Кинематическими уравнения движения материальной точки

Поступательное движение —это такое движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе.

Вращательное движение — это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Абсолютно твердое тело - это тело,которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками этого тела остается постоянным.

Движение характеризуется траекторией, длиной пути, вектором перемещения, скоростью и ускорением.

Траектория - линия, которую описывает при своем движении материальная точка(прямолинейные, криволинейные)

Путь (S)- расстояние отсчитанное вдоль траектории(скалярная величина) Ds = Ds(t).

Перемещение– приращение радиус-вектора за единицу времени. Dr = r —r₀,

Скорость-векторная величинакоторой определяется как быстрота движения, так и его направ­ление в данный момент времени.

∆t→0

Вектором средней скорости <v> называется отношение приращения Dr радиу­са-вектора точки к промежутку времени Dt: V_ср = При неограниченном уменьшении D t средняя скорость стремиться к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью V V = lim =

∆t→0

∆t→0

Мгновенная скорость есть векторная величина, равная первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени. При уменьшении D t , DS (DS - скаляр) приближается к | ∆ r | (рис. 1.1) и модуль мгновенной скорости V = | V |= lim = lim =

Отсюда модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени

Вектор мгновенной скорости можно разложить на три составляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат:

V_x = ; V_y = ; V_z =

При этом модуль мгновенной скорости.

V = | V | =

2 Ускорение-физическая величина, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению.

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + Dt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Dv к интервалу вре­мени

Мгновенное ускорение движения определяется как предел, к которому стремится среднее ускорение а_ср = при Dt®0, т.е.

a = lim = = (1.4)

Разложение ускорения точки на составляющие по осям прямоугольной системы координат имеет вид: , ,

а модуль ускорения .

Полное ускорение a имеет две составляющие, перпендикулярные между собой (рис. 1.2) а_t и a_n. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине (a_t),

т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

а нормальное (центростремительное) по направлению (a_n). При прямолинейном движении а_n = 0. Из рис. 1.2.

V

рис. 1.2

(1.5)

a

an

Рассмотрим составляющие ускорения подробнее и получим их формулы. Пусть V скорость точки А, а через время Dt она изменится до V₂ (точка B).

Перенесем параллельно V₂ в точку A (рис.1.3) и, отложив на нем V_{1 ,}получим подобные треугольники ACD и ABC. При этом DS»AB, а R-радиус кривизны траектории. Из подобия треугольников:

; Следовательно , отсюда

, отсюда (1.7)

В скалярной форме (1.7^/)

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движе­ние можно классифицировать следующим образом:

1) , а_n = 0 — прямолинейное равномерное движение;

2) , а_n = 0 — прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

Если начальный момент времени t₁=0, а начальная скорость v₁=v₀, то, обозначив t₂=t и v₂=v, получим , откуда

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения

3) , а_n = 0— прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) , а_n = const. При скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы a_n=v²/r следует, что радиус кривизны должен быть посто­янным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

5) , — равномерное криволинейное движение;

6) , — криволинейное равнопеременное движение;

7) , — криволинейное движение с переменным ускорением.