Взаимосвязь массы и энергии

28.01.2015

Урок 38 (10 класс)

Тема. Решение задач

ОСНОВЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКИ (повторение)

Теория относительности (релятивистская механика) описывает движение объектов, скорость которых близка к скорости света м/с в вакууме. Она основывается на двух принципах, сформулированных А. Эйнштейном.

1-й принцип (принцип относительности): все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета.

2-й принцип (постоянство скорости света): скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения источника или приемника света.

Следствия теории относительности:

Релятивистский закон сложения скоростей.

Рассмотрим систему отсчета , относительно которой система движется со скоростью, проекция которой на ось равна (рис. 9). Тело движется в системе со скоростью . Тогда скорость этого же тела в системе равна

,

в отличие от классического соотношения .

Одновременность событий в разных системах отсчета.

Два события, происходящие в различных точках пространства и одновременные с точки зрения наблюдателя, находящегося в одной системе отсчета, не являются одновременными для наблюдателя в другой системе отсчета.

Замедление времени.

Пусть - длительность события в точке, неподвижной относительно системы отсчета x,y (время называют « собственным временем»). Обозначим через длительность этого же события в системе x’y’, относительно которой система x,y движется со скоростью . Интервалы времени и связаны соотношением

, (74)

где . Всегда параметр и , т.е. длительность события, происходящего в определенной точке, является наименьшей в системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна.

Сокращение длины.

Обозначим через длину тела в системе отсчета, относительно которой тело покоится, а через - длину в системе, относительно которой оно движется со скоростью . Тогда

. (75)

< , т.е. длина тела наибольшая в системе отсчета, относительно которой тело неподвижно. Сокращение длины происходит только в направлении движения тела, поперечные движению размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

5. Зависимость массытела от скорости его движения.

, (76)

-масса покоя тела, т.е. масса в системе отсчета, относительно которой тело покоится.

6. Импульсчастицы.

Импульс релятивистской частицы

.

Взаимосвязь массы и энергии.

Энергия тела (без учета потенциальной энергии во внешнем силовом поле) связана с его массой

, (77)

- скорость света в вакууме.

Энергия покоя тела

,

- масса покоящегося тела.

Кинетическая энергия релятивистской частицы

.

8. Связь между энергиейи импульсомчастицы.

Примеры решения задач:

Задача 1. Стержень движется в продольном направлении с постоянной скоростью v относительно инерциальной K-системы отсчета. При каком значении v длина стерж- ня в этой системе отсчета будет на η = 0,5% меньше его собственной длины? Решение задачи:

Задача 2. Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета его скорость v = с/2, длина l = 1,00 м и угол между ним и направлением движения ϑ = 45°. Решение задачи:

Re: Задача по релятивистской механике 10.05.2010, 22:31

Задача 3. С какой скоростью двигались в K-системе отсчета часы, если за время t = 5,0 с (в K-системе) они отстали от часов этой системы на Δt = 0,10 с? Решение задачи: кламу Задача 4.Пучок релятивистских частиц с кинетической энергией T падает на поглощающую мишень. Сила тока в пучке I, заряд и масса покоя каждой частицы e и m0. Найти силу давления пучка на мишень и выделяющуюся в ней мощность. Решение задачи:

Задача 6

В К-системе отсчета мю-мезон, движущийся со скоростью v = 0,990 c, пролетел от места своего рождения до точки распада расстояние l = 3,0 км. Определить: а) собственное время жизни этого мезона; б) расстояние, которо пролетел мезон в К-системе с "его точки зрения".

Решение задачи:

NoliX в сообщении #317076 писал(а): да, я тут немного продвинулся Да, пока немного. Импульс - вектор. Закон сохранения импульса о чем говорит? И рисунок нарисуйте (по-моему, пора на уровне Конституции обязать изучающих физику и математику начинать решение задач с рисунка ). И забудьте про "закон сохранения массы" - такого закона нет. Вам необходимы: 1) закон сохранения энергии; 2) закон сохранения импульса; 3) соотношение между энергией , импульсом и массой , которое Вы уже написали; 4) теорема косинусов (это что-то из школьной геометрии...); 5) возможно, еще какая-то формула для нахождения скорости частицы. Кстати, для упрощения формул и выкладок пользуйтесь системой единиц, в которой , тогда упомянутая формула выглядит так: , а скорость получится в долях от . Но использование этой системы единиц, разумеется, необязательно.

Задача 7. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы Δt₀ = 10 нс. Найти путь, который пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее время жизни Δt = 20 нс. Решение задачи: Задача 8. Стержень движется вдоль линейки с некоторой постоянной скоростью. Если зафиксировать положение обоих концов данного стержня одновременно в системе отсчета, связанной с линейкой, то разность отсчетов по линейке Δx₁ = 4,0 м. Если же положение обоих концов зафиксировать одновременно в системе отсчета, связанной со стержнем, то разность отсчетов по этой же линейке Δx₂ = 9,0 м. Найти собственную длину стержня и его скорость относительно линейки. Решение задачи: Задача 9. Найти зависимость импульса от кинетической энергии частицы с массой покоя m₀. Вычислить импульс протона с кинетической энергией 500 МэВ.  

Задача 10.Какова должна быть кинетическая энергия протона, налетающего на дру-

гой, покоящийся протон, чтобы их суммарная кинетическая энергия в системе

центра инерции была такая же, как у двух протонов, движущихся навстречу друг

другу с кинетическими энергиями T = 25,0 ГэВ?

 

Задача 11. Плотность покоящегося тела равна ρ0. Найти скорость системы отсчета относительно данного тела, в которой его плотность будет на η = 25% больше ρ0. Решение задачи: Задача 12.Частица с массой покоя m0 и кинетической энергией T налетает на поко-ящуюся частицу с той же массой покоя. Найти массу покоя и скорость составной частицы, образовавшейся в результате соударения. Решение задачи:

Задача 13.Частица с массой покоя m0 в момент t = 0 начинает двигаться под дейст- вием постоянной силы F. Найти зависимость от времени t скорости частицы и пройденного ею пути.

Решение задачи:

екламу

Задача 14. Релятивистская частица с кинетической энергией T=т0c2 (m0 — масса покоя частицы) испытывает неупругое столк­новение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую массу т движущейся частицы; 2) релятивистскую массу т' и массу покоя m0' составной частицы; 3) ее кинетическую энергию Т'. Решение задачи:1. Релятивистскую массу m движущейся частицы до столкновения найдем из выражения для кинетической энергии релятивистской частицы . Так как , то m= =2т0. 2. Для того чтобы найти релятивистскую массу составной части­цы, воспользуемся тем, что суммарная релятивистская масса частиц сохраняется *: m+m0=m', где т+т0 — суммарная релятивистская масса частиц до столкновения; т' — релятивистская масса состав­ной частицы. Так как т—2т0 , то Массу покоя m0' составной частицы найдем из соотношения (1) Скорость υ' составной частицы (она совпадает со скоростью Vcцентра масс в лабораторной системе отсчета) можно найти из закона сохранения импульса р=р', где р— импульс релятивистской частицы до столкновения; р' — импульс составной релятивистской частицы. Выразим р через кинетическую энергию Т: Векторные диаграммы для представления гармонических колебаний. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Энергия колебательного движения. Так как , то Релятивистский импульс . Учитывая, что , закон сохранения импульса можно записать в виде , откуда Подставив выражения υ' и т' в формулу (I), найдем массу покоя составной частицы: , или 3. Кинетическую энергию Т' составной релятивистской частицы найдем как разность полной энергии т'с2и энергии покоя т0'с2 составной частицы: Подставив выражения т' и m0', получим Задача 15.Стержень движется вдоль линейки с некоторой постоянной скоростью. Если зафиксировать положение обоих концов данного стержня одновременно в сис- теме отсчета, связанной с линейкой, то разность отсчетов по линейке Δx1 = 4,0 м. Если же положение обоих концов зафиксировать одновременно в системе отсчета, связанной со стержнем, то разность отсчетов по этой же линейке Δx2 = 9,0 м. Найти собственную длину стержня и его скорость относительно линейки. екламу Решение задачи: Задача 16.Стержень движется вдоль линейки с некоторой постоянной скоростью. Если зафиксировать положение обоих концов данного стержня одновременно в сис- теме отсчета, связанной с линейкой, то разность отсчетов по линейке Δx1 = 4,0 м. Если же положение обоих концов зафиксировать одновременно в системе отсчета, связанной со стержнем, то разность отсчетов по этой же линейке Δx2 = 9,0 м. Найти собственную длину стержня и его скорость относительно линейки. екламу Решение задачи: екламу

Задача 18.Стержень АВ ориентирован параллельно оси х' К'-системы отсчета и дви-жется в этой системе со скоростью v' вдоль ее оси у'. К'-система в свою очередь дви-жется со скоростью V относительно К-системы. Найти угол ϑ между стержнем и осью x в К-системе.

екламу

Решение задачи:

Задача 19. К'-система перемещается с постоянной скоростью V относительно К-системы. Найти ускорение w' частицы в К'-системе, если в К-системе она движется со скоростью v и ускорением w по прямой: а) в направлении вектора V; б) перпендикулярно к вектору V. Решение задачи:

екламу

Задача 20. Частица движется в К-системе со скоростью v под углом ϑ к оси x. Найти соответствующий угол в К'-системе, перемещающейся со скоростью V относитель- но К-системы в положительном направлении ее оси x, если оси x и x' обеих систем совпадают.

екламу

Решение задачи:

Задача № 21.Две релятивистские частицы движутся под прямым углом друг к другу в лабораторной системе отсчета, причем одна со скоростью v1, а другая со скоростью v2. Найти: а) скорость сближения частиц в лабораторной системе отсчета; б) их относительную скорость. Решение задачи:

Задача 22.Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями v1 = 0,50с и v2 = 0,75с по отношению к лабораторной системе отсчета. Найти: а) скорость сближения частиц в лабораторной системе отсчета; б) их относительную скорость. Решение задачи:

Задача 23.В двух точках К-системы отсчета произошли события, разделенные промежутком времени Δt. Показать, что если эти события причинно связаны в К- системе (например, выстрел и попадание пули в мишень), то они причинно связаны и в любой другой инерциальной К'-системе отсчета. Решение задачи:

Задача 24.Стержень А'В' движется с постоянной скоростью v относительно стерж- ня АВ. Оба стержня имеют одинаковую собственную длину l0 и на концах каждого из них установлены синхронизированные между собой часы: А с В и А' с В'. Пусть момент, когда часы В' поравнялись с часами А, взят за начало отсчета времени в системах отсчета, связанных с каждым из стержней. Определить: а) показания часов В и В' в момент, когда они окажутся напротив друг друга; б) то же для часов А и А'. Решение задачи.

аму

ТЕСТ

I. Укажите, при каких условиях законы СТО переходят в законы классической механики :

А) при V<< C, Б) при V=C, B) при V <C, Г) при V >C , Д) при V >> C, Е) никогда не переходят.

II. Укажите, какие из приведенных ниже утверждений являются постулатами частной теории относительности: 1) законы природы имеют одинаковую математическую форму в любой ИСО; 2) скорость света в вакууме одинакова для всех ИСО; 3) все законы природы имеют разную математическую форму в разных ИСО; 4) скорость света зависит от выбора СО.

А) Только 1; Б) только 2; В) только 3; Г) 1 и 2 ; Д) 3 и 4 .

III. Кто утверждал, что все ИСО равноправны, и во всех ИСО не только механические, но и все другие физические законы имеют одинаковую форму?

А) Г.Галилей; Б) И.Ньютон; В) А.Эйнштейн.

IY. Укажите правильное утверждение:

А) прицип относительности в классической физике распостраняется на все законы природы, а в релятивистской - только на законы механики;

Б) принцип относительности в одинаковой степени распостраняется как на релятивистскую, так и на классическую физику;

В) релятивистский принцип относительности распространяется на все законы природы, а классический принцип относительности распространяется только на законы механики.

Y. Укажите правильное утверждение:

А) в классической физике скорость взаимодействия тел конечна и равна скорости света в вакууме, в релятивистской физике скорость взаимодействия мгновенная;

Б) в классической физике скорость взаимодействия тел считается мгновенной, в релятивистской физике существует максимальная конечная скорость взаимодействия - скорость света в вакууме.

YI. Некоторая звезда удаляется от Земли со скоростью V, свет, испущенный этой звездой, приходит на Землю со скоростью:

А) С ; Б) С-V ; B) C+V.

YII. Два автомобиля движутся навстречу друг другу. Скорость каждого относительно земли равна V.Чему равна скорость света фар первого автомобиля в системе отсчёта,связанной со вторым автомобилем? Скорость света в системе отсчёта , связанной с Землёй, равна С.

А) С; Б ) С+ V ; В ) С + 2 V ; Г ) С - V ; Д ) С - 2 V ;

Проверка, обсуждение результатов тестирования , правильности выбраных ответов .

(Ответы : А, Г , В , В , Б , А , А.)

Домашнее задание:

1. Е.В. Коршак, А.И. Ляшенко, В.Ф. Савченко. Физика. 10 класс, «Генеза», 2010. Повторить §36-38 (с.124-131).

2. Учить лекционный материал.

3. Выполнить тестовое задание.

4. Разобрать решение задач. В рабочую тетрадь переписать пять задач с решением. Задачи № 13, № 19 повышенной сложности, их можно не переписывать.