Поля напряжение и перемещений вблизи кончика трещины. Коэффициент интенсивности напряженй

Для анализа напряженного состояния в окрестности кончика тре­щины рассмотрим тонкую бесконечную пластинку, которая подвергает­ся равмерному растяжению в одном направлении (рис. 3). Пусть в этой пластинке имеется тонкая тре­щина (разрез) длиной 2t . Метода­ми теории упругости можно показать, что нормальное напряжение Ϭ_у в точках на сои х (при /х/ > t ) выражается формулой :

рис.3

(2)

Формулу (3) можно переписать так:

Эпюра напряжения Ϭ_у, подсчи­танного по формуле (2), показана на рис. 3. Напряжение Ϭ_у стре­мится к бесконечности при подходе к кончику трещины, т.е, имеет особенность в кончике. Для установления характера особенности нор­мального напряжения у кончика трещины найдем асимптотическое пред­ставление для Ϭ_у при х→t+0. Устремляя в формуле (2) X к t+0 , находим

(3)

где К1 - коэффициент интенсивности нормальных напряженй, завися­щий от внешних нагрузок, длины трещины, формы тела и определяемый решением упругой задачи в целом.

Разрушение теснейшим образом связано с процессами, которые про­текают в окрестности кончика трещины. Поэтому большое значение для анализа процесса разрушения имеют формулы определения напряжений, и перемещений вблизи кончика трещины (рис. 4).

Рис.4

В случае нормального отрыва:

(4)

где μ - модуль сдвига; X = 3-4ν для плоской деформации; X =(3-ν)/(1+ν) для обобщенного плоского напряженного состоя­ния; ν - коэффициент Пуассона; u и V - проекции вектора перемещения соответственно на оси X , у •

В случае поперечного сдвига:

(5)

где К_II - коэффициент интенсивности напряжений поперечного сдвига

В случае продольного сдвига:

(6)

где τ_ху , τ_xz, τ_yz - касательные напряжения; W - проекция вектора перемещения на ось z ; K_III- коэффициент интенсивности на­пряжения продольного сдвига.

В условиях плоской деформации W = 0 Ϭ_z=Ʋ(Ϭ_x+Ϭ_y),тог­да как в условиях обобщенного плоского напряженного состояния Ϭ_z= О .

Из формул (4)…(6), где отброшены члены более высокого порядка относительно переменной р , следует, что напряжения при р → О стремятся к бесконечности. Это является следствием математическо­го приближения-линеаризации, связанной с удовлетворением гранич­ных условий на недеформированной поверхности трещины (щели) и ис­пользование закона Гука. Закон Гука становится неверным при больших внутренних напряжениях в материале, возникяших при сильной концентрации напряжений в окрестности краев трещины. Поэтому формулы (4)…(6) перестают отвечать действительности при очень ма­лых r<r₀ . Однако при достаточно малых r>r₀ формулы (4)..

(6) могу служить для асимптотической оценки свойств поля напряженй в окрестности вершины трешины.

Условие разрушения Ирвина

Все процессы разрушения материала определяются интенсивностью поля напряжений в области, окружающей кончик трещины, и характеразуются коэффициентом интенсивности напряжений . Дж. Ирвин предложил следующее условие разрушения: трещина начинает расти, когда коэффициент интенсивности напряжений достигает некоторого критического значения.

Значение К_I , при достижении которого трещина будет распространяться неустойчиво, является константой материала, называемой вязкостью разрушения или критическим коэффициентом интенсивности напряжений. Критический коэффициент интенсивности напряжений при статическом приложении нагрузки в условиях плоской деформации обозначается К_{I C} . а при плоском напряженном состоянии К_с • Таким образом, условие разрушения для тела с трещиной имеет вид

Следовательно, трещина, имеющаяся в детали или элементе конструкции, расти не будет, если K_I <К_1с или К_I <К_с .

Коэффициент интенсивности K_I зависит от нагрузки, размера трещины и геометрии детали и определяется, как правило, теоретиче­ски с использованием методов теории упругости. Коэффициенты К_1С и К_с определяются экспериментально, являются постоянными материала и зависят от температуры и скорости деформации. Значение К_с зависит, кроме того, от толщины пластины.