Границы применимости классической механики
Классическая механика (иначе механика Ньютона) предопреде-
лило развитие физической науки, так как в ней были сформулированы количественные закономерности механического движения. В класси-ческой механике устанавливается способ описания движения матери-альных точек, что дает возможность теоретического объяснения ме-ханических явлений, встречающихся в природе.
Механика Ньютона покоится на прочном фундаменте экспери-ментальных фактов, однако все они относятся к медленным движени-ям макроскопических тел. Под медленными или нерелятивистскими движениями понимают движения,скорости которых очень малы посравнению со скоростью света в вакууме с = 300 000 км/с. Движения, скорости которых приближаются к скорости света в вакууме, называ-ют быстрыми или релятивистскими. В этом смысле движение спут-ника или космического корабля со скоростью υ = 8 км/с является еще очень медленным.
Теория относительности Эйнштейна предсказала, а опыт под-твердил это предсказание, что механика Ньютона не может быть при-менима к движениям частиц, скорости которых близки к скорости света в вакууме. На основе теории относительности была создана но-вая механика, применимая не только к медленным, но и к сколь угод-но быстрым движениям. Она называется релятивистской механикой.
Согласно механике Ньютона скорость, до которой можно уско-рить тело из состояния покоя, в принципе ничем не ограничена. По релятивистской механике значение скорости ускоряемого тела не мо-жет перейти через определенный предел , равный скорости света в ва-кууме с. В этом смысле скорость света с является предельной. Ско-рость тела не может ее достигнуть, но в принципе может подойти к ней сколь угодно близко.
Теория относительности установила границы применимости ньютоновской механики со стороны больших скоростей. Другое огра-
ничение, и притом не только ньютоновской, но и релятивистской мак-роскопической механики, было получено в результате изучения мик-ромира −мира атомов,молекул,электронов.
При изучении микромира физики сначала применяли понятия и законы, введенные и установленные для макроскопических тел. Элек-трон , например, рассматривался как твердый или деформируемый ша-рик, по объему которого как-то распределен электрический заряд. Считалось, что поведение электрона управляется теми же законами механики и электродинамики, которые были экспериментально уста-новлены для макроскопических электрически заряженных тел. Счита-лось, что все понятия и законы макроскопической физики применимы и имеют смысл для тел сколь угодно малых размеров и для сколь угодно малых промежутков времени. Считалось, что для понимания явлений микромира не требуется новых понятий и законов, помимо тех, которыми располагает макроскопическая физика. Короче, микро-мир рассматривался просто как уменьшенная копия макромира. Такой подход к изучению явлений природы и теории, основанные на нем,
называются классическими.
Опыты показали, что классический подход к изучению явлений микромира не применим, или точнее, его применимость к этому кругу явлений ограничена. Адекватное описание явлений микромира(при-менимое, конечно, также в каких-то пределах) дает квантовая меха-ника, существенно отличающаяся от механики классической.Движе-ние в микромире является более сложной формой движения, чем ме-ханическое перемещение тел в пространстве.
Таким образом, механика Ньютона имеет очень широкую и практически важную область применимости . В пределах этой области она никогда не утратит своего научного и практического значения. Отказываться от механики Ньютона надо лишь вне области ее приме-нимости, когда она приводит либо к неверным , либо к недостаточно точным результатам. Такова, например, задача о движении заряжен-ных частиц в ускорителях , где надо пользоваться релятивистской ме-ханикой. Таковы задачи о движении электронов в атомах, которые на-до решать с помощью квантовой механики.
В классической механике состояние движения частицы в любой момент времени характеризуется положением (координатой х приодномерном движении) и скоростью υ. Вместо скорости можно пользоваться также импульсом, т. е. величиной p = mυ, равной произ-
ведению массы частицы m на ее скорость). Образом частицы является геометрическая точка, описывающая с течением времени непрерыв-ную траекторию. В квантовой механике показано, что такой способ описания движения имеет принципиальные границы применимости.
Согласно квантовой механике состояние частицы в каждый момент времени нельзя характеризовать точными значениями ее ко-ординаты и импульса в этот момент времени. Если в каком-либо со-
стоянии координата известна с неопределенностью δх, а импульс − с неопределенностью δр, то обе эти величины одновременно не могут быть сделаны сколь угодно малыми. Они связаны соотношением
| δx ⋅δp ≥ h , | (7.1.1) |
где h − универсальная постоянная , называемая постоянной Планка в честь немецкого физика-теоретика Макса Планка (1858−1947).
Соотношение (7.1.1) называется принципом неопределенностей Гайзенберга по имени немецкого физика-теоретика Вернера Гайзен-берга (1901−1976). Это соотношение определяет принципиальный предел точности одновременного измерения координаты и импульса частицы, который не может быть превзойден никаким усовершенст-вованием приборов и методов измерения. Дело здесь не в ошибках измерений. Такова природа реальных частиц, что мгновенные со-стояния их движения не могут быть охарактеризованы классически − точными значениями координат и импульсов. Частицы ведут себя более сложно, чем материальные точки классической механики. Классическая картина движения по непрерывным траекториям лишь приближенно соответствует законам природы. Границы ее примени-мости определяются соотношением неопределенностей (7.1.1). Из него следует, что мгновенное состояние движения частицы нельзя также характеризовать абсолютно точными значениями координаты и скорости. Неопределенности этих величин должны удовлетворять условию
| δx ⋅ mδυ≥ h . | (7.1.2) |
Таким образом , применимость классической механики имеет следующие границы:
1) классическая механика применима для описания механиче-ских систем, в которых скорость составляющих ее объектов намного меньше скорости света (υ << с);
2) классическая механика применима для описания только тех
| Рис. 7.2.1 |
объектов, для которых динамические величины с размерностью дей-ствия намного больше постоянной Планка.
Постулаты Эйнштейна
В основе специальной теории относительности А. Эйнштейна лежат два постулата, смысл которых можно выразить так:
1. При одинаковых условиях, реализованных по отдельности в двух системах отсчета некоторой инерциальной системы К (I) и системы К' (II), движущейся равномерно и прямолинейно относи-
| тельно системы I любые физи- | y | y′ | ||||
| ческие процессы в этих систе- | ||||||
| мах отсчета протекают одина- | К | К′ | ||||
| ково, а описывающие их мате- | ||||||
| матические | соотношения | не | υt | |||
| изменяют своего вида при пе- | ||||||
| реходе из одной системы в дру- | y = y′ | |||||
| гую. Этот | постулат является | O′υ | ||||
| обобщением | механического | O | ||||
| x | x′ | |||||
| принципа относительности Га- | x | |||||
| лилея на все без исключения | z = z′ | |||||
| z′ | x′ | |||||
| физические явления. | z |
2. В природе существует предельная (максимальная) ско-
рость распространения физических сигналов (взаимодействий), одна и та же во всех инерциальных системах отсчета. Эта максимальная ско-рость совпадает со скоростью света в вакууме, она не зависит от дви-жения источника и приемника света и равна с = 300 000 км/с.
| c = inv. | (7.2.1) |
Из первого принципа следует: если для данной задачи ( некото-рого класса задач) найдена инерциальная система отсчета I, то для этой задачи существует и бесчисленное множество инерциальных систем типа II, движущихся равномерно прямолинейно относительно I. Скорости всех систем II меньше с. Системы отсчета необходимо связывать с телами, а скорости тел не могут равняться или превосхо-дить максимальную скорость света в вакууме, равную с. Скорости тел строго меньше максимальной.
Развитие науки показало, что оба принципа Эйнштейна под-тверждаются всей совокупностью экспериментальных и теоретиче-
ских знаний современной физики.
Преобразования Лоренца
Любой физический процесс − это последовательность событий. Событие определяется местом (координатами), где оно произошло, и моментом времени, когда оно произошло.
Пусть координаты некоторого события в системе отсчета I рав-ны х, у, z, а в системе II они х', у', z' (рис. 7.2.1). Установим связь ме-жду ними, исходя из принципов Эйнштейна, которая должна быть линейной, т. к. закон инерции подтверждается при всех скоростях, вплоть до максимальной скорости с (движение по прямой линии в системе I остается таковым и в системе II). Поэтому форма связи должна быть следующей:
| x' =α(x −υt), х =α(x' +υt'), y' = y, z' = z. | (7.3.1) |
Множитель α в обеих формулах один и тот же, т. к. системы I и II совершенно равноправны. Формулы (7.3.1) относятся к любым со-бытиям, а множитель α можно определить, рассматривая какое-либо частное событие. Для определения α, рассмотрим распространение света в направлении оси абсцисс от начала координат приход света в точку х1 в момент t1 (в системе I), что также означает приход его в точку x1′ в момент t1′ (в системе II).
В соответствии со вторым принципом Эйнштейна, путь света в системе I и II равен
| x1= ct1, | x1′= ct1′ | (7.3.2) |
| и два равенства должны выполняться на основе формул (7.3.1) | ||
| x1′ = α( x1− υt1), | x1=α( x1′+ υt1′). | (7.3.3) |
| Если два равенства (7.3.3) перемножить x1 x1′ и заменить | на ос- |
новании (7.3.2) через c 2t1t1′, то, после сокращения на t1t1′, получим c2 = = α2(c2 − υ2), откуда
| α = | . | (7.3.4) | |||
| υ 2 | |||||
| 1 − | |||||
| c |
Подставляя найденное значение α в формулы (7.3.1), получим
| x − υt | ′ | + υt | ′ | ||||||||
| ′ | x | , y' = y, z' = z. | |||||||||
| = | , | x = | (7.3.5) | ||||||||
| x | |||||||||||
| υ | υ | 2 | |||||||||
| 1 − | 1 − | ||||||||||
| c | c |
Из второй формулы (7.3.5) легко определить t' (после подста-новки x'). Тогда окончательно имеем
| x − υt | t − | υ | x | ||||||||||
| ′ | t | ′ | c2 | ||||||||||
| = | υ | 2 | , | = | υ 2 , y' = y, z' = z. | (7.3.6) | |||||||
| x | |||||||||||||
| 1 − | 1 − | ||||||||||||
| c | c |
Такова связь между координатами (включая время ) одного и то-го же события в двух инерциальных системах отсчета I и II (штрихо-ванная система I движется относительной не штрихованной II со ско-ростью υ в направлении оси х).
Не составляет труда преобразовать формулы (7.3.6) к виду
| t | ′ | + | υ | ′ | ||||||||
| ′ | + υt | ′ | c | x | ||||||||
| x = | x | , | t = | , y' = y, z' = z, | (7.3.7) | |||||||
| υ | 2 | υ 2 | ||||||||||
| 1 − | − | |||||||||||
| c | c |
что означает, что относительно системы K′ система K движется в от-рицательном направлении оси x′ с той же самой скоростью υ.
Формулы (7.3.6) известны в науке как прямые преобразования Лоренца,а формулы(7.3.7) обратные преобразования Лоренца.Всяфизическая теория (механика, электродинамика и др.) подлежала после их открытия такой перестройке, чтобы связи (7.3.6) и (7.3.7) были учтены. Это было осуществлено в специальной теории отно-сительности (сначала в электродинамике Эйнштейном; позже – в механике).