Ii методи розрахунку електростатичного

УДК 621.3

К 26

Рецензенти:

В.І.Сенько, доктор технічних наук професор (НТУУ «КПІ»)

П.Д.Лежнюк, доктор технічних наук професор (ВНТУ)

Ю.О.Скрипник, доктор технічних наук професор (КНТУТД)

Рекомендовано до видання Міністерством освіти і науки України.

Лист № 14/18.2 – 696 від 07.04.04

Карпов Ю.О., Кухарчук В.В.

К 26 Теоретичні основи електротехніки. Електричне поле. Навчальний посібник. –Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця, 2004. –143с.

ISBN

У навчальному посібнику викладена теорія електростатичного і електричного полів в провідному середовищі. Матеріал подано в обсязі, необхідному для розрахунку даних полів. Наведено велику кількість прикладів розрахунку і побудови картини полів та визначення параметрів різних електротехнічних пристроїв, які зустрічаються в електроенергетиці, радіотехніці, засобах автоматики та вимірювальної техніки. Навчальний посібник призначений для студентів і аспірантів електротехнічних і енергетичних спеціальностей вищих навчальних закладів і може бути корисним інженерам, які займаються теорією поля.

УДК 621.3

ISBN

Ó Ю.Карпов, В.Кухарчук, 2004

ЗМІСТ

ВСТУП.............................................................................................5

I ЕЛЕКТРОСТАТИЧНЕ ПОЛЕ.................................................14

1.1 Закон Кулона.................................................................................14

1.2 Напруженість електричного поля................................................15

1.3 Теорема Гаусса..............................................................................19

1.4 Поляризація діелектриків.............................................................23

1.5 Потенціал електростатичного поля.............................................28

1.6 Зв’язок між потенціалом і напруженістю поля..........................33

1.7 Рівняння Пуаcсона і Лапласа.......................................................35

1.8 Граничні умови на поверхні розділу двох діелектриків............37

1.9 Граничні умови на поверхні розділу діелектрика

і провідника....................................................................................42

1.10 Електростатична ємність..............................................................44

1.11 Енергія електростатичного поля..................................................45

1.12 Сили в електростатичному полі, які діють на заряджені тіла...50

1.13 Теорема єдиності розв’язку..........................................................52

II МЕТОДИ РОЗРАХУНКУ ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОГО

ПОЛЯ.............................................................................................56

2.1 Коротка характеристика задач електростатики та методів їхнього розв’язування......................................................................56

2.2 Застосування співвідношень, які пов’язані з законом Кулона і методом накладання......................................................................57

2.3 Застосування теореми Гаусса.......................................................63

2.4 Метод дзеркальних зображень.....................................................90

2.5 Розподіл потенціалів і зарядів в системі заряджених тіл..........94

2.6 Застосування рівнянь Пуассона і Лапласа..................................99

III ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ ПОСТІЙНИХ СТРУМІВ

В ПРОВІДНОМУ СЕРЕДОВИЩІ.........................................115

3.1 Електричний струм. Густина електричного струму................115

3.2 Закон Ома в диференціальній формі.........................................118

3.3 Напруженість сторонніх сил. Електрорушійна сила...............120

3.4 Закони Кірхгофа в диференціальній формі..............................123

3.5 Диференціальна форма закону Джоуля-Лєнца.........................126

3.6 Електричне поле в провідному середовищі

на межі двох середовищ.............................................................127

3.7 Аналогія між електричним полем в провідному

середовищі і електростатичним полем......................................131

3.8 Приклади розрахунку електричних полів

в провідному середовищі............................................................134

ЛІТЕРАТУРА.............................................................................142

В С Т У П

Теорія електромагнітного поля, яка вивчається в дисципліні теоретичних основ електротехніки має за мету якісне і кількісне дослідження електромагнітних полів, що зустрічаються в різних електротехнічних пристроях. Широка сфера застосування електромагнітних процесів роблять цю теорію важливим інструментом пізнання законів природи.

Як відомо з фізики, усі тіла в природі складаються з елементарних частинок, які між собою пов’язані різною взаємодією. Однією з форм такої взаємодії є електромагнітна, яка проявляється в силах відштовхування або притягування частинок речовини.

Частинки, які володіють такими властивостями, називаються електрично зарядженими. До елементарних електричних частинок відносять електрони і протони. Здатність електрично заряджених частинок до електромагнітного впливу (дії) оцінюється кількістю електричного заряду даної частинки. Завдяки тому, що електрично заряджені частинки можуть відштовхуватись або притягуватись, розрізнюють позитивні і негативні заряди. Однойменно заряджені частинки відштовхуються, різнойменно – притягуються. Найменший негативний заряд має електрон, а найменший позитивний – протон. Кількісно заряди електрона і протона рівні між собою.

В електротехнічній практиці за одиницю кількості електрики приймають кулон (Кл), який містить 6.2×10¹⁸ зарядів електрона. Величину електричного заряду прийнято позначати буквою q або Q.

Якщо тіло складається з однакової кількості рівномірно розподілених електронів і протонів, то в цілому таке тіло електрично нейтральне. Зарядженим тіло буде тільки у випадку отримання ним надлишку зарядів будь-якого знаку.

Елементарні електричні частинки входять до складу атомів і молекул речовин, але можуть також знаходитись і у вільному стані. Вони знаходяться в неперервному русі і навколо них є електромагнітне поле, завдяки чому електричні частинки взаємодіють одна з одною.

Заряджені частинки і електромагнітне поле нерозривно зв’язані і впливають одне на одного і є двома різними видами матерії. Відмінність між частинками і полем як видами матерії полягає в такому. Частинки речовини дискретні і займають деяку обмежену область простору. Зайнятий об’єм простору однією частинкою не може бути одночасно зайнятим другою частинкою. Електромагнітні поля неперервні, займають весь простір і взаємо проникні, тобто можуть накладатися один на одного. Частинки речовини під дією зовнішніх сил можуть переміщуватися в просторі з різними швидкостями, в той час коли електромагнітні поля завжди розповсюджуються тільки з однією швидкістю – швидкістю світла.

Простір між сукупністю частинок матерії (речовиною) прийнято називати пустотою.

Електромагнітне поле характеризується наявністю електричного і магнітного полів, зв’язаних неперервним взаємним перетворенням. Ці поля представляють собою дві сторони одного електромагнітного поля, різні його прояви. Розподіл електромагнітного поля на дві його складові умовний, він залежить перш за все від системи координат, в якій проводяться дослідження. Спостерігач, який знаходиться в одній системі координат з нерухомим зарядом, спостерігатиме тільки електричне поле, тоді як спостерігач, який знаходиться в другій системі координат, яка рухається з певною швидкістю відносно першої, спостерігає в цьому ж просторі і електричне і магнітне поля.

В процесі вивчення електромагнітного поля методично доцільно розглядати спочатку окремо незмінне в часі електричне поле і його взаємодію з нерухомими зарядженими тілами. Потім зручно досліджувати незмінне в часі магнітне поле і його взаємодію з тілами, по яких протікає постійний струм. Після цього доцільно перейти до вивчення законів електромагнітного поля і розповсюдження електромагнітних хвиль.

Більшість фізичних величин, які характеризують електромагнітне поле, є вектори, тому висвітлимо основні положення векторної алгебри.

Векторна величина або вектор характеризується не тільки числовим значенням цієї величини, але і напрямком її дії в просторі. Її позначають буквою з рисочкою зверху, наприклад, , . Буква без рисочки (А) характеризує числове значення (модуль) вектора. Вектор можна записати у вигляді:

= ⁰,

де ⁰ – одиничний вектор (орт), направлений так само, як і вектор .

В тривимірному просторі будь-який вектор можна виразити через його проекції на три координатні осі. В прямокутній системі координат (рис.В.1,а) одиничним векторам присвоєно такі позначення: , , - відповідно до напрямку по осях x, y, z. Отже, якщо позначити проекції вектора на осі координат відповідно A_x, A_y, A_z, то

. (В.1)

В процесі розв’язування конкретних задач часто зручніше використовувати циліндричну (рис.В.1, б) або сферичну (рис.В.1, в) системи координат. В циліндричній системі координат (r, , z) одиничні вектори позначають: радіальний - , дотичний - , осьовий - . В сферичній системі (r, , ) - радіальний - , меридіанний - , довготний - .

Результатом суми двох векторів і є вектор ( ), який є діагоналлю паралелограма (рис.В.2).

Віднімання двох векторів і можна звести до операції суми

.

Розрізнюють два види перемноження векторів і - скалярне і векторне.

Рисунок В.1

Рисунок В.2

Результатом скалярного добутку є скалярна величина і цю дію подають у вигляді

, (В.2)

де - кут між векторами і .

Скалярний добуток двох однойменних одиничних векторів

, (В.3)

тому що кут між цими векторами дорівнює нулю.

Скалярний добуток двох різнойменних одиничних векторів

, (В.4)

завдяки тому що кут між векторами дорівнює 90⁰.

Визначимо скалярний добуток між векторами через їхні проекції в прямокутній системі координат

.

Врахувавши (В.3) і (В.4), отримаємо

. (В.5)

Із цього співвідношення видно, що має місце рівність

. (В.6)

Векторним добутком двох векторів і називають новий вектор , направлений перпендикулярно площині, в якій розміщені вектори і , і чисельно рівний

.

Дану операцію записують у вигляді:

. (В.6)

Позитивний напрямок вектора визначають за правилом правоходового гвинта (рис.В.3).

Якщо обертати гвинт в площині векторів і від першого вектора ( ) до другого ( ) по дузі, меншій ніж 180⁰, то поступальний рух гвинта вказує напрямок вектора . З цього правила видно, що

. (В.7)

Векторний добуток можна записати через про-

Рисунок В.3екції векторів. В прямокутній системі координат

.

Зручно даний вираз записати також у вигляді визначника

. (В.8)

Запишемо ще два добутки:

, (В.9)

. (В.10)

Якщо вектори є неперервними функціями координат, то над ними можна проводити операції диференціювання. У векторному аналізі розрізнюють три види диференціальних операцій.

Векторна просторова похідна ( ) від скалярної функції B(x,y,z). Якщо похідна взята в напрямку найбільшого зростання функції, то вона називається градієнтом скалярної функції

. (В.11)

В прямокутній системі координат

, (В.12)

в циліндричній

, (В.13)

в сферичній

. (В.14)

Для позначення операції просторового диференціювання часто використовують символ (читається «набла»), який називають диференціальним оператором або оператором Гамільтона, і формально його розглядають як умовний вектор

. (В.15)

Вираз градієнта (В.11) можна розглядати як добуток вектора на скалярну величину В

.

Скалярна просторова похідна А від векторної функції називається дивергенцією векторної функції

. (В.16)

Застосувавши символ , можна записати (В.16) у вигляді скалярного добутку двох векторів

. (В.16)

Для прямокутної системи координат

, (В.17)

для циліндричної

, (В.18)

для сферичної

. (В.19)

Векторна просторова похідна від векторної функції називається ротором функції

. (В.20)

В різних системах координат цю похідну зручно записувати у вигляді визначника.

В прямокутній системі координат

, (В.21)

в циліндричній

, (В.22)

в сферичній

. (В.23)

Вираз (В.20) можна записати як векторний добуток векторів і

. (В.24)

Згадаємо ще декілька співвідношень

, (В.25)

. (В.26)