,94542 1,01385 2,95926 5,51353 2,83411 2,02411 0,90
1,00 1,93244 1,01720 2,94964 5,39928 2,79402 1,79402 1,00
1,01 1,93107 1,01755 2,94862 5,38719 2,78975 1,76965 1,01
1,02 1,92967 1,01792 2,94759 5,37498 2,78543 1,74503 1,02
1,03 1,92827 1,01828 2,94655 5,36265 2,78107 1,72017 1,03
1,04 1,92685 1,01865 2,94550 5,35019 2,77666 1,69506 1,04
1,05 1,92541 1,01902 2,94444 5,33762 2,77220 1,66970 1,05
1,06 1,92396 1,01940 2,94336 5,32493 2,76769 1,64409 1,06
1,07 1,92250 1,01978 2,94228 5,31211 2,76313 1,61823 1,07
1,08 1,92102 1,02017 2,94119 5,29918 2,75852 1,59212 1,08
1,09 1,91953 1,02056 2,94008 5,28612 2,75386 1,56576 1,09
1,10 1,91802 1,02095 2,93897 5,27294 2,74916 1,53916 1,10
1,11 1,91650 1,02135 2,93785 5,25964 2,74440 1,51230 1,11
1,12 1,91496 1,02175 2,93671 5,24622 2,73960 1,48520 1,12
1,13 1,91341 1,02215 2,93556 5,23268 2,73474 1,45784 1,13
1,14 1,91184 1,02256 2,93441 5,21902 2,72983 1,43023 1,14
1,15 1,91026 1,02298 2,93324 5,20523 2,72488 1,40238 1,15
1,16 1,9086 1,0234 2,9320 5,19124 2,71987 1,37427 1,16
1,17 1,9072 1,0238 2,9309 5,17736 2,71481 1,34591 1,17
1,18 1,9053 1,0242 2,9295 5,16276 2,70969 1,31730 1,18
1,19 1,9038 1,0247 2,9285 5,14900 2,70455 1,28845 1,19
1,20 1,9021 1,0251 2,9272 5,13448 2,69934 1,25934 1,20
1,21 1,9005 1,0255 2,9261 5,12012 2,69410 1,23000 1,21
1,22 1,8989 1,0260 2,9248 5,10540 2,68876 1,20036 1,22
1,23 1,8970 1,0264 2,9234 5,09038 2,68340 1,17049 1,23
1,24 1,8953 1,0269 2,9222 5,07570 2,67796 1,14037 1,24
1,25 1,8938 1,0274 2,9212 5,06126 2,67241 1,11000 1,25
1,26 1,8920 1,0279 2,9198 5,04590 2 66699 1,07938 1,26
1,27 1,8901 1,0283 2,9184 5,03036 2,66140 1,04850 1,27
1,28 1,8884 1,0288 2,9172 5,01520 2,65578 1,01737 1,28
1,29 1,8866 1,0293 2,9159 4,99976 2,65008 0,98598 1,29
1,30 1,8848 1,0298 2,9146 4,98420 2,64434 0,95435 1,30
1,31 1,8830 1,0303 2,9132 4,96836 2,63854 0,92245 1,31
1,32 1,8810 1,0307 2,9117 4,95220 2,63271 0,89030 1,32
1,33 1,8792 1,0312 2,9103 4,93616 2,62681 0,85790 1,33
1,34 1,8774 1,0317 2,9091 4,92040 2,62085 0,82525 1,34
1,35 1,8755 1,0322 2,9077 4,90426 2,61482 0,79233 1,35
1,36 1,8736 1,0327 2,9063 4,88780 2,60878 0,75917 1,36
1,37 1,8717 1,0332 2,9049 4,87136 2,60265 0,72574 1,37
1,38 1,8697 1,0338 2,9034 4,85460 2,59646 0,69206 1,38
1,39 1,8677 1,0342 2,9019 4,83786 2,59022 0,65813 1,39
1,40 1,8658 1,0347 2,9006 4,82114 2,58394 0,62394 1,40
1,41 1,8639 1,0353 2,8992 4,80436 2,57760 0,58949 1,41
1,42 1,8619 1,0358 2,8977 4,78718 2,57118 0,55478 1,42
1,43 1,8599 1,0364 2,8962 4,77006 2,56472 0,51982 1,43
1,44 1,8578 1,0369 2,8947 4,75260 2,55820 0,48459 1,44

Продовження таблиці 2.3

Наши рекомендации