Розрахунок балки на змушені коливання

Двигун, вагою Q, встановлений на балці (рис. 13.11), робить n_о обертів за хвилину.

Рис. 13.11

Під час роботи двигуна виникає відцентрова сила інерції (де частота збуджувальної сили).

Потрібно:

1. Визначити найбільше напруження, що виникає в балці при коливаннях. Якщо умова міцності не задовольняється, або задовольнятиметься з великим запасом, то необхідно підібрати нові розміри балки. Крім того, для остаточно підібраного перерізу балки повинна виконуватися умова:

де - частота вільних коливань.

2. За якого числа обертів двигуна для остаточно підібраної балки матиме місце явище резонансу? Для цього випадку знайти найбільше напруження в балці.

Примітка: Під час розрахунку слід враховувати силу опору, що прямо пропорційна швидкості руху. Коефіцієнт згасання коливань .

Розрахунок провести без врахування і з врахуванням власної маси балки.

Дано: Q = 2 кН, Р = 1,5 кН, n_o = 960 об/хв, a = 2 м, b = 1 м,

l = 3 м.

Балка двотаврового перерізу №16 (ДСТУ 8239-89),

J_y=873·10^-8 м⁴; W_y=109·10^-6м3.

Матеріал балки сталь Ст. 30.

Розв’язання:

Визначаємо найбільші напруження, які утворюються в балці при коливаннях.

Розрахунок без врахування маси балки

Умова міцності при коливаннях має вигляд:

де і - напруження від статичної дії сили Q і P відповідно

;

- динамічний коефіцієнт з урахуванням сили опору

.

Колову частоту вільних коливань балки можна визначити за формулою:

Кругова частота збуджуючої сили

Визначаємо переміщення від статичної дії вантажу Q.

Для цього розв’язуємо ту ж саму балку зі статичним прикладанням сили Q. Тоді маємо:

Отримуємо:

Розраховуємо частоту власних коливань w:

Та частота збуджувальної сили

Перевіряємо виконання умови . Маємо:

тобто умова виконується.

Перевіряємо виконання умови міцності.

Знаходимо напруження від статичної дії сил Q і Р:

Визначаємо динамічний коефіцієнт

Перевіряємо виконання умови міцності

Тобто умова міцності задовольняється.

Оскільки умова міцності задовольняється з великим запасом, а також умова теж задовольняється з запасом, беремо поперечний переріз у вигляді двотавра №14 (ДСТУ 8239-89), (далі всі розрахунки повторюються).

Отже,

Частота власних коливань

Перевіряємо виконання умови . У нашому випадку для двотаврової балки №14

.

Якщо взяти двотавр №14, то виявляється, що умова вже не виконується, тому поки що залишаємо двотавр №16.

Розрахунок з урахуванням власної ваги балки

У цьому випадку формула для визначення набуває вигляду:

де Q – вага двигуна; Q₁ – вага балки; - коефіцієнт приведення. Вага балки визначається з табл. сортаменту; вага одного погонного метра балки для №16 дорівнює q = 159 Н/м.

Отримаємо:

Q₁ = 159∙l = 159∙3 = 477 Н.

- знаходиться за формулою, наведеною в задачі на удар (п. 13.2).

Визначаємо величину

Розраховуємо частоту власних коливань:

Інші розрахунки такі ж самі, що й при розрахунку без урахування маси балки.

Остаточні розміри двотавра обираються за результатами даного розрахунку, тобто, беремо двотавр №16.

Знайдемо число обертів двигуна, при якому буде мати місце явище резонансу.

Без врахування маси балки

Умова резонансу має вигляд:

де - колова частота, збуджувальної сили, за якої виникає резонанс.

У цьому випадку з умови резонансу маємо = 130 с^-1.

Знаходимо число обертів двигуна, яке відповідає

За такого числа обертів двигуна відбудеться резонанс.

Перевіряємо міцність балки при резонансі:

а) визначаємо динамічний коефіцієнт під час резонансу:

б) найбільше напруження:

Таким чином, умова міцності при резонансі не виконується.

Розрахунок з урахуванням маси балки (такий самий, але за основу беремо , отримане з урахуванням маси балки).

Методичні рекомендації

Вивчення динамічної дії навантажень слід починати із з’ясування того, яке навантаження називається динамічним. Спочатку потрібно навчитися визначати напруження при рівноприскореному русі. Потім запам’ятати, як застосовується принцип Д’Аламбера для врахування сил інерції, а також поняття «динамічний коефіцієнт». При обчисленні напружень у кільці, яке швидко трапляється, основним навантаженням є відцентрова сила. Часто зустрічається також ударне прикладання навантаження. Тут особливу увагу слід приділити гіпотезам, які лежать в основі наближеної теорії удару. Необхідно навчитися виводити формули для визначення динамічного коефіцієнта при ударі та розглянути приклади визначення динамічних напружень під час удару. Необхідно запам’ятати, як враховується маса пружної системи, яка піддається удару.

При вивченні коливань розглядали системи з одним ступенем вільності, тому необхідно навчитися виводити диференціальні рівняння вільних коливань системи з одним ступенем вільності. Для визначення колової частоти і періоду вільних коливань слід запам’ятати прості формули, навчитися виводити диференціальне рівняння вимушених коливань системи з одним ступенем вільності. Заслуговує на увагу і явище резонансу. Необхідно вивчити формули для визначення динамічного коефіцієнта і амплітуди вимушених коливань, а також розібратися, який вплив здійснюють сили опору на значення динамічного коефіцієнта. Слід навчитися користуватися умовою міцності при вимушених коливаннях.

Запитання для самоперевірки

1. Як обчислюють напруження в тросі при рівноприскореному підніманні вантажу?

2. Що називається динамічним коефіцієнтом?

3. Від яких факторів залежать напруження в ободі кільця, яке обертається?

4. Як знаходять напруження в диску постійної товщини, який обертається?

5. Як виводять формулу для визначення напружень при ударі?

6. Чому дорівнює динамічний коефіцієнт при ударі?

7. Як враховується маса пружної системи, яка зазнає удару?

8. Що називається системою з одним ступенем вільності?

9. Які коливання називаються вільними? Які вимушеними?

10. Як знаходять колову частоту вільних коливань?

11. В чому полягає небезпечність явища резонансу?

12. Як обчислюють напруження при вимушених коливаннях?

13. Як враховуються сили опору під час вимушених коливань?