Задача 1. Стойка длиной ℓ=1 м с шарнирно опертыми концами и промежуточной шарнирной опорой посередине сжимается силой F=20 кН

Стойка длиной ℓ=1 м с шарнирно опертыми концами и промежуточной шарнирной опорой посередине сжимается силой F=20 кН.

Требуется:

a). Подобрать величину размера «а» поперечного сечения стойки с использованием коэффициента продольного изгиба , обеспечив ее устойчивость, если допускаемое напряжение на сжатие [σ]_с=160 МПа.

b). Для спроектированной стойки определить величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Решение:

a). Определим допускаемую величину характерного размера поперечного сечения стойки.

Данная задача относится к классу проектировочных и решается методом последовательных приближений.

1. Выразим необходимые для расчета геометрические характеристики поперечного сечения через характерный размер «а». Моменты инерции:

Из этих результатов видно, что ось х является осью наименьшей жесткости и поэтому выразим через «а» радиус инерции относительно оси х:

,

где А – площадь поперечного сечения:

.

Тогда

.

2. Итерация №1. Зададим первое значение коэффициента продольного изгиба .

3. Определим допускаемую величину площади поперечного сечения

.

4. Определим характерный размер

и минимальный радиус инерции

.

5. Определим максимальную гибкость стойки

.

6. Из таблицы коэффициента продольного изгиба (см. Приложение 4, таблица 4.6, стр.158) по найденной гибкости и марке материала выпишем уточненный коэффициент . Полученная гибкость попала по таблице в интервал значений 90-100. Фрагмент таблицы для Ст3:

Для определения значения проведем линейную интерполяцию:

.

7. Сравним значения и , т.е. значение 0,5 и 0,6144. Расхождение в десятых долях считается существенным и составляет

,

что требует продолжения расчета (приближения). Для этого подготовим для следующей итерации коэффициент

и перейдем к расчету на второй итерации, начиная с пункта 3 алгоритма.

Итерация №2

; ;

;

.

Гибкость попала в интервал значений 100-110. Фрагмент таблицы для этого интервала (см. Приложение 4, таблица 4.6, стр.158):

И вновь проведем линейную интерполяцию для определения :

.

Оценим % расхождения между и :

и это уже небольшое расхождение, позволяющее выйти из итерационного процесса.

8. Определим процент погрешности между расчетным (действующим) напряжением в конце 2-й итерации

и допускаемым напряжением [σ]_с:

<3%,

т.е. подбор размера поперечного сечения стойки закончен.

b). Определим величину критической силы и коэффициент запаса по устойчивости.

Для определения величины критической силы узнаем, к какому типу относится данная стойка: малой, средней или большой гибкости? С этой целью сравним значение гибкости на последней итерации λ_max2=104 c предельными значениями для Ст3 λ₀=61 и λ_пред=100. Т.к. λ_max2=104> λ_пред=100, значит спроектированная стойка обладает большой гибкостью, и расчет критической силы произведем по формуле Эйлера:

Коэффициент запаса по устойчивости

.

Задача решена.