Бор бойынша сутегі атомының спектрі

Стационарлық орбитамен шектелген сутегітектес жүйедегі электронның қозғалысын қарастырайық. Ньютонның екінші заңы
(басқа түрі: ) және импульс моментінің кванттау шарты: , – электронның стационарлық орбитасының –ші радиусын алуға мүмкіндік береді:

(n=1, 2, 3,…)

Сутегі (Z=1) үшін электронның бірінші орбитасы (бірінші Бор орбитасы):

Сутегітектес жүйедегі электронның толық энергиясы кинетикалық және потенциалдық энергиядан тұрады:

кванттау орбитасын пайдаланып төмендегіні аламыз:

(n=1, 2, 3,…),

Атомның энергетикалық деңгейін анықтайтын n саны бас кванттық сан деп аталады. n=1 энергетикалық деңгей негізгі (қалыпты) деңгей деп, соған сәйкес атом күйі негізгі (қалыпты) күй деп аталады. n>1 энергетикалық деңгей күйі қозған күй деп аталады.

–ге бүтін сан бере отырып сутегі атомы үшін суреттегідей энергетикалық деңгей аламыз. Сутегі атомының минималь энергиясы Е₁=-13,55 эВ. n=∞ кездегі максималь энергия Е_∞=0, атомның иондалу энергиясы (Е=Е_∞ кезде атомнан электрон ұшып шығады)деп аталады. n стационарлық күйден m стационарлық күйге өткенде квант ұшып шығады:

hν Е_n– Е_m мұндағы R=

R–дің теориялық мәні, тәжірибеде дәлелденген Ридберг тұрақтысымен дәл келеді.

Бор теориясы атомдық физикада, атомдық және молекулалық спектроскопияны дамытуда үлкен роль атқарды, бірақ оның кемшілігі – классикалық және кванттық физика заңдарын қолданғанымен көпэлектронды атом спектрін түсіндіре алмады (ең қарапайым ядросы екі электроннан тұратын гелий атомы).

6. Заттың корпускулалық–толқындық екіжақтылық қасиеті

Кванттық механика Луи де Бройль болжамы негізінде, бөлшек бір уақытта бөлшектік (корпускулалық) және толқындық (жарық табиғатының корпускулалық–толқындық екіжақтылық қасиеті) қасиетке ие, сонымен электрондарда басқа бөлшектерде корпускулалық пен қатар толқындық қасиетке де ие.

Әрбір заттың корпускулалық сипаттамасы –энергия Е және импульс р, және толқындық сипаттамасы– жиілік ν және толқын ұзындығы λ.

Бөлшектің корпускулалық және толқындық сипаттамалар арасындағы қатынастар фотонсияқты бөлшектер үшін: Е hν ħω және р=h/λ.

Сонымен, импульсқа ие кез келген бөлшекке (соның ішінде фотоннан басқа тыныштық массасына ие бөлшек) де Бройль формуласымен анықталатын толқындық процесс беріледі:

де Бройль гипотезасы дифракциялық торда электрондар дифракциясын бақылау тәжірибесі арқылы дәлелденген. Электрондар шоғы кристалдан өткенде дифракция құбылысы байқалады.

Бөлшектің толық энергиясы де Бройльдың толқын жиілігімен анықталады:

Е hν

Сонымен, корпускулалық–толқындық екіжақтылық – материяның универсал қасиеті. Бұл қасиет микробөлшектер үшін орындалады. Макроскопиялық денелер үшін де Бройль толқын ұзындығы өте аз және толқындық эффектілерді ескермеуге болады (Мысалы, массасы 1г, жылдамдығы 1м/с қозғалатын бөлшекке сәйкес де Бройль толқын ұзындығы λ=6,62∙10^-31 м).

7. де Бройль толқын ұзындығының бірнеше қасиеттері

массалы, υ жылдамдықпен еркін қозғалып жүрген бөлшекті қарастырайық.

де Бройль толқынының фазалық жылдамдығы:

сонымен, де Бройль толқынының фазалық жылдамдығы вакуумдағы жарық жылдамдығынанда үлкен (с>υ).

Е ħω, р= ħk қатынастары алынған, -толқындық сан.

де Бройль толқынының топтық жылдамдығы:

еркін бөлшек үшін , сондықтан

=

де Бройль толқынының топтық жылдамдығы бөлшектің жылдамдығына тең. Басқаша айтқанда, де Бройль толқыны бөлшекпен бірге орын ауыстырады.

Фотон үшін:

және

8. Анықталмағандық қатынасы.

Микробөлшектердің толқындық және корпускулалық екі жақты табиғатын анықтаудың тағы ерекше бір түрі бар. Классикалық теория негізінен бөлшектің қасиеті - микробөлшектің координатасын және импульсін бір мезгілде дәл анықтауға болмайды.

Классикалық механикада қозғалатын кез келген материалдық нүктенің белгілі бір траекториясы болады және кез келген уақытта оның координаты мен импульсін анықтауға болады. Ал микробөлшектердің негізгі айырмашылығы олардың траекториясы болмайды, сондықтан да бір мезгілде координатасы мен импульсін дәл анықтауға мүмкіндік жоқ. Макроскопиялық денелер үшін де Бройль толқын ұзындығы жоқ деуге болады, сондықтан олар қозғалыс траекториясын пайдалануға мәжбүр. Жалпы алғанда микробөлшектердің бұл қасиеті Гейзенбергтің анықталмағандық қатынасы деп аталады.

Микробөлшек бір уақытта координатаға да (x, y, z) және соған сәйкес импульс проекциясынада (p_x, p_y, p_z) ие бола алмайды, бұл шамалар анықталмағандық қатынасымен жазылады:

∆x∆ p_x≥h, ∆y∆ p_y≥h, ∆z∆ p_z≥h

яғни, координатамен соған сәйкес импульстің көбейтіндісі h мәнінен кіші болуы мүмкін емес.

Анықталмағандық қатынасы бөлшектердің дифракциясымен беріледі. Бөлшектер шоғы р импульспен, У осімен бағытталсын делік. Бөлшектің саңылаудан өткенге дейінгі импульсі p_x=0, олай болса ∆p_x=0, ал х координата анықталмаған. Бөлшектің саңылаудан өту мезетіндегі анықталмаған бөлшектің х координатасы саңылаудың ∆x еніне тең болады. Бөлшектің дифракциясы 2φ бұрыш аралығында қозғалады, мұнда φ-бірінші дифракциялық минимумға сәйкес бұрыш. Осылайша х осімен бағытталған анықталмағандық мәні: . Басқа жағынан, ∆x –бірінші дифракциялық минимум шарты. Сәйкесінше ∆x∆p_x=h. Бөлшектер бірінші дифракциялық максимумға түскеніне қарай мына өрнекті аламыз ∆x∆ p_x≥h, яғни анықталмағандық қатынасы.

Анықталмағандық қатынасы - классикалық механиканы микробөлшектерге қолданудың кванттық шегі.

Микробөлшектер үшін күй деген ұғым жоқ, кейбір оның координаттарымен, оған сәйкес импульс проекциялары бір уақыттағы дәл мәндер.

∆t уақыт аралығындағы жүйе күйінің ∆E энергиясын анықтау үшінде анықталмағандық қатынастары орындалады:

∆E∆t≥h

Сонда белгілі бір жүйенің орташа өмір сүру уақыты болса, онда оны сипаттайтын энергияны дәл өлшеу мүмкін емес. Энергия шашырауы ∆E=h/∆t, жүйенің орташа өмір сүру уақыты кемігенде өседі және сәулеленген фотонның жиілігіде анықталмағандыққа ие ∆ν=∆E/h, яғни спектрлік сызықтардың шектік ені болу керек: δν=ν±∆E/h.

9. Толқындық функция және оның қасиеті

Берілген нүктедегі де Бройль толқынының интенсивтілігі, кеңістіктегі сол нүктеге түскен бөлшектер санымен байланысты. Сондықтан микробөлшектің толқындық қасиеті, оларды сипаттау үшін статистикаға (ықтималдыққа) өту қажет.

Кванттық жүйелерді сипаттау үшін толқындық функция Ψ (x, y, z, t) (немесе пси-функция) енгізіледі. Ол бөлшектің dV элемент көлемінде болу dw ықтималдығы деп анықтайды.

Ψ функцияның физикалық мағынасы жоқ, ал оның * модулінің квадратының (мұнда, Ψ*-Ψ функциясының кешенді түйіндесі) мағынасы де Бройль толқынының интенсивтілігімен беріледі. шамасы р_w ықтималдық тығыздығының болса, ал Ψ толқындық функция ықтималдық амплитудасы.

Кеңістіктің белгілі бір нүктесіндегі шын мәнінде бөлшектің болуы толқындық функцияның нормалау шартына сәйкес бірге тең болу керек:

Элементтің көлемінде микробөлшектердің болу ықтималдығын толқындық функция сипаттайды:

1) Шегі (ықтималдық бірден үлкен болуы мүмкін емес),

2) Бірмәнді (ықтималдық бірмәнсіз шама болуы мүмкін емес),

3) Үзіліссіз (ықтималдық өзгеруі мүмкін емес).

Толқындық функция микроденелерді сипаттайтын физикалық шамалардың орташа мәндерін есептеуге мүмкіндік береді. Мысалы, орташа арақашықтықты:

Толқындық функция суперпозиция принципін қанағаттандырады: егер жүйе толқындық функциямен Ψ₁, Ψ₂,..., Ψ_n..., өрнектелетін әртүрлі күйлерде болса, сонымен қатар осы функцияның сызықтық комбинациясымен (мұнда С_n (n=1,2...)-комплексті сандар) өрнектелетін күйлерде болса да.

Толқындық функцияның модулімен анықталатын ықтималдық емес, толқындық функциялардың қосындысының (ықтималдық амплитудасы) кванттық теориясы, ықтималдықтарды қосу теоремесынан тәуелсіз жүйелер үшін, классикалық статистикалық теориядан ерекшеленеді.

10. Шредингердің жалпы теңдеуі.

Релятивистік емес кванттық механиканың негізгі теңдеуі

мұндағы бөлшек массасы; Лаплас операторы; ең кіші бірлік; бөлшек қозғалып жүрген өрістегі потенциальдық функция; бөлшектің ізделінетін толқындық функциясы.

Теңдеудің толқындық функция сияқты шарртары бар: (1) толқындық функция шекті, бірмәнді және үзіліссіз болу керек; (2) туындысы үзіліссіз болу керек; (3) функция интегралдануы керек; бұл шарттар қарапайым жағдайда ықтималдықтың нормалау шартына келеді.

11. Стационарлық күйлер үшін Шредингер теңдеуі

Шредингердің жалпы теңдеуінің маңызды бөлігі болып, стационарлық күйлер үшін Шредингер теңдеуі болып табылады. Ψ уақыттан тәуелсіз, сондықтан бұл күйлердің энергиясының мәні орнықты (уақыт бойынша өзгермейді) болып табылады.

Күш өрісінде қозғалып жүрген бөлшек стационар, яғни функциясы уақытқа тәуелсіз және потенциалдық энергияға ие. Теңдеудің шешуі екі функцияның көбейтіндісі тек қана координата және уақыт: , мұнда Е бөлшектің толық энергиясы. Шредингер теңдеуі:

Теңдеуді ықшамдағаннан кейін:

немесе =0

Стационарлық күйлер үшін Шредингер теңдеуі. Физикалық мағынасы реттелген толқындық функция болып табылады бірінші ретті туындысымен бірге шекті, бірмәнді және үзіліссіз. Энергияның осындай мәндері меншікті деп аталады. Меншікті энергияның мәндеріне сәйкес меншікті функция болады. Е энергияның меншікті мәндері дискретті және үзіліссіз болады. Бірінші жағдайда үзіліссіз (немесе тұтас), ал екінші жағдайда дискретті спектрлерде айтылады.

12. Еркін бөлшектің қозғалысы

Еркін бөлшек үшін (ол х осі бойымен бағытталсын).

Шредингер теңдеуінің шешімі:

Осы теңдеудің шешуі мынадай:

мұнда A=cons, , толқындық сан, кез келген оң санды қабылдайды. энергияның үзіліссіз спектрі.

Осылайша, еркін кванттық бөлшек де Бройльдың тұтас монохроматтық толқынымен сипатталады. Бұған кеңістіктің берілген нүктесінде бөлшектің уақыттан тәуелсіз болу ықтималдығы сәйкес келеді, яғни еркін бөлшектің кеңістікте болу жағдайы теңықтималды.

13. Шексіз ұзын қабырғалы, бірөлшемді тікбұрышты потенциальдық шұңқырдағы бөлшек.

Бір өлшемді потенциалдық шұңқырды қарастырайық:

мұнда шұңқырдың ені, ал энергия оның түбінен бастап есептелінеді.

Шұңқырмен шектелген стационарлық күйлер үшін Шредингер теңдеуі:

немесе мұнда

Бөлшек шұңқырға еніп кетпейді, өйткені шұңқыр сыртында толқындық функция нөлге тең, соған сәйкес үзіліссіз толқындық функция шұңқырдың шекарасында нөлге ұмтылуы керек:

Осы шекаралық шарттарды Шредингер теңдеуінің шешемі қанағаттандырады:

және кездегі . десек,

онда (n=1, 2, 3,...)- энергияның меншікті мәндері.

Сонымен бірге энергияның ең кіші мәні: .

Осылайша, шексіз ұзын потенциальдық шұңқырдағы бөлшектің энергиясы белгіл дискретті мәндерді қабылдайды, яғни квантталады.

энергияның квантты мәні энергия деңгейлері деп аталады, ал n саны бөлшектің энергетикалық деңгейлерін анықтайтын бас кванттық сан деп аталады.

Меншікті толқындық функциялар , нормалау шартымен , мына түрге келеді

(n=1, 2, 3,...)

Суретте бөлшектің шұңқыр қабырғаларынан әртүрлі арақашықтықтағы меншікті функция графигі және ықтималдық тығыздығы бейнеленген =

14. Бөлшектердің потенциальдық тосқауылдан өтуі. Туннельдік эффект.

Бөлшектің бірөлшемді қозғалысы үшін қарапайым тікбұрышты (биіктігі U және ені l) потенциальдық тосқауылды қарастырайық.

1, 2 және 3 облыстары үшін Шредингер теңдеуінің шешімі болып табылатын толқындық функция түрлері (кестені және суретті қараңыз).

1) 1 облыс толқындық функция, тосқауылдың ішінде және сыртында қозғалып жүрген екі жазық толқынның қосындысын береді.

2) 2 облыс Е<U кездегі: , мұнда

3) 3 облыс тосқауылдан (В₃=0) өтіп бара жатқан толқының түрі де Бройль толқынындай, бірақ амплитудасы аз толқын болады.

Мұнда ,

Сонымен, кванттық механика туннельдік эффект деп атау алған кванттық құбылыстар жаңаша сипаттама алды, нәтижесінде микробөлшек потенциальдық тосқауылдан өтіп кете алады.

Туннельдік эффектіні сипаттау үшін өтіп кеткен және өтпей қалған толқындардың модулінің квадратымен анықталатын потенциальдық шұңқырдың D мөлдірлік коэффициенті қолданылады. Тікбұрышты потенциальдық тосқауыл үшін

Кез келген формадағы потенциальдық тосқауыл үшін

Классикалық механика заңдарына сәйкес бөлшек потенциальдық тосқауылдан өтуі мүмкін емес, оны анықталмағандық қатынасымен түсіндіруге болады. бөлігіндегі импульстің анықталмағандығы . Осы шашылуларға сәйкес
кинетикалық энергияның импулсінің мәндері, толық энергиясы потенциальдық энергиядан көп болатындай етеді.

15. Кванттық механикадағы сызықтық гармоникалық осциллятор.

Сызықтық гармоникалық осциллятордеп квазисерпімді күштің әсерінен бірөлшемді қозғалыс жасайтын жүйені айтамыз. Мұндай жүйе көптеген классикалық есептер мен кванттық теорияның моделі ретінде қарастырылады. Серіппелі, физикалық және математикалық маятниктер классикалық гармоникалық маятниктің мысалдары болып табылады.

Гармоникалық осциллятордың потенциальдық энергиясы:

мұнда ω₀- осциллятордың меншікті жиілігі, -бөлшектің массасы.

Классикалық осциллятор үшін координаттары болатын потенциальдық шұңқыр ішінен бөлшек шыға алмайды. Кванттық осциллятортың стационарлық күйлері үшін Шредингер теңдеуі:

мұнда Е- осциллятордың толық энергиясы.

Осы теңдеу үшін меншікті энергия мәні:

Сонымен, кванттық осциллятордың энергиясының тек дискретті мәндерінің болатындығын көрсетеді, яғни квантталады. Энергия деңгейлері -ге тең бірдей арақашықтықта орналасқан.

Осы минимал энергияның шамасы, кванттық жүйеде тербелістің нөлдік энергиясы деп аталады. Тербелістің нөлдік энергиясының болуы – анықталмағандық принциптің салдары болып есептеледі.

Кез келген формалы шұңқырдың түбінде бөлшектің импульсы нөлге ұмтылғанымен бөлшектің болуы мүмкін емес. Ал координатасы шексіз болады, бұл дегеніміз бөлшектің потенциальдық шұңқырда болу шартына қайшы келеді.

Кванттық механикада сұрыптау ережесі деп кванттық сандардың өзгермейтіндігі айтылады.

Гармоникалық осциллятор үшін сұрыптау ережесін қанағаттандыратын көршілес деңгейлер арасындағы өтулер болуы мүмкін.

∆n=±1

Осыған сәйкес, гармоникалық осциллятордың энергиясы тек қана ħω порция түрінде өзереді және гармоникалық осциллятор энергияны квант түрінде шығарады және жұтады.

Кванттық осцилляторда кванттық-механикалық есептерді шешімі, ол облыс шекарасында бөлшектің болу нөлден үлкен ықтималдығын көрсетеді.

Суретте х≥ шекті мәні үшін, n=1 кездегі осцилляторда кванттық тығыздықтың болу ықтималдығы көрсетілген.

16. Кванттық механикадағы сутегі атомы.

Сутегітектес атомдар - бір ғана электроннан тұратын ең қарапайым атомдар. Атомдардың кванттық күйлерінің жүйесін қарастырайық. Сутегі тектес атомдар өрісі ол орталық өріске мысал. Мұндай өрісте үшін сфералық координаттар жүйесін қолданған дұрыс:r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">

заряды (сутегі үшін Z=1) бар электрон мен атомның кулондық әсерлесуінің потенциальдық энергиясы:

мұнда электрон мен атомның арақашықтығы. Шредингердің стационарлық теңдеуі:

Тек энергияның меншікті мәндерінде, яғни толқындық функцияның бірмәнді, шекті және үзіліссіз мәндерін қанағаттандыратын шешімі болады (энергияның теріс дискретті мәндерінде (энергияның квантталынуында)).

-нің мәні Бор атомы теориясынан алынған мәнге сәйкес.

Ең төменгі - деңгей негізгі, ал қалғандары –қозған деңгейлер.

Е<0 кездегі электронның қозғалысы –байланысты, Е>0 кезде –еркін (атом иондалады) электрон. n= кезде энергия .

Сутегі атомының иондалу энергиясы:

меншікті толқындық функция үш кванттық санмен анықталады: n бас, l орбиталь және m магниттік кванттық сан.

17. Кванттық сандар

- n бас кванттық сан атомдағы электронның энергетикалық деңгейін анықтайды: ,...

- l орбиталь кванттық сан n-ге берілген мәндерді қабылдайды:

l ,...,(n-1)

және атомдағы электронның импульс моментінің (механикалық орбиталь момент) шамасын анықтайды:

- m магниттік кванттық сан l-ге берілген мәндерді қабылдайды:m=±1, ±2,...,± l

және электронның импульс моментінің бағыттын анықтайды. Сонымен электрон импульсінің орбиталь моменті тек кеңістікте мынадай бағыттарды, векторының проекциясы L_lz сыртқы магнит өрісіне бағытталуы кезінде, ħ-тан еселі кванттық мәндерді (кеңістіктік квантталу) қабылдайды.

Олай болса, векторы кеңістікте 2l+1 бағыттарды қабылдайды. Суретте l=1 (а) және l=2 (б)электрондары үшін векторының мүмкін бағыттары көрсетілген.

Сонымен, магнит өрісінде n бас кванттық санды энергетикалық деңгейлер 2l+1 қосымша деңгейлерге жіктеледі, оны Зееман эффектісі деп атаймыз. Ал негізгі энергетикалық деңгелердің сыртқы электр өрісінде қосымша деңгейлерге жіктелуі Штарк эффектісі деп аталады.

Кванттық механикада толқындық функция квадратының модулі бірлік аудандағы электронның болу ықтималдығын анықтайды. Атомның әр бөлігінде электронның болу ықтималдығыда әртүрлі. Электрон өзі қозғалып жүрген ауданда электрондық бұлт түзеді, тығыздығы атомның әрбір нүктесінде электронның болу ықтималдығын сипаттайды.

n және l кванттық сандары кеңістікте электрондық бұлттың өлшемі мен формасын, ал m кванттық саны электрондық бұлттың бағытын көрсетеді. Атомдық физикада спектроскопияның аналогиясы бойынша электрон күйін сипаттайтын l=0 кванттық саны s-күй (бұл күйдегі электрон s- электрон деп аталады) деп, l=1- р-күй, l=2- d-күй деп, ал l=3- f-күй және т.б деп аталады.

Суретте s-,р-, d-, және f- электрондар үшін ықтималдық тығыздығының графикалық бейнесі (полярлық диаграмма)көрсетілген. Әрбір кеңістіктік квантталуға сәйкес, импульс моментінің проекциясының мәні (мысалы, l=2, m=2 үшін ±2ħ) кезіндегі Бор орбитасының бағыты болады.

18. Сұрыптау ережесі

Электрондар күйлер арасындағы өтулер мынадай жағдайларда мүмкін болады:

1) l орбиталь кванттық санның өзгеруі l шартын қанағаттандырады. l=±l

2) m магниттік кванттық санның өзгеруі Δm шартын қанағаттандырады. Δm=0, ±1

Мысалы, сутегі атомындағы өтулер nр→1s (n=2, 3,...) Лайман сериясын, ал nр→2s, ns→2р, nd→2р (n=3,4, ...) өтулер – Бальмер сериясын түзеді.

19. Электрон спині

Электрон кеңістіктегі электронның қозғалысына байланысты емес, меншікті импульс моментінің механикалық ажыратылмаушылығына ие –ол спин деп аталады.

Штерн және Герлах тәжірибесі былай жасалды, сутегі атомының шоғы өте күшті біртекті емес s-күйдегі магнит өрісінен өтуі кезінде спин пайда болды. Бұл күйде l=0, импульс моменті және магнит өрісі атом қозғалысына әсер етпеу керек. Бірақта, атомдар шоғы екі шоққа жіктелді, соған сәйкес орбиталь электрон қозғалысына қатыссыз механикалық моменттің кеңістіктік квантталуы пайда болды.

Электрон спині көп жағдайда электрон зырылдауық сияқты өз осінен айналып импульс моментін береді, бірақ мұндай модель абсордты нәтижеге әкеледі- электрон беттігіндегі сызықтық жылдамдық жарық жылдамдығын 200 есеге жоғарылатады. Сондықтан электрон спинін (және басқада микробөлшектердің) микробөлшектің ішкі кванттық қасиеті ретінде қарастыру керек, соған қарай бөлшектің массасы, заряды және спиніде болады.

спині механикалық момент сияқты заң байынша квантталады:

мұнда s-спиндік кванттық сан.

спинінің проекциясы былай квантталады векторы 2s+1 бағытты қабылдауы мүмкін. Штерн және Герлах тәжірибесі тек қана спиннің екі бағытын анықтады, 2s+1=2, мұнда s=1/2. =ħ , мұндағы - тек қана екі мәнді =±1/2 қабылдайтын магниттік спиндік кванттық сан.

Сонымен, электронның атомдағы күйі төрт кванттық сандар жиынымен анықталады:

n бас кванттық сан (n=1, 2, 3,...)

l орбиталь кванттық сан (l =0, 1, 2,..., n-1)

m магниттік квантық сан (m=-l,...,-1, 0, +1,..., +l)

магниттік спиндік кванттық сан ( .