Електромагнітні гармонічні коливання

Розглянемо гармонічні коливання в електричному контурі (рис.1.4).

Ідеальним коливальним контуром називається електричне коло, яке складається з конденсатора , котушки індуктивності і провідників, електричним опором яких можна знехтувати. Якщо заряджений конденсатор замкнути на котушку, в отриманому колі виникнуть вільні гармонічні електромагнітні коливання.

Рис. 1.4

Для отримання диференціального рівняння коливань у коливальному контурі використаємо друге правило Кірхгофа: у будь-якому замкненому контурі електричного кола сума падінь напруги дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС, що діють у цьому контурі. Для ідеального коливального контуру напруга на конденсаторі дорівнює ЕРС самоіндукції у котушці індуктивності

. (1.15)

За визначенням електроємності конденсатора , де – заряд на обкладинках конденсатора. Звідки маємо

. (1.16)

За законом Фарадея для явища самоіндукції

. (1.17)

Підставляючи (1.16) і (1.17) у (1.15), отримуємо:

, (1.18)

де – миттєва сила струму у колі, яка дорівнює ; – ємність конденсатора; – індуктивність котушки. Рівняння коливань набуває вигляду

.

Якщо це рівняння поділити на , ми отримаємо рівняння гармонічних коливань вигляду

, (1.19)

, (1.20)

де – циклічна частота гармонічних електромагнітних коливань у коливальному контурі.

Рішення рівняння вільних незагасаючих гармонічних коливань (1.20) для заряду має вигляд

, (1.21)

де – амплітудне значення заряду конденсатора. Знайдемо період і частоту власних гармонічних електро­магнітних коливань у коливальному контурі:

, . (1.22)

Формула (1.22) називається формулою Томсона.

У реальному коливальному контурі треба враховувати опір провідників і дроту котушки. Тому додамо в ідеальний коливальний контур опір (рис.1.5). Наявність електричного опору призведе до розсіювання енергії коливань, і у такому контурі будуть відбуватися загасаючі електромагнітні коливання. За другим правилом Кірхгофа сума падінь напруги на конденсаторі і на опорі дорівнює ЕРС самоіндукції котушки. З урахуванням закону Ома для ділянки кола маємо

,

,

. (1.23)

Розділимо це рівняння на індуктивність ,і приведемо це рівняння до стандартного вигляду

,

, (1.24)

де – коефіцієнт загасання; – частота незагасаючих гармонічних коливань.

Рішення диференціального рівняння (1.24) загасаючих коливань у коливальному контурі має вигляд

, (1.25)

де

(1.26)

– циклічна частота загасаючих коливань у коливальному контурі.

Залежність заряду конденсатора від часу зображено на рис.1.5.

При експериментальному визначенні характеристик коливального контуру зручно вимірювати не заряд конденсатора, а напругу між його обкладками.

Оскільки

,

залежність напруги від часу така сама, як і для заряду:

(1.27)

де – початкова амплітуда напруги; а – амплітуда, що залежить від часу. Вона зменшується за експоненціальним законом.Ми маємо змогу виразити декремент коливань , логарифмічний декремент коливань і коефіцієнт загасання через відношення амплітуд напруги, які рознесені у часі на один період

(1.28)

Рис. 1.5

Опис методу та установки

У даній роботі для дослідження загасаючих електромагнітних коливань застосовується схема, яка складається з коливального контура та осцилографа з генератором П–подібних імпульсів (рис.1.7). Амплітуди напруги і період коливань у коливальному контурі визначаються за допомогою електронного осцилографа ЕО. Генератор прямокутних імпульсів ГПІ осцилографа періодично подає на схему П–подібні імпульси напруги, і, тим самим, заряджає конденсатор. Після зміни полярності прикладеної напруги у колі виникають загасаючі коливання. Напруга, яка знімається з конденсатора, подається на вхід осцилографа і задає відхилення електронного променя вздовж вертикальної осі (OY) екрана електронно-променевої трубки. Осцилограф забезпечує горизонтальну розгортку променю вздовж осі (OX). В наслідок цього на екрані виникає зображення (рис. 1.6), яке називається осцилограмою. Воно являє собою графік залежності напруги на конденсаторі від часу. Використовуючи горизонтальну шкалу екрана і значення ціни поділки перемикача 2 “мкс/под”, визначаємо експериментальне значення періоду коливань

(1.29)

де – кількість повних коливань на екрані, а – кількість поділок на горизонтальній шкалі (великих клітин) екрана. Використовуючи вертикальну шкалу екрана і значення ціни поділки перемикача “В/под”, визначаємо експериментальне значення періоду амплітуди напруги

, (1.30)

де = 1,2,3… – порядковий номер амплітуди; – кількість поділок (великих клітин) за вертикальною шкалою.

Рис. 1.6

Тоді для кожної пари послідовних амплітуд, рознесених одна від одної на один період , можна знайти декремент загасання

, (1.31)

логарифмічний декремент загасання

(1.32)

і коефіцієнт загасання

. (1.33)

Теоретичне значення циклічної частоти і періоду знайдемо з (1.26):

, (1.34)

. (1.35)

Порядок виконання роботи

1. Скласти електричне коло згідно з рис.1.7. Увімкнути осцилограф. Під керівництвом викладача регуляторами "Стабільність" і "Рівень" досягти появи на екрані стабільної осцилограми, перемикачами (1) "В/под" і (2) "мкс/под" встановити оптимальний масштаб зображення.

2. Встановити задані викладачем значення індуктивності L і ємності С, встановити на магазині опір R і занести їх значення до табл.1.1.

3. Регулятором (3) переміщення по вертикалі "Y" сумістити осцилограму коливань з горизонтальною віссю в області, де коливання майже загаслі (”хвіст” кривої на рис.1.7). Почергово підводячи амплітуди, які рознесені одна від одної на один період, до вертикальної шкали регулятором (4) переміщення по горизонталі "Х", визначити величини амплітуд Y_i у поділках (великі клітини) і занести їх до табл. 1.1. За положенням перемикача (1) "В/под" визначити ціну поділки K_Y і занести її до таблиці 1.1. За формулою (1.30) визначити амплітуди напруги у вольтах.

4. Регулятором (4) переміщення по горизонталі "Х" сполучити початок першого періоду з першою поділкою горизонтальної шкали. Визначити за горизонтальною шкалою X_N – тривалість для чотирьох або для трьох періодів ( ) і занести його до табл.1.1. За положенням перемикача (2) "мкс/под" визначити значення K_X і занести її до табл.1.1. Визначити експериментальний період коливань Т_Е за формулою (1.29).

5. Змінити значення індуктивності, ємності, опору і повторити вимірювання згідно з п. 2-4.

6. Вимкнути осцилограф.

7. Розрахувати експериментальне значення w_Е . Визначити D, q іb за формулами (1.31)–(1.33) для кожної пари послідовних амплітуд (U_0,1 і U_0,2, U_0,2 і U_0,3, і т.д.).

8. Знайти теоретичне значення w_Т за формулою (1.34) і періоду Т_Т за формулою (1.35) і занести їх до таблиці.

Рис. 1.7

Теорія похибок

Якщо похибки вимірювання фізичної величини мають неперед­бачений характер, тобто результати вимірювань підпорядковуються розподілу Гаусса, середнє значення фізичної величини може визначатися як середнє арифметичне результатів прямих експериментальних вимірювань

.

Абсолютною похибкою вимірювання називають різницю між експериментальним вимірюванням і середнім значенням фізичної величини

Абсолютні похибки вимірювання можуть мати як позитивні, так і негативні значення. Середньоквадратичною абсолютною похибкою називається величина, яка дорівнює квадратному кореню з суми квадратів абсолютних похибок, поділеному на кількість дослідів мінус один

.

Результат вимірювань записують у формі істинного значення :

,

наприклад,

Очевидно, що істинне значення лежить у інтервалі

.

Відносною похибкою вимірювання називають відношення середньої абсолютної похибки до середнього значення фізичної величини. Відносну похибку визначають у відсотках

У тому випадку, коли постає необхідність порівняти результат експерименту з теоретичним передбаченням значення фізичної величини, визначають відносну теоретичну помилку. Відносною теоретичною похибкою називають відношення різниці між теоретичним значенням фізичної величини та її середнім експериментальним значенням до теоретичного значення фізичної величини

.

У тому випадку, коли фізична величина вимірюється не безпосередньо, а є деякою функцією безпосередньо виміряних величин B=B(x,s,t), середня абсолютнапохибка вимірювання може бути знайдена як

.

Відносна похибка величини дорівнює логарифмічному диференціалу

.

Визначення похибок експерименту є обов'язковою складовою частиною проведення фізичних дослідів.

Таблиця 1.1

№

Контрольні запитання

1. Дайте визначення коливальних процесів та їх класифікацію.

2. Дайте визначення амплітуди, періоду, частоти, фази коливань.

3. Незагасаючі гармонічні механічні коливання пружинного маятника. Виведіть рівняння, запишіть рішення, побудуйте графік.

4. Незагасаючі гармонічні електромагнітні коливання у коливальному контурі. Виведіть рівняння, запишіть рішення, побудуйте графік.

5. Загасаючі механічні коливання пружинного маятника. Виведіть рівняння, запишіть рішення, побудуйте графік.

6. Загасаючі електромагнітні коливання у коливальному контурі. Виведіть рівняння, запишіть рішення, побудуйте графік.

7. Дайте визначення декременту, логарифмічного декременту і коефіцієнта загасання.

8. Отримайте самостійно вираз для сили струму загасаючих коливань у коливальному контурі.

9. Опишіть експериментальну методику вивчення загасаючих електромагніт­них коливань.

10. Поясніть порядок виконання роботи.