Собственные колебания и собственные частоты

Прямоугольного объема

Общее решение уравнения Гельмгольца (6.2) с граничными условиями (6.4) равно сумме частных решений, имеющих вид:

(6.5)

где m, n, p = 0, 1, 2, 3 …

Функции (6.5) называются характеристическими или собственными функциями уравнения (6.2). Каждой собственной функции соответствует собственное значение параметра k:

(6.6)

Так как величина представляет собой волновое число, то в прямоугольном помещении с жесткими стенками существует набор собственных (резонансных) частот:

(6.7)

Собственное колебание p_mnp, описываемое функцией (6.5), с частотой f_mnp принято называть модой (m, n, p). Физически каждая мода представляет собой стоячую плоскую волну с волновым вектором , проекции которого на оси координат равны:

(6.8)

Так как волновой вектор перпендикулярен волновой поверхности, направление, вдоль которого устанавливается каждая из стоячих волн p_mnp, образует с осями координат углы α, β и γ, величина которых определяется соотношениями:

(6.9)

Очевидно, что

Классификация собственных колебаний замкнутого объема

В зависимости от ориентации волнового вектора все моды собственных колебаний можно разделить на три группы: осевые, кососкользящие и косые.

Осевыми называются моды, для которых волновой вектор направлен параллельно одному из ребер прямоугольного помещения (рисунок 6.2). Существуют три вида осевых мод:

- x-осевые (α = 0, β = γ = 90⁰) с частотами

- y-осевые (β = 0, α = γ = 90⁰) с частотами

- z-осевые (γ = 0, α = β = 90⁰) с частотами

Скользящими (касательными) называют моды, для которых волновой вектор направлен параллельно одной из координатных плоскостей (рисунок 6.3). Можно выделить:

- xy-касательные моды (α ≠ 0, β ≠ 0, γ = 90⁰) с частотами

- xz-касательные моды (α ≠ 0, γ ≠ 0, β = 90⁰) с частотами

- yz-касательные моды (γ ≠ 0, β ≠ 0, α = 90⁰) с частотами

Косые моды имеют волновой вектор, у которого ни одна из компонент не обращается в нуль: α ≠ 0, β ≠ 0, γ ≠ 0 (рисунок 6.4). Частоты косых мод могут быть найдены по формуле

Особенности спектра собственных частот колебаний

Замкнутого объема

Используя формулу (6.7) можно для конкретного помещения рассчитать все собственные частоты, лежащие в заданном интервале значений. При этом некоторые собственные частоты могут оказаться вырожденными, то есть одному значению частоты может соответствовать несколько (N) различных собственных колебаний (мод). Количество собственных частот, попадающих в заданный интервал, зависит от ширины интервала и от размеров помещения. Чем больше объем помещения, тем больше собственных частот попадает в заданный интервал.

Спектр собственных частот можно представить графически (рисунок 6.5).

Расчеты показывают, что в области низких частот спектр имеет выраженный дискретный характер. Это приводит к тому, что в этой области наблюдаются ярко выраженные резонансные явления и звуковое поле является сильно неоднородным.

С ростом частоты количество собственных частот в заданном интервале быстро увеличивается (спектр уплотняется) и, если размеры помещения не очень малы, в области наилучшей слышимости спектр фактически становится сплошным. Практически это означает, что любая составляющая в спектре источника звука будет возбуждать сразу большое количество собственных колебаний с близкими по значению частотами. В таких ситуациях расчет звукового поля с использованием волновой теории становится очень громоздким. В этой области частот удобнее использовать методы статистической акустики.

7 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ СТАТИСТИЧЕСКОЙ АКУСТИКИ ДЛЯ РАСЧЕТА ЗВУКОВОГО ПОЛЯ В ПОМЕЩЕНИИ