За формулою (5) вирахувати момент інерції зміщеного диска згідно з теоремою Штейнера. Результат співставити з експериментом

8. Знайти відносну та абсолютну похибки одного з експериментів.

Контрольні запитання

1. Тверде тіло як система частинок. Його момент інерції та кінетична енергія.

2. Основний закон динаміки обертального руху.

3. Теорема Штейнера.

4. Переваги та недоліки вивченого методу визначення моменту інерції тіл.

Лабораторна робота № 1-7

Визначення моменту інерції маятника Обербека

л.І. §§ 31, 32

Мета роботи: вивчення основного закону динаміки обертового руху шляхом визначення моменту інерції маятника Обербека експеримента-льним та розрахунковим способом.

Прилади і матеріали: маятник Обербека; комплект вантажів; штангенциркуль; електронний секундомір.

Теоретичні відомості

В даній роботі належить визначити момент інерції маятника Обербека, який являє собою хрестовину 1 (рис.1.), що складається з чотирьох взаємно перпендикулярних стержнів. Вздовж них можуть переміщуватись вантажі 2 однакової маси m₁ . На горизонтальній осі хрестовини є двоступінчастий диск 3, на який намотується нитка. Один кінець її прикріплений до диска, а на інший кінець підвішується вантаж 4. Під дією цього вантажу нитка розмотується з диска і викликає обертовий рух хрестовини, який приблизно можна вважати рівномірно прискореним рухом.

Визначити момент інерції маятника Обербека можна двома способами.

1 спосіб – експериментальний:

Якщо виміряти кутове прискорення e руху хрестовини і момент діючих на диск сил М , то скориставшись основним рівнянням динаміки обертового руху

(1)

ми зможемо визначити момент інерції маятника. Але величини M та eбезпосередньому вимірюванню не піддаються. Тому, вимірявши висоту

падіння hвантажу m та час його падіння tза рівнянням рівноприскореного руху при V₀ = 0

можемо знайти прискорення падіння вантажу, яке є одночасно тангенціаль-ним прискоренням обертового руху маятника. Замірявши радіус диска r, вирахуємо кутове прискорення:

(2)

Момент діючих сил створюється силою натягу нитки

F=m(g - a).

Якщо знехтувати силою тертя, то

(3)

Підставивши вирази (2) і (3) в (1), одержимо кінцевий результат:

(4)

II спосіб - теоретичний.

Розіб’ємо маятник на систему тіл, що обертаються: чотирьох стержнів довжиною l, чотирьох тіл масою m₁ та довжиною l₀. Момент інерції маятника дорівнює сумі моментів інерції тіл, що його складають.

Момент інерції стержня довжиною l відносно осі, що проходить перпендикулярно до стержня через його кінець дорівнює:

де m₂– маса стержня. Для чотирьох таких стержнів

(5)

Розміри тіл масою m₁малі в порівнянні з віддаллю Rвід осі обертання до центра мас цих тіл, тому їх можна розглядати як матеріальні точки, момент інерції яких визначиться співвідношенням:

(6)

Знехтувавши моментом інерції дисків, одержуємо для всього маятника:

(7)

Порядок виконання роботи

1. Встановити верхній кронштейн на вибраній висоті так, щоб вантаж при падінні проходив через середину робочого вікна фотоелектричного датчика.

2. Розмістити вантажі m₁ на однаковій віддалі від осі обертання.

3. Штангенциркулем заміряти радіуси двоступінчастого диска r₁та r₂.

4. Намотати нитку з вибраним числом вантажів масоюm на диск радіусом r₁.

5. Встановити нижній край вантажів точно по рисці на корпусі верхнього фотоелектричного датчика.

6. Натиснути клавішу "Сеть" та переконатись, чи всі індикатори показують "нуль", в протилежному випадку натиснути клавішу "Сброс".

7. З допомогою шкали визначити висоту падіння вантажів m.

8. Натиснути клавішу "Пуск".

9. Записати час падіння вантажів, виміряний мілісекундоміром.

10. Експеримент повторити 3-4 рази для однакового положення вантажів m₁ при різних значеннях вантажу m для радіуса диска r₁, потім повторити те ж саме для радіуса r₂. Всі дані занести в таблицю 1.

Табл. 1

m, кг	t, с	H, м	r1, м	r2, м

11. Для визначення моменту інерції маятника Обербека теоретичним шляхом необхідно заміряти довжину стержня хрестовини l, записати масу вантажів m₁ та заміряти їх довжину l₀.

12.Заміряти діаметр стержня хрестовини Dі віддаль вантажів від осі обертання R. Всі дані занести в таблицю 2.

Табл. 2

l, м	D, м	m1, кг	l0, м	m2, кг	R, м	R0, м

де m₂ – маса стержня, яку можна знайти за формулою:

(8)

r – густина матеріалу стержнів,

R –віддаль від осі обертання до центрів мас вантажів

(9)

Обробка результатів експерименту і їх аналіз

1. За формулою (4) вирахувати момент інерції маятника Обербека для різних радіусів диска та вантажів m .

2. Визначити абсолютну та відносну похибки експерименту.

3. За формулою (7) визначити теоретичний момент інерції маятника Обербека.

4. Порівняти результати, одержані експериментальним та теоретичним шляхом. Зробити відповідні висновки.

Контрольні запитання

1. Тверде тіло як система матеріальних точок. Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.

2. Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла. Момент інерції, момент сили, момент імпульсу.

3. Кінетична енергія тіла, що обертається.

4. Закони збереження енергії та моменту імпульсу.

Лабораторна робота №1 - 8

Визначення моментів інерції тіл методом

крутильних коливань

л.1. §§31, 32; 2. §§ 64,65

Мета роботи: поглиблення поняття моменту інерції тіла; експериментальне і теоретичне визначення моментів інерції тіл.

Прилади і матеріали: крутильний маятник з вмонтованим електронним секундоміром; набір досліджуваних тіл; штангенциркуль.

Теоретичні відомості

При розв'язуванні багатьох питань динаміки обертового руху тіл зустрічаються величини, які визначаються через суми добутків мас точок тіла на квадрати їх віддалей до осі, до точки чи до площини. Ці суми називають моментами інерції тіла відносно осі, відносно точки або відносно площини.

Наприклад, момент інерції тіла відносно осі z дорівнює:

I_z = Sm_i(x_i² + y_i²) =Sm_ir_i², (1)

де m_i – маса і-тої точки;

x_i, y_i – абсциса та ордината цієї точки;

ri – віддаль її до осі z .

Аналогічно визначається момент інерції відносно якої-небудь точки чи площини. Так, момент інерції тіла відносно точки 0 дорівнює:

(2)

а момент інерції відносно площини ХОY:

(3)

Формули (1) та (2) дозволяють одержати наступне співвідношення:

(4)

яке вказує на зв'язок між моментами інерції тіла відносно координатних осей та відносно початку координат. Вираз (4) дає можливість в багатьох випадках порівняно легко визначити моменти інерції тіл.

Знайдемо момент інерції тіла відносно довільної осі OL, що проходить через початок координат 0. Нехай напрямок цієї осі характеризується направляючими кутамиa, b , g. Радіус-вектор довільної точки тіла масою m_iпозначимо через r_i, а віддаль цієї точки до осі OL через R_i. Тоді, згідно з визначенням моменту інерції відносно осі, маємо:

(5)

З рис.1 видно, що R_i = r_i ×sin j. Нехай одиничний вектор осі OL дорівнює l. Тоді | r_i × l | = r_i × sin j і відповідно R² = | r_i × l |. Так як l =(cos a · cos b · cos g), а

то проекції цього вектора на осі координат дорівнюють:

Рис.2

Рис.1

Таким чином, момент інерції тіла відносно осі 0L можна записати у вигляді:

(6)

Після очевидних перетворень одержуємо:

(7)

Звернемо увагу, що

Введемо позначення для сум:

(8)

Величини I_хy, I_yz, I_хz називають відцентровими моментами інерції тіла відносно відповідних пар осей. Іншими словами, відцентровий момент інерції тіла відносно якої-небудь пари осей називають суму добутків мас всіх точок тіла на їх координати відносно цих осей. Тепер формула (7) набуде вигляду:

(9)

З одержаної формули випливає, що для визначення моменту інерції тіла відносно осі, яка проходить через точку, необхідно знати шість величин — три моменти інерції відносно координатних осей та три відцентрових моменти інерції.

Якщо через точку О провести пучок осей, то за формулою (9) можна визначити моменти інерції тіла відносно всіх осей пучка. У загальному випадку вони виявляться різними. Для наочного уявлення зміни моментів інерції тіла відносно осей пучка використаємо наступний геометричний спосіб. Відкладемо від точки О вздовж осі OL відрізок R, довжина якого рівна

Виконавши таку побудову для кожної осі пучка, одержимо сукупність точок, що складають деяку поверхню. Знайдемо рівняння цієї поверхні. З рис.1 видно, що координати кінця відрізка дорівнюють:

(11)

Домноживши обидві частини рівняння (9) на R² і приймаючи до уваги співвідношення (10) та (11), одержуємо:

(12)

Якщо зробити припущення, що I_L¹ 0 то вираз (12) являє собою рівняння еліпсоїда. Знайдений еліпсоїд називають еліпсоїдом інерції для даного тіла в точці 0.

Момент інерції тіла відносно осі характеризує інертність його в обертовому русі, а також розподіл маc тіла відносно цієї осі. Тому еліпсоїд інерції тіла в якій-небудь точці є загальною геометричною характеристикою розподілу мас тіла відносно пучка осей, що проходять через цю точку.

З аналітичної геометрії відомо, що рівняння еліпсоїда значно спрощується, якщо осі координат вибрати спрямованими вздовж його головних діаметрів. У цьому випадку рівняння еліпсоїда інерції (12) набуває вигляду:

(13)

тобто, відцентрові моменти інерції тіла дорівнюють нулеві.

Три взаємно перпендикулярних осі, що проходять через дану точку і відносно яких відцентрові моменти інерції тіла рівні нулеві, називаються головними осями інерції для даної точки, а моменти інерції I_x, I_y, I_z відносно цих осей носять назву відповідно головних моментів інерції тіла.

Написавши рівняння еліпсоїда в канонічній формі

та співставивши його з рівнянням (13), знайдемо півосі еліпсоїда інерції тіла:

(14)

Напрямок головних осей тіла часто можна визначити, користуючись принципом симетрії. Наприклад, головні осі однорідного прямокутного паралелепіпеда відповідно паралельні його ребрам.

Якщо тіло має симетрію обертання навколо деякої осі, то його еліпсоїд інерції має таку ж симетрію. До тіл подібного типу відноситься, наприклад, циліндр. Причому, у таких випадках вісь симетрії тіла є одночасно однією з головних осей інерції.

Для динаміки обертового руху тіла суттєвою є не симетрія самого тіла, а симетрія відповідного йому еліпсоїда інерції. Всі тіла з однаковими еліпсоїдами інерції динамічно еквівалентні. Наприклад, в динамічному відношенні конус може бути еквівалентним кулі або циліндрові.

Моменти інерції тіл правильної геометричної форми можна теоретично вирахувати з допомогою методів інтегрального числення. Для тіл складної форми простіше момент інерції знаходити експериментально. На практиці особливо велике застосування знайшли методи маятникових та крутильних коливань, а також метод падаючого тягаря (маятник Обербека).

Знання моментів інерції тіл відіграють важливу роль у техніці. У різних машинах зустрічаються деталі, що обертаються з дуже великою частотою. Наприклад, веретена прядильних машин, вали парових газових турбін, колінчаті вали двигунів внутрішнього згорання і т.д. У цих випадках дуже важливо, щоб головна вісь обертання проходила через центр мас. При цьому відбувається зрівноваження відцентрових сил інерції. Слід зокрема підкреслити, що в сучасному машинобудуванні зрівноваження сил інерції є предметом постійних турбот конструкторів.

Моменти інерції перерізів різних конструкційних елементів поряд з характеристиками міцності матеріалу визначають їх властивість чинити опір зовнішнім навантаженням. Це широко використовується при розрахунках будівельних конструкцій — ферм, балок, каркасів і т.п.

У даній роботі для експериментального визначення моментів інерції тіл використовується метод крутильних коливань. Конструкція установки дає

Рис. 3

можливість визначити тільки центральні моменти інерції, тобто, моменти інерції відносно осей, які проходять через центр мас тіла.

Нехай деяке тіло закріплене з допомогою дроту, як показано на рис. 2. Якщо це тіло повернути на невеликий кут навколо осі ОО¢ і потім відпустити, то виникнуть так звані крутильні коливання. Період цих коливань визначається за формулою

(15)

деI– момент інерції тіла відносно осі ОО¢;

f– модуль кручення дроту.

Для визначення невідомої величини f вимірюють спочатку період крутильних коливань T₁ тіла, момент інерції I₁ якого відомий (куб, I₁=(4,083±0,0005)×10^{- 3 кг}×м²). Далі вимірюють період крутильних коливань T₂досліджуваного тіла і визначають його момент інерції I₂за формулою:

(16)

Опис експериментальної установки

Крутильний маятник зображений на рис.З. До підставки 2, що має чотири гвинтові ніжки, прикріплені мілісекундомір 1 та колонка 3 з кронштейнами 4, 5, 6. Кронштейни 4 і 6 мають затискачі для закріплення стального дроту з рамкою

7. З допомогою кронштейна 5 закріплюється стальна плита 8 з фотоелектричним датчиком 9, електромагнітом 10 та кутовою шкалою 11. Положення електромагніту відносно датчика вказує стрілка на кутовій шкалі.

Конструкція рамки дає можливість закріплювати тіла 12 різних форм. Тіла закріплюються з допомогою гвинтів та рухомої балки з затискними втулками. На передній панелі мілісекундоміра розташовані клавіші управління приладом: "Сеть", "Сброс", "Пуск" і "Стоп", а також цифрові індикатори лічильника періодів коливань та лічильника часу. (Рис. 4)

Період крутильних коливань маятника вираховується на основі показів цифрових індикаторів за формулою:

(17)

де t – час коливань;

N– число періодів.

Порядок виконання роботи

1. Ввімкнути прилад в електричну мережу.

2. Натиснути клавішу "Сеть". Переконатись, чи всі індикатори висвічують нулі, чи світиться лампочка фотоелектричного датчика.

3. В рамці приладу закріпити еталонне тіло-куб.

4. Повертаючи рамку приладу, наблизити стрілку до електромагніта і зафіксувати її в цьому положенні.

Рис.4

.

5. Натиснути клавішу "Пуск".

6. Після здійснення не менше 10 крутильних коливань натиснути клавішу "Стоп".

7. Записати покази лічильника періодів N та лічильника часу t .

8. Натиснути клавішу "Сброс" і "Пуск".

9. Виконати пункти 3-7 для досліджуваного тіла, вимірюючи періоди його крутильних коливань відносно головних осей та двох інших центральних осей.

10. Визначити розміри досліджуваного тіла.