Вільні коливання точки в середовищі без опору руху

Коливальним зветься рух точки, що періодично повторюється.

Коливання точки бувають вільними і вимушеними.

Вільними називаються коливання точки, що відбуваються під дією поновлюючої сили.

Поновлююча сила завжди прагне повернути точку із будь-якого положення в стан статичної рівноваги, бо в будь-якому положенні точки ця сила спрямована до стану статичної рівноваги. Величина поновлюючої сили пропорційна відхиленню точки від положення статичної рівноваги і визначається за формулою:

, де – це відхилення точки від стану статичної рівноваги, а – жорсткість пружного елементу (пружини). При коливальному русі точки на вертикальній пружині поновлююча сила є рівнодіючою двох сил – сили ваги і сили пружності пружини , де – деформація пружини, – її жорсткість. В цих випадках коливальний рух розглядають відносно осі , що проведена по вертикалі униз із положення статичної рівноваги точки. При цьому в стані статичної рівноваги точки пружина деформована на величину , тут – статична деформація пружини – розраховується за формулою: , де – вага точки.

Вільні коливання точки масою в середовищі без опору описуються таким рівнянням динаміки в диференціальному вигляді

Рівняння динаміки вільних коливань точки – це однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами; коефіцієнт є циклічною частотою вільних (власних) коливань точки, що визначається за формулою

Щоб провести дослідження вільних коливань точки, треба знайти закон коливального руху точки . Для цього треба розв’язати другу задачу динаміки точки – провести процедуру інтегрування диференціального рівняння руху точки при заданих початкових умовах задачі: при

Закон вільних коливань точки (в середовищі без опору) має вигляд:

де і – це сталі інтегрування, які визначаються із початкових умов задачі: Закон вільних коливань точки можна ще представити в такому вигляді: , де і – сталі інтегрування, що теж визначаються із початкових умов задачі. За фізичним змістом коефіцієнт – це амплітуда вільних коливань точки, яка може бути визначена за формулою або , а – початкова фаза коливань: .

До основних характеристик коливального процесу відносяться такі параметри: амплітуда і початкова фаза коливань , які залежать від початкових умов задачі; і часові характеристики коливального процесу – циклічна частота коливань та період коливань , які не залежать від початкових умов задачі, а визначаються лише параметрами системи – і :

Приклад 1.Вказати правильну відповідь.Прискорення вільного падіння прийняти рівним 10 м/с².

Якщо тіло масою m=2 кг підвісили до кінця вертикальної пружини з коефіцієнтом пружності с=200 Н/м, а в початковий момент часу пружина була недеформована і тіло відпустили без початкової швидкості, то амплітуда вільних коливань вказаної системи дорівнює:

1) 0,1 м; 2) 0,2 м;

3) 0 м; 4) 1 м.

Розв'язання. Рух тіла на вертикальній пружині будемо розглядати як коливальний рух точки в силу того, що цей рух поступальний. Амплітуда вільних коливань точки залежить від початкових умов руху і циклічної частоти вільних коливань відповідно формулі , де – початкова координата, яка показує початкове відхилення точки від положення статичної рівноваги, а – це проекція вектора початкової швидкості на вісь .

Обчислимо циклічну частоту вільних коливань:

x

Рис. 17

Пружина недеформована

Статична рівновага

y

λст

t = 0

x0

V0 = 0

Початкові умови руху тіла (точки) визначимо за допомогою рисунка 17, на якому зобразимо пружину в недеформованому стані, положення статичної рівноваги тіла, а також його положення в момент початку коливань (при t=0) відносно початку координат (осі x, y), яке обирається в положенні статичної рівноваги тіла.

Слід зауважити, що при коливаннях тіла (точки) на вертикальній пружині вісь проводять із положення статичної рівноваги тіла (точки), в якому пружина деформована на величину (рис. 17) і це статичне подовження пружини розраховується за формулою , де – вага тіла (точки).

Із умови прикладу і рис.17 випливає, що в початковий момент часу тіло було підвішано до недеформованої пружини, а значить, було відхилено уверх від положення статичної рівноваги на величину , тобто початкове значення координати x було таким:

.

Тіло в початковий момент було відпущено без початкової швидкості, значить

Тоді м.

Отже, правильною буде відповідь 1).

Приклад 2.Вказати правильну відповідь.

Якщо диференціальне рівняння коливань тіла має вигляд а коефіцієнт пружності с=200 Н/м, то маса тіла дорівнює:

1) 8 кг; 2) 6 кг;

3) 4 кг; 4) 2 кг.

Розв'язання. Задане рівняння – є однорідне диференціальне рівняння другого порядку вільних (власних) коливань матеріальної точки в середовищі без опору руху:

де k – частота вільних коливань, яка дорівнює .

Тоді у даному випадку . Звідси кг.

Отже, правильною буде відповідь 1).

Приклад 3.Вказати правильну відповідь з точністю до десятих.

Якщо закон коливального руху матеріальної точки має вигляд то амплітуда вільних коливань дорівнює:

1) a=0,1 см; 2) a=-0,1 см;

3) a=6,4 см; 4) a=-2,8 см.

Розв'язання. Заданий вираз є розв’язком однорідного диференціального рівняння другого порядку вільних коливань матеріальної точки : де 5 см, 4 см.

Тоді амплітуду цих вільних коливань можна знайти за формулою

см.

Отже, правильною буде відповідь 3).

Приклад 4.Вказати правильну відповідь з точністю до сотих.

Якщо тіло масою m=20 кг рухається на вертикальній пружині з коефіцієнтом пружності с=20 Н/м, то період T його вільних коливань дорівнює:

1) T=6,28 с; 2) T=0,15 с;

3) T=3,49 с; 4) T=1,00 с.

Розв'язання. Період вільних коливань точки знаходиться за формулою

Підставивши значення необхідних величин у наведену формулу, получимо:

Отже, правильною буде відповідь 1).

Приклад 5.Вказати правильну відповідь.

Рис. 18

c1

c2

c3

Якщо комплект пружин (рис.18) складається із трьох пружин, жорсткості яких відповідно дорівнюють с₁=30 H/м, c₂=40 H/м, c₃=20 H/м,то еквівалентна жорсткість комплекту становить:

1) _ЕКВ=23,8 Н/м; 2) _ЕКВ=15,6 Н/м;

3) _ЕКВ=3,33 Н/м; 4) _ЕКВ=10,3 Н/м.

Рис. 19

cекв = с1· с2 / (с1 + с2)

a)

б)

c1

c2

c1

c2

cекв = с1 + с2

в)

c1

c2

Розв'язання. Для визначення еквівалентної жорсткості комплекту пружин треба врахувати види з’єднання пружин. З’єднання пружин може бути паралельним (рис.19,а; 19,б), або послідовним (рис.19,в).

Відповідні формули для розрахунку еквівалентної жорсткості вказаних з’єднань пружин наведені на рис.19.

Отже, в заданому комплекті пружин пружини з жорсткістю с₁ і с₂ з’єднані паралельно, тоді еквівалентна жорсткість цього з’єднання пружин буде

Розглянутий комплект із двох пружин з’єднаний з пружиною жорсткості послідовно, тому еквівалентна жорсткість заданого комплекту із трьох пружин буде:

Н/м.

Отже, правильною буде відповідь 2).

Приклад 6.Вказати правильну відповідь. Прискорення вільного падіння прийняти рівним 10 м/с².

Якщо статична деформація пружини становить 20 см, то період власних коливань точки дорівнює:

1) Т=1,55 с; 3) Т=0,438 с;

2) Т=0,888 с; 4) Т=0,333 с.

Розв’язання. При заданих параметрах що фігурують в умовах даного прикладу, період власних коливань точки слід розрахувати таким чином:

рад/с;

с.

Отже, правильною буде відповідь 3).