Ағынның үздiксiздiк теңдеуi

2-суреттегiдей түрде жалғастырылған екi ыдыс алайық. Жоғарғы ыдыстағы сұйық биiктiкке дейiн толтырылған делiк. Ендi екi ыдысты қосатын шүмегiн ашсақ, онда сұйықт енгi ыдысқа ағып өтедi. Айталық, уақыт iшiнде жоғарғы ың бiразы жоғарғы ыдыстан төм ыдыстағы сұйықтың деңгейi -ге төмендеп,

2-сурет төменгi ыдыс толсын. Сұйық сығылмайды және үзiлмейдi деп есептесек, онда жоғарғы ыдыстан ағып кеткен сұйық көлемi мен төменгi ыдысқа құйылған сұйық көлемi тең болады:

,

мұндағы: - жоғарғы ыдыстың көлденең қимасы, - төменгi ыдыстың көлденең қимасы, бұл формуланың екi жағын -¹а бөлсек:

немесе ,

мұндағы - жоғарғы ыдыстағы сұйық ағысының жылдамдығы, - төменгi ыдыстағы сұйық ағысының жылдамдығы. Сонда

.

Осы өрнектi ағынның үздiксiздiк теңдеуi деп атайды. Ыдыстың көлденең қимасының сұйық ағысының жылдамдығына көбейтiндiсi тұрақты шама болады.

Сұйық ағысының жылдамдығы ыдыстың көлденең қимасына керi пропорционал.

Бернулли теңдеуi

Идеал сұйықтың қозғалысын (ағысын) сипаттайтын өрнектi 1738 жылы Д.Бернулли (1700-1782) тұжырымдады. Бернулли энергияның сақталу заңын пайдалана отырып, сұйық қысымының жылдамдыққа тәуелдiлiгiн анықтады. Бұл формуланы қорытып шығару үшiн көлденең қимасы әр түрлi түтiкшедегi идеал сұйықтың қозғалысын қарастырайық (3-сурет).

3-сурет

1 және 2 қималардың арасындағы сұйық массасының қозғалуын бақылайық. 1-ден кейiн, 2 қиманың алдында ағын болмаса да екi қима арасындағы сұйық массасы өз салмағы әсерiнен қозғала бастайды. Алайда, екi қима арасындағы сұйық өз массасымен ғана қозғалып қоймай, ол айырмасының әсерiнен де қозғалысқа келетiнiн айта кеткен жөн. Сонымен сыртқы күш жұмыс iстейдi. Мұндағы - 1 қимада iстелетiн жұмыс. - 2 қимада iстелетiн жұмыс . Энергияның сақталу заңы бойынша қималар энергияларының айырымы сұйықты қозғалысқа келтiру үшiн iстелетiн жұмыстардың айырымына тең болады: немесе

,

мұндағы: , - 1 мен 2 қималардағы сұйықтардың толық энергиялары.

Толық энергия кинетикалық және потенциалдық энергиялардың қосындысына тең:

,

,

.

, және -ның мәндерiн алғашқы формулаға апарып қойсақ, табатынымыз

.

Ағыстың үздiксiздiк теңдеуiнен екенiн бiлемiз, олай болса:

.

Екiншi жағынан,

,

бұл өрнектiң екi жағын да көлемге бөлсек:

.

Ал сұйықтың тығыздығы екенiн ескерсек:

Жалпы түрде алғанда

.

Бұл теңдеу Бернулли теңдеуi деп аталады.

мұндағы: - динамикалық қысым, -гидравликалық қысым,

р - статикалық қысым.

Статикалық қысым (р) сұйықтың қозғалысына тәуелсiз, ал динамикалық қысым сұйық қозғалысына тәуелдi болады. Ол сұйық тежелгенде айқын бiлiнедi. Гидравликалық қысым салмақсыздық кезiнде жойылады да, асқын салмақ кезiнде өсе түседi.

Горизанталь құбыр үшiн Бернулли теңдеуi:

.

Сұйықтың жылдамдығы артқанда қысымы кемидi.

Торричелли формуласы

Бернулли теңдеуiн кiшкене саңлауы бар үлкен ыдыстан сұйықтың ағысына қолдануға болады.

.

4-сурет

- бұл өрнек Торричелли формуласы деп аталады.

Пуазейль формуласы

1841 жылы француз физигi Пуазейль ламинарлық ағыстың жылдамдығын анықтайтын заңды ашты: түтiкпен ағып жатқан сұйықтың ламинарлық ағысының орташа жылдамдығы сұйықтың қысым градиентiне, түтiк радиусының квадратына тура, ал сұйық тұтқырлығына керi пропорционал болады:

.

Құбырдағы ламинар ағысында жылдамдық параболалық заңмен өзгередi.

Құбырдың көлденең қимасынан ағатын сұйық ағынын қарастырамыз.

Сұйық ағыны деп бiрлiк уақытта құбырдың көлденең қимасынан өтетiн сұйықтың көлемiн айтады.

- Пуазейль теңдеуi.

Түтiкпен ағып жатқан сұйықтың ағыны сұйықтың қысым градиентiне, түтiк радиусының төртiншi дәрежесiне тура, ал сұйық тұтқырлығына керi пропорционал болады.