Скорость распространения волн в различных средах
Для определения скорости упругих волн в упругой среде рас-смотрим продольную плоскую волну, распространяющуюся в на-правлении оси 0х. Выделим в среде цилиндрический объем с площа-дью основания S0 и высотой dx. Смещения S частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными. Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени сме-щение S, то смещение основания с координатой x + dx будет S + dS. Тогда, рассматриваемый объем деформируется и получает удлинение dS или относительную деформациюε=∂S/∂x (деформации растяже-ния). Наличие деформации свидетельствует о существовании нор-мального напряжения σ, которое при малых деформациях пропор-ционального величине деформации. По закону Гука для деформации растяжения − сжатия
| σ = | F | = E ε = E | ∂S | , | (6.4.1) | |
| ∂x | ||||||
| S 0 |
где Е − модуль Юнга среды.
Из зависимости смещения от координаты х видно, что относи-тельная деформация ∂S/∂x, а также, и напряжение σ в фиксированный момент времени зависят от х . В соответствии с этим, продольная вол-на состоит из чередующихся разрежений и сжатий среды.
Теперь для цилиндрического объема запишем уравнение движе-ния. Масса этого объема
| dm =ρS 0dx . | (6.4.2) |
где ρ − плотность недеформированной среды.
Ввиду малости dx можно считать ускорение всех точек цилинд-ра одинаковым и равным
| a = d 2S dt2. | (6.4.3) |
Тогда этот участок объема будет растянут под влиянием сил F1 и F2 , приложенных к основаниям цилиндра в данный момент време-ни. Силы, действующие на левое и правое основание цилиндра равны, соответственно
| F =σ S | = E ε S | = E ∂S | S | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂x | x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| . | (6.4.4) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| F =σ | S | = E ε | S | = E ∂S | S | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂x | x +dx | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| После разложения силы F2 в ряд, получим | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂S | ∂S | ∂ ∂S | ∂S | ∂2S | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| F | = ES | = ES | + | dx = ES | + | dx , (6.4.5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂x | x +dx | ∂x | x | ∂x | ∂x | x | ∂x | x | ∂x | x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| и результирующая F1 , F2 сил, действующая на элемент объема равна | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| F = F | − F | = ES | ∂S | + | ∂ 2 S | − ES | ∂S | = ES | ∂2S | dx . (6.4.6) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂x | ∂x 2 | dx | ∂x | ∂x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | x | x | x |
Используя основное уравнение динамики поступательного дви-жения (2.1.2) и, подставив значения массы, ускорения и силы, получим
| ρ S | dx | ∂ 2 S | = S | E | ∂2S | dx | ⇒ | ||||
| ∂t 2 | ∂x2 | ||||||||||
| ∂ 2 S | ∂2S . | (6.4.7) | |||||||||
| ρ | = E | ∂ 2 S | ⇒ | ρ ∂2 S | = | ||||||
| ∂t 2 | ∂x 2 | E ∂t 2 | ∂x2 | ||||||||
Из сравнения этого уравнения с волновым уравнением для пло-
ской волны (6.3.6) ∂2 S = 1 ∂2S , получим
∂x 2 υ 2 ∂t2
| = | ρ | ⇒ υ= | E | , | (6.4.8) | ||
| υ2 | E | ρ | |||||
где Е − модуль Юнга.
Полученное уравнение определяет фазовую скорость продоль-
ных упругих волн.
Если проделать аналогичные преобразования для поперечных упругих волн, то фазовая скорость поперечных упругих волн будет иметь следующий вид
| υ= | G | , | (6.4.9) |
| ρ |
где G − модуль сдвига.
МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Лекция № 10
6.5. Волновой перенос энергии и его характеристики: поток, плотность потока, интенсивность.
6.6. Фазовая и групповая скорости волн.
6.7. Интерференция упругих волн.
6.8. Стоячие волны.