Метод линеаризации экспериментальных данных

Рассмотрим пример другой лабораторной работы по изучению зависимости сопротивления полупроводника от его температуры . Диапазон температур полупроводника не очень большой: от комнатной температуры 26°С до 200°С. Предположим, что экспериментальные даненые получены и занесены в таблицу 8.

Таблица 8. Зависимость температуры полупроводника от температуры.

t,°C
R, Ом

Обсудим еще раз выбор масштаба для представления этих данных в графическом виде (см. рис.30). Максимальная метка °С, соответствующая оси температур Х, очень неплохо укладывается на 40 клетках, что соответствует очень удобному разделению по 10 клеток на кажые 50°С. А сколько надо дополнительных рисок? В этом случае предлагаю расставить их через 2 клетки, что придаст простоту определения координаты, так как интервал между такими рисками будет соответствовать 10°С, что очень удобно.

А вот на оси Y я расставил риски через 5 клеток на кажые 500 Ом сопротивления, что привело к неполному использованию площади бумаги. Но, посудите сами, если разделить ось по 6 или 7 клеток, было бы неудобно находить координату, а если по 8 клеток, то максимальная риска, соответствующая 2000 Ом, не поместилась бы на оси.

Теперь надо обсудить вид теоретической кривой. Откроем методические указания по выполнению лабораторных работ [2] на странице 28 и найдем фомулу 3, описывающую зависимость сопротивления полупроводника от темепературы ,

где – ширина запрещенной зоны, – постоянная Больцмана, – некоторая константа, имеющая размерность сопротивления, и, наконец, температура , выраженная в Кельвинах. Начнем оформлять новую таблицу. Во-первых, температуру переведем в Кельвины. Во-вторых, поставим себе задачу не только нарисовать новый график , но и найти с помощью графика ширину запрещенной зоны. Для этого прологарифмируем экспоненциальную зависимость и получим

Обозначим , , и . Тогда получим линейную зависимость ,

которую мы и будем изображать на графике. Данные, соответствующие значениям и , запишем в таблицу 9.

Таблица 9. Пересчет данных таблицы 8.

номер точки
T, K
1/T, 10–3 K–1	3,34	3,19	3,00	2,83	2,68	2,54	2,42	2,31	2,21	2,11
lnR, Ом	7,62	7,51	7,25	7,06	6,99	6,74	6,61	6,56	6,36	6,34

Если по данным таблицы 9 построить график зависимости на рис.31, то все экспериментальные точки займут совсем немного места на листе при большом пустом пространстве. Почему так получилось? Потому что по осям Х и Y метки расставлены начиная от 0, хотя значения, например, начинаются только со значения . Обязательно ли делать начальную метку равную 0? Ответ на этот вопрос зависит от поставленных задач. В примере с маятником Обербека (см. рис.28) было очень важным найти пересечение оси Х теоретической прямой в точке с координатой Y=0, что соответствовало значению . А в этой задаче надо найти только ширину запрещенной зоны, которая связана с постоянной , соответствующая коэффициенту наклона прямой на рис.31, поэтому совсем не обязательно расставлять метки на осях, начиная с 0.

Изучая данные из табл.9 и подбирая удобный масштаб, можно с уверенностью сказать, что ориентацию миллиметровой бумаги нужно изменить, как показано на рис.32. Самостоятельно изучите выбранный масштаб и убедитесь в том, что он очень удобен для работы с графиком. На теоретической прямой (проведенной на глаз наилучшим способом между экспериментальными точками) поставим две точки А и В с координатами и . Коэффициент наклона выразим через координаты этих точек по формуле

.

И, наконец, вычисляем ширину запрещенной зоны

.

Методом парных точек рассчитаем этот же коэффициент и его погрешность , для этого рассмотрим пары точек из таблицы 9:

1–4, 2–5, 3–6, 4–7, 5–8, 6–9 и 7–10.

Рассчитаем для этих пар точек коэффициенты наклона прямых, которые проходят через них

Среднее значение

,

Теперь рассчитаем ширину запрещенной зоны и ее погрешность .

Таким образом мы пришли к ответу

эВ

Самостоятельная работа.

Предлагаю вам проделать самостоятельные рассчеты, построения и обработку графиков в следующей виртуальной лабораторной работе под кодовым названием "Определить жесткость пружины". Но поднимем планку Эксперимента на более высокий уровень: надо не просто получить число, но сравнить два метода измерения жесткости пружины – статический и динамический.

Кратко рассмотрим эти методы.

Статический метод.

Если подвесить к закрепленной вертикальной пружине груз массой , то пружина растянется на согласно закону Гука, где – длина растянутой пружины, а – длина нерастянутой пружины (начальная длина).

Примечание: закон Гука говорит о пропорциональности силы упругости пружины абсолютному удлинению , т.е. , где – коэффициент упругости (или жесткость) пружины.

В состоянии равновесия сила тяжести груза уравновесится силой упругости и мы можем написать . Раскроем скобки и увидим зависимость длины пружины от массы груза

Если сделать замену переменных , то получится уравнение прямой . Не надо делать линеаризацию!

Итак, перед вами стоит задача обработать данные из таблицы 10, которые были занесены туда юным Экспериментатором (ему надоело бросать кирпичи с крыши девятиэтажного дома). Для опытов он запасся набором грузов, нашел десяток-другой разных пружин и, подвешивая грузы разных масс, замерял длину растянутой пружины с помощью миллиметровой линейки.

Задание 1.

1. Выберите номер пружины из таблицы 10.

2. Составьте свою таблицу из двух столбцов. В первый столбец занесите силу тяжести , где – масса груза (в кг), м/с². Во второй столбец перенесите значения длин выбранной пружины (в метрах). Предусмотрите ячейки для средних значений и .

Таблица 10.

m, г	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см
	11,8	15,4	17,6	19,4	13,2	15,4	19,6	21,4	11,2
	12,3	16,5	18,3	21,5	14,3	16,5	21,3	22,4	11,7
	13,6	17,6	19,3	21,6	14,8	16,5	22,1	22,6	12,7
	14,1	18,2	21,5	22,1	15,6	17,3	21,5	23,7	13,1
	16,6	22,3	22,5	24,9	17,6	19,9	23,9	25,5	15,4
	21,6	25,6	27,4	29,5	21,4	23,8	27,7	29,9	18,3
	22,5	26,4	28,8	31,4	22,6	24,2	28,8	32,1	19,6
	23,3	27,9	29,4	31,7	23,8	25,6	29,5	31,7	22,1
	26,2	32,1	32,0	34,3	25,5	27,9	31,9	33,6	22,2
	27,8	31,4	33,7	35,3	27,6	29,1	33,2	35,3	23,1

Таблица 10 (продолжение)

m, г	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см	l, см
	15,1	17,1	19,3	11,4	15,3	19,0	10,8	15,2	19,1
	15,6	17,7	19,7	11,6	15,6	19,6	11,5	15,3	19,3
	16,7	18,5	21,2	12,0	16,1	20,4	12,3	16,3	20,2
	17,3	19,3	21,4	12,5	16,5	20,7	12,4	16,7	20,4
	19,4	21,1	23,5	14,9	18,9	22,4	14,2	18,0	21,8
	22,3	24,6	26,3	17,4	21,4	25,8	16,5	20,7	24,4
	23,5	25,6	27,0	18,2	22,3	26,1	17,2	21,6	25,7
	24,4	26,1	28,5	19,4	23,3	27,0	18,4	22,0	26,4
	26,4	28,5	31,1	20,3	24,5	28,6	19,3	23,5	27,3
	27,0	29,0	31,4	21,9	25,8	29,9	20,7	24,7	28,5

3. Возьмите лист миллиметровой бумаги, нанесите на ней оси координат. В соответствии с данными выберите оптимальный масштаб и постройте график зависимости силы тяжести от длины пружины , откладывая значения вдоль оси Х, а величины вдоль оси Y.

4. Составьте 7 пар точек: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Методом парных точек рассчитайте 7 коэффициентов наклона по формуле

, , ... и т.д.

где , а .

5. Найдите среднее значение , что соответствует среднему значению коэффициента упругости пружины .

6. Найдите среднеквадратичное отклонение , доверительный интервал , (т.к. получено 7 значений ). Представьте результат в виде

Дополнительное задание (необязательное)

7. Рассчитайте начальную длину пружины. Для этого получите выражение для коэффициента из уравнения равновесия и подставьте в него средние значения

8. Рассчитайте доверительный интервал для коэффициента

9. Учитывая, что , рассчитайте начальную длину пружины и доверительный интервал для нее

,

Динамический метод

Подвесим груз массы к закрепленной вертикальной пружине жесткости и толкнем его легонько вниз. Начнутся гармонические колебания, период которых равен (см. [2], стр 76). Выразим массу груза через период колебаний

,

что соответствует линейной зависимости , где ; ; .

На этот раз перед вами стоит задача обработать данные из таблицы 11, любезно предоставленные Экспериментатором, которому очень понравилось работать с секундомером , научившим ценить сотые доли секунды. Но из всего набора пружин им были выбраны всего 5, потому что длительность выполнения второго эксперимента стала намного больше, так как приходилось измерять время 10 колебаний для каждого груза.

Таблица 11.

номер пружины	1,2,3,4	5,6,7,8	9,10,11,12	13,14,15	16,17,18
m, г	T, с	T, с	T, с	T, с	T, с
	0,25	0,23	0,23	0,22	0,19
	0,31	0,27	0,26	0,26	0,25
	0,35	0,33	0,32	0,28	0,27
	0,41	0,38	0,36	0,34	0,32
	0,52	0,45	0,45	0,44	0,42
	0,67	0,62	0,56	0,53	0,51
	0,72	0,64	0,61	0,58	0,54
	0,74	0,66	0,63	0,62	0,57
	0,82	0,75	0,69	0,64	0,61
	0,84	0,77	0,75	0,69	0,66

Задание 2

1. Выберите свой номер пружины, для которой вы выполняли первое задание.

2. Составьте свою таблицу из двух столбцов. В первый столбец занесите массу груза (в кг), во второй столбец – квадрат периода (в с²). Предусмотрите ячейки для средних значений и .

3. Возьмите лист миллиметровой бумаги, нанесите на ней оси координат. В соответствии с данными выберите оптимальный масштаб и постройте график зависимости массы груза от квадрата периода , откладывая значения вдоль оси Х, а величины вдоль оси Y.

4. Составьте 7 пар точек: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Методом парных точек рассчитайте 7 коэффициентов наклона по формуле

, , ... и т.д.

где ; .

5. Найдите среднее значение , и соответствующее значение коэффициента упругости пружины .

6. Найдите среднеквадратичное отклонение , доверительный интервал , и . Представьте результат в виде .

7. Сравните результаты рассчетов в первом и втором задании. Если разница между коэффициентами упругости, полученных разными методами, будет меньше суммарной ошибки , то можно с уверенностью утверждать, что два метода эквивалентны и дают одинаковый результат в пределах ошибки измерений. Но если , то это может означать, что или были взяты разные пружины или методы дают существенно разный результат из-за неучтенных ошибок.