Принцип стационарного действия Лагранжа

Варьирование по Лагранжу. Рассмотрим механическую систему, на которую наложены идеальные удерживающие голономные стационарные связи

, , . (1)

Будем считать, что на систему действуют только потенциальные силы. В этом случае полная энергия системы остается постоянной, и механическую систему называют консервативной. Используя уравнения связей (1), введем обобщенные координаты , , и движение механической системы будем определять движением изображающей точки в пространстве обобщенных координат. Полная энергия системы, выраженная в обобщенных координатах,

,

складывается из кинетической энергии и потенциальной энергии , и равенство

(2)

представляет первый интеграл системы уравнений динамики.

Таким образом, в этом случае действительное движение механической системы следует искать среди кинематически возможных движений системы, соответствующих переходу из состояния в состояние с одной и той же энергией. При этом время перемещения изображающей точки из состояния в состояние для разных кинематически возможных движений будет различным. Если фиксировать начальный момент времени , то время перехода системы в состояние будет переменным. Движения, удовлетворяющие этим условиям, являются кинематически возможными движениями по Лагранжу. Варьирование, соответствующее этим движениям, называется варьированием по Лагранжу, обозначается символом и удовлетворяет следующим условиям:

, , ,

.

Принцип Лагранжа. Для выделения действительного движения среди кинематически возможных движений по Лагранжу принимается функционал, содержащий под знаком интеграла удвоенную величину кинетической энергии

. (3)

Функционал называется действием по Лагранжу. Принцип стационарного действия Лагранжа формулируется следующим образом.

Из всех движений механической системы, допускаемых идеальными удерживающими голономными стационарными связями между двумя состояниями в потенциальном поле сил с одного и того же момента времени, действительным является то движение, в котором действие по Лагранжу принимает стационарное значение.

Аналитическое выражение принципа Лагранжа означает, что

. (4)

Условие стационарности действия по Лагранжу также можно получить непосредственно из уравнений Лагранжа

, . (5)

Для этого умножим обе части равенства (5) на соответствующие виртуальные перемещения по Лагранжу и просуммируем:

. (6)

Для анализа левой части равенства (6) необходимо определить значения виртуальных перемещений по Лагранжу и их производных . Пусть механическая система является системой с одной степенью свободы, динамика которой описывается одним уравнением . Решение этого уравнения зависит от начальных условий , и ему соответствует двухпараметрическое семейство линий. Зафиксируем начальное значение и, полагая , рассмотрим однопараметрическое семейство решений . Тогда изменение функции , связанное с изменением аргументов и , соответственно на и , складывается из двух составляющих:

.

Таким образом, полная вариация функции соответствует варьированию по Лагранжу и состоит из суммы изохронной вариации и вариации времени

. (7)

Операции варьирования и дифференцирования, а также операции варьирования и интегрирования для изохронной вариации коммутативны. Действительно, так как время фиксировано, то и

.

Аналогично, интегрируя по времени на отрезке , имеем:

.

Проверим, являются ли коммутативными соответствующие операции для виртуальных перемещений по Лагранжу. Дифференцируя равенство (7), получим:

. (8)

Варьирование по Лагранжу обобщенной скорости определяется выражением (7):

, (9)

и равенство (8) записывается в виде:

. (10)

Сравнение выражений (9),(10) показывает, что .

Вернемся к равенству

. (6)

Учитывая, что

,

,

равенство (6) можно представить в виде:

. (11)

Так как в рассматриваемом случае

, , ,

то равенство (11) приводится к виду:

. (12)

Перепишем последнее выражение, проведя интегрирование на отрезке с учетом равенств , :

,

что соответствует принципу Лагранжа:

.

Принцип Лагранжа может быть получен из принципа стационарного действия Гамильтона. Введем обозначения: ,

, ,

, .

Так как , , а в случае стационарных связей , то , следовательно, . Варьируя по Лагранжу последнее равенство, получим:

. (13)

Перепишем выражение (13), используя равенства , и :

. (14)

В случае стационарных связей можно записать цепочку равенств:

. (15)

Используя зависимость

,

выражение (15) можно переписать:

. (16)

Заметим, что в равенстве (16), но , а , так как все кинематически возможные движения по Лагранжу приходят в одну точку . Из равенства следует, что и

.

В итоге получаем:

. (17)

Используя (14), имеем равенство:

,

которое с учетом (17) приводится к виду

. (18)

Но на действительном движении, которое соответствует решению системы уравнений

, ,

вариация по Лагранжу оказывается равной нулю, то есть .