Динаміка твердого тіла та системи тіл

Приклад 1.Вказати правильну відповідь.

Якщо на диск (рис.1) масою m = 10 кгірадіусом

мдіє момент сил опору Н·м, то обер-

тальний рух диска відбувається з таким кутовим при-

скоренням:

1) рад/с²; 2) рад/с²;

3) рад/с²; 4) рад/с².

Розв’язання.Щоб відповісти на питання прикладу, треба скористуватися основним рівнянням динаміки обертального руху тіла навколо нерухомої осі: . Тут – момент інерції тіла відносно осі обертання z, що спрямована в даному випадку перпендикулярно до площини малюнка і проходить через центр мас диска – точку С (центральна вісь); – кутове прискорення тіла, – сума моментів усіх сил, що діють на тіло, відносно осі обертання. Тоді кутове прискорення тіла визначається за формулою: .

До суми моментів усіх сил відносно осі обертання надходить лише момент сил опору, оскільки інші сили, що діють на тіло в процесі руху (сила ваги ,сили , – складові реакції нерухомого шарніра C), моменти відносно осі обертання не створюють, бо вони перетинають цю вісь (проходять через вісь); оскільки тіло обертається проти годинникової стрілки, то цей напрямок повороту будемо вважати додатним; тоді, враховуючи, що момент сил опору діє проти руху і за годинниковою стрілкою, отримаємо: .

Формула для обчислення – моменту інерції суцільного однорідного диска відносно центральної осі, має вигляд: , де m – маса диска, R – його радіус.

Підставимо дані в наведені формули і получимо чисельний результат:

Н·м; кг·м²;

рад/с².

Отже, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 2).

Приклад 2.Вказати правильну відповідь.

Якщо механічна система ( рис. 2 ) скла-дається із вантажів А масою m_А = 10 кг та D масою m_D = 4 кг і ступінчастого диску В з радіусом інерції м ( R_В = 0,5 м ; r_В = 0,2м ) і масою m_В = 5 кг, а швидкість тіла А становить V_A = 2 м /c, то кінетичний момент системи відносно осі z, що проходить перпен-дикулярно до площини диска через його центр мас С, дорівнює:

1) Н·c·м ; 2) Н·c·м ;

3) Н·c·м ; 4) Н·c·м .

Розв’язання.У даному прикладі розглядається рух механічної системи, що складається з трьох тіл А, В і D,які зв’язані між собою тросами ( в процесі переміщення системи троси не розтягуються). Треба визначити кінетичний момент цієї системи відносно осі z в тому її положенні, коли швидкість тіла А набуває значенняV_A = 2м /c.

Кінетичний момент системи відносно осі дорівнює алгебраїчній сумі кінетичних моментів відносно осі усіх тіл і точок системи і в даному випадку становить

,

де , , − кінетичні моменти відповідно тіл А, В і Dсистеми.

Тому при визначенні треба обчислювати кінетичний момент кожного тіла системи. Крім того, оскільки кінетичний момент залежить від швидкості, то швидкості усіх тіл системи необхідно виразити через задану швидкість V_A.

П р и м і т к а. Слід зауважити, що кінетичний момент точки (тіла) відносно осі, як і силовий момент відносно осі, характеризується числом і знаком. Оскільки правило знаків це умовне правило, то за додатний візьмемо тут напрямок дії моменту за годинниковою стрілкою, що відповідає напрямку обертання диска В (рис.2), а за від’ємний – проти годинникової стрілки

Тіло Арухається поступально в процесі переміщення системи, тому його можна розглядати як точку, кінетичний момент якої відносно осі обчислюється як момент відносно осі вектора кількості руху точки . Тобто кінетичний момент тіла А відносно осі обертання диска може бути представлений (рис. 3) формулою:

,

де h_А - плече вектора кількості руху відносно осі обертання z, яке у даному випадку дорівнює h_А = r_В = 0,2 м. Причому, спрямований цей момент вектора за годинниковою стрілкою (в додатному напрямку); тому після підстановки чисельних даних кінетичний момент тіла А набуває додатного значення і дорівнює: Н·c·м.

Тіло В(ступінчастий диск )виконує обертальний рух відносно вказаної осі z. Тому кінетичний момент цього тіла відносно осі дорівнює сумі моментів відносно осі векторів кількостей руху усіх точок тіла і може бути обчислений за формулою , де − момент інерції диска В відносно осі z, − його кутова швидкість.

Момент інерції ступінчастого диска відносно центральної осі відповідає формулі: , де − маса диска В, а − його радіус інерції відносно центральної осі. Після підстановки чисельних даних момент інерції диска набуває значення: кг·м².

Кутову швидкість треба виразити через задану швидкість V_A:

рад /c.

Оскільки моменти векторів кількостей руху точок тіла діють за напрямком обертання диска − за годинниковою стрілкою (в додатному напрямку), то кінетичний момент тіла Вбуде мати додатне значення і становить:

Н·c·м.

Тіло D системи, як і тіло А,рухається поступально, тому його кінетичний момент, як точки, обчислюється за аналогічною формулою , де h_D - плече вектора відносно осі обертання z, яке у даному випадку дорівнює h_D =R_В = 0,5 м.

Швидкість V_D тіла D треба виразити через задану швидкість V_A із спів-відношення .

Тоді м/с і кінетичний момент тіла D, що направлений за годинниковою стрілкою,буде мати додатне значення, яке становить: Н·c·м .

В результаті кінетичний момент системи буде дорівнювати:

Н·c·м.

Із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 2).

Приклад 3.Вказати правильну відповідь.

Якщо точка А масою m_А = 2 кг (рис. 3) рухається за законом м вздовж хорди ( м) однорідного диска В масою m_В = 10 кг і ра-діусом R = 0,6 м, який обертається навколо централь-ної осі z зі сталою кутовою швидкістю рад/c, то кінетичний момент системи відносно осі обертання у момент часу t₁ = 1 c дорівнює:

1) Н·c·м ; 2) Н·c·м ;

3) Н·c·м ; 4) Н·c·м .

Розв’язання.У даному прикладі розглядається рух механічної систе-ми, що складається із двох елементів: однорідного диска В та точки А. Щоб знайти кінетичний момент системи відносно осі обертання z, необхід-но спочатку визначити положення точки A на хорді в цей момент часу. Воно характеризується координатою , яка у вказаний момент t₁ = 1 c буде такою: м.

Відомо, що кінетичний момент системи відносно заданої осі дорівнює ал-гебраїчній сумі кінетичних моментів усіх тіл і точок системи відносно цієї ж осі; тоді в даному випадку він становить: , де і від- повідно кінетичні моменти точки A і тіла B системи.

Знайдемо чисельні значення вказаних кінетичних моментів у заданий мо-мент часу t₁ = 1 c.

Кінетичний момент точки A системи відносно осі z визначається як мо-мент відносно цієї осі вектора кількості руху точки . Оскільки рух точки A відносно Землі складний – він складається із відносного (відносно диска) і переносного (за рахунок обертання диска) рухів, то її абсолютна швид-кість відносно Землі дорівнює векторній сумі відносної і переносної швид-кості: . Тоді кінетичний момент точки A відносно осі (за теоремою Варіньона) може бути представлений як алгебраїчна сума моментів відносно осі векторів кількостей руху точки у її відносному і переносному русі: .

Відносну швидкість визначимо як першу похідну за часом від закону відносного руху точки м/с; переносну ж швидкість виразимо через кутову швидкість диска , де CA − радіус кругової траєкторії переносного руху точки A. Напрямки вказаних швидкостей тут будуть такими: вектор спрямований по дотичній до траєкторії від-носного руху точки, тобто вздовж хорди, у бік збільшення координати S; вектор спрямований по дотичній до кругової траєкторії переносного руху точки, тобто перпендикулярно до радіуса CA ( ) убік напрямку кутової швидкості .

Оскільки маса точки є скалярним множником у виразі вектора її кіль-кості руху, то вектори і спрямовані так само, як і вектори відповід-них швидкостей (рис. 4).

П р и м і т к а. Треба зауважити, що в тестових завданнях під час визна- чення знаків моментів векторів відносно осі z треба користуватися тради-ційним правилом знаків: якщо з додатного напрямку осі видно, що поворот вектора навколо осі відбувається проти годинникової стрілки, то знак мо-менту буде “плюс”, якщо ж за – то “мінус”.

У даному випадку вектор створює момент відносно осі обертання з плечем м і знаком “плюс”, а вектор − зі знаком “плюс” і плечем CA, яке знаходиться із прямокутного трикутника OCA (див. рис.4) за формулою:

м.

Тоді м і кінетичний момент точки A набуває значення:

Н·с·м.

Оскільки тіло B – диск – здійснює обертальний рух навколо центральної осі z , тому його кінетичний момент відносно цієї осі відповідає виразу , де − момент інерції диска B відносно осі обертання.

Момент інерції вказаного диска відносно центральної осі визначається за формулою і після підстановки в неї чисельних даних набуває такого значення: кг·м².

Тоді кінетичний момент диска становить Н·с·м.

В результаті кінетичний момент системи буде дорівнювати:

Н·с·м.

Отже, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).

Приклад 4.Вказати правильну відповідь.

Якщо механічна система ( рис. 6 ) складається із

вантажів А масою m_А = 10 кгта Dмасою m_D = 4 кг

і ступінчастого диску В з радіусом інерції ρ_В = 0,4 м

(R_В = 0,5 м ; r_В = 0,2 м)і масою m_В = 5 кг, ашвидкість

тіла А має значення V_A = 2 м /c,то кінетична енергія

системи дорівнює:

1) Дж;2) Дж;

3) Дж;4) Дж.

Розв’язання.У даному прикладі розглядається рух механічної системи, що складається із трьох тіл (тіла А, В і D),які зв’язані між собою тросами ( в процесі переміщення системи троси не розтягуються). Треба визначити кінетичну енергію цієї системи в тому її положенні, коли швидкість тіла А набуває значенняV_A =2м /c.

Кінетична енергія системи дорівнює арифметичній сумі кінетичних енергій усіх тіл і точок системи і в даному випадку становить

,

де , , − кінетичні енергії відповідно тіл А, В і Dсистеми.

Кінетична енергія тіла залежить не тільки від його швидкості і маси, але й від виду руху. Тому під час визначенні треба враховувати вид руху кожного тіла системи і, крім того, швидкості всіх тіл системи в даному прикладі слід виражати через задану швидкість V_A.

Тіло А рухається поступально в процесі переміщення системи, тому його

кінетична енергія обчислюється за формулою й у разі підстановки чисельних даних набуває значення Дж.

Тіло В (ступінчастий диск )здійснює обертальний рух навколо осі , що проходить перпендикулярно до площини малюнка через центр мас диска – точку С (центральна вісь); тому кінетична енергія диска обчислюється за формулою , де − момент інерції диска В відносно центральної осі, − його кутова швидкість.

Момент інерції ступінчастого диска відносно центральної осі обчислюється за формулою , де − маса диска В, а − його радіус інерції відносно центральної осі. У разі підстановки чисельних даних момент інерції диска набуває значення кг·м².

Кутову швидкість треба виразити через задану швидкість V_A:

рад/с.

Тоді кінетична енергія тіла В становить:

Дж.

Тіло D системи, як і тіло А,рухається поступально, тому його кінетична енергія обчислюється за аналогічною формулою .

Швидкість V_D тіла D треба виразити через задану швидкість V_A із спів-відношення .

Тоді м·с^-1 і кінетична енергія тіла D набуває значення: Дж.

У результаті кінетична енергія системи буде такою:

Дж.

Отже, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 2).

Приклад 5. Вказати правильну відповідь.

Якщо механічна система (рис. 6) складається із двох однорідних дисків А і В масою і радіусами м, то у випадку, коли швидкість центра мас тіла А дорівнює м/с, кінетична енергія системи набуває значення:

1) Дж; 2) Дж; 3) Дж; 4) Дж.

Розв’язання. У даному прикладі розглядається рух механічної системи , що складається із двох тіл – однорідних дисків A і B, які зв’язані між собою тросом (в процесі переміщення системи трос не розтягується). Треба визначити кінетичну енергію системи в тому її положенні, коли швидкість центра мас диска A дорівнює м/с.

П р и м і т к а.У прикладі, як випливає із рисунка, даск A котиться по нерухомій поверхні без проковзування в точці дотику до неї. Такий рух диска буде складним – плоскопаралельним – з миттєвим центром швидкостей в точці його дотику до нерухо-мої поверхні (рис. 7). Диск B при цьому здійснює обертальний рух навколо осі , що проходить через центр мас диска – точку O – перпендикулярно до його площини.

Кінетична енергія системи дорівнює арифметичній сумі кінетичних енер-гій усіх тіл і точок системи і в даному випадку становить , де і − відповідно кінетичні енергії тіл А і В системи.

Як і в попередньому прикладі, під час визначення слід враховувати вид руху кожного її тіла і, крім того, швидкості усіх тіл (точок) системи слід виразити тут через задану швидкість .

Вище вже відмічалося, що в процесі переміщення системи диск A здій-снює плоскопаралельний рух який є складним; він складається із поступаль-ного руху разом з центром мас диска (точкою С) і обертального навколо осі, що проходить через його центр мас (точку С). Тому кінетична енергія диска A дорівнює сумі кінетичної енергії поступального руху диска зі швидкістю центра мас і обертального руху диска з кутовою швидкістю навколо осі , що проходить через його центр мас перпендикулярно до площини диска. Тоді ця кінетична енергія буде обчислюватись за формулою:

.

Тут − момент інерції однорідного диска A відносно його центральної осі, що відповідає виразу і після підстановки чисельних даних набуває такого значення: кг·м² .

Кутову швидкість треба виразити через задану швидкість (рис. 7):

рад/с.

Тоді кінетична енергія тіла A становить:

Дж .

Кінетична енергія диска B у разі його обертального руху обчислюється за формулою , де – момент інерції диска B відносно цент-ральної осі , – його кутова швидкість.

Момент інерції однорідного диска B відносно центральної осі обчислю-ється за формулою і після підстановки чисельних даних набуває значення: кг·м² .

Кутову швидкість треба виразити через задану швидкість . Для цього зв’яжемо спочатку зі швидкістю точки D, що розташована на ободі диска B (рис. 7): . Далі врахуємо, що швидкість цієї точки дорівнює швидкості точки K на ободі диска A, оскільки ці диски з’єднані тросом, що не розтягується: . Тепер зв’яжемо швидкості точок К і С диска A через його миттєвий центр швидкостей – точку (рис. 7):

; звідси .

Тоді кутова швидкість диска B набуває значення

рад/с і кінетична енергія цього диска буде

такою: Дж .

В результаті кінетична енергія системи становить:

Дж .

Таким чином, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відпо-відь 2).

Приклад 6.Вказати правильну відповідь (прискорення вільного падіння g вважати рівним 10 м/с²).

Якщо маси тіл системи (рис. 8) та радіуси диска мають відповідно значення кг, кг, кг; м, м, а коефіцієнт тертя тіла становить , то сумарна робота зовнішніх сил, що діють на систему на переміщенні м, буде такою:

1) Н·м; 2) Н·м;

3) Н·м; 4) Н·м.

Розв’язання. У даному прикладі розглядається рух механічної системи, що складається із трьох тіл (тіла A, B і D), які зв’язані між собою тросами; в процесі переміщення системи троси не розтягуються. Треба визначити сумарну роботу зовнішніх сил, що діють на систему на заданому переміщенні м.

Щоб відповісти на питання прикладу, треба скористуватися загальною формулою для обчислення роботи сили, яка має вигляд

.

Тут F − модуль ( величина ) сили, S − переміщення точки прикладення сили, −кут між напрямком сили і напрямком переміщення. Із формули випливає, що знак роботи дає множник .Якщо кут гострий ( ),

то значення косинуса додатне і робота сили додатна ( + ); якщо кут тупий ( ),то значення косинуса від’ємне і робота сили від’ємна ( – ); якщо кут прямий ( ;сила перпендикулярна до переміщення ),то значення косинуса дорівнює нулю і робота сили дорівнює нулю.

До зовнішніх сил, що діють на систему в процесі руху, належать усі сили, що зображені на рис. 8: активні сили − сили ваги тіл , , ; реакції зовнішніх в’язей − складові реакції площини , ; складові реакції нерухомого шар-ніра , .

Однак треба зауважити, що не всі зовнішні сили виконують роботу. Так сили , , прикладені до точки , яка не переміщується в процесі руху системи, тому їх робота дорівнює нулю: , оскільки . Сила спрямованаперпендикулярно до напрямку переміщення тіла , тому робота її теж дорівнює нулю: , оскільки .

Із наведених сил тільки три сили будуть виконувати роботу: сили ваги тіл , і сила тертя, що прикладена до тіла − . Ці сили сталі за величиною і сталі за напрямком по відношенню до переміщень точок їх прикладення, а робота таких сил обчислюється за спрощеним правилом: робота сталої сили дорівнює добутку модуля сили на переміщення точки прикладення сили і на косинус кута між напрямком сили і напрямком переміщення.

Таким чином, у даному прикладі сума робіт зовнішніх сил буде склада-тися із трьох доданків: .

Сила прикладена до центра ваги тіла Аі виконує роботу на заданому переміщенні . Кут між напрямком сили і напрямком переміщення ста-новить 60º, оскільки сила ваги діє донизу по вертикалі, а переміщення точки прикладення сили відбувається вниз по площині, про що свідчить напрямок вектора швидкості на рис. 8. Тому робота сили обчислюється за форму-лою .

Оскільки в умові прикладу задаються маси тіл системи, то величину сили ваги треба виразити через масу тіла A і прискорення вільного падіння g,якеза умовою прикладу слід вважати рівним 10 м/с² ( ). Тоді робо-та сили становить:

Н·м.

Сила тертятеж прикладена до тіла і виконує роботу на заданому пере-міщенні . Ця сила завжди діє у бік, протилежний до переміщення, тобто створює з напрямком переміщення кут . Тому робота сили тертя об-числюється за формулою

.

Значення сили тертя відповідає виразу , де величину нормальної складової реакції площини треба визначити за формулою

H.

Тоді сила тертя буде дорівнювати H і її робота набуває значення Н·м.

Сила прикладена до центра ваги тіла і виконує роботу на пере-міщенні центра ваги цього тіла. Кут між напрямком сили і напрямком переміщення становить 180º, тому що сила ваги діє по вертикалі униз, а пере-міщення тіла відбувається по вертикалі вверх, про що свідчить напрямок вектора швидкості на рис. 8. Тому робота сили обчислюється за форму-

лою .

Переміщення треба виразити через переміщення , встановивши між ними кінематичний зв'язок, аналогічний зв’язку між швидкостями:

і .

Із останнього співвідношення випливає, що м і робота сили становить Н·м.

Тоді сума робіт зовнішніх сил набуває значення:

Н·м.

Таким чином, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).