Магнітне поле, індукція магнітного поля

Поняття про магнетизм

Відкриття магнітних властивостей речовини відбулося, мабуть, кілька тисячоліть тому [1]. Найдавніші письмові відомості про магнетизм походять з Китаю. Зокрема, більше двох тисячоліть тому китайський історик Сума Таян зібрав досить надійні уривки старовинних літописів, у яких описувалися приклади застосування постійних магнітів у якості компасів. Цілком зрозуміло, звичайно, що саме явище магнетизму природних постійних магнітів було відомим людині задовго до винаходу компаса.

В античну епоху властивості магнітів були також добре відомі. У роботах старогрецьких і римських вчених йдеться про притягування та відштовхування природних магнітів і про намагнічування у присутності магніта залізних ошурок (наприклад, у роботі К. Лукреція “О природе вещей”, 1 ст. до н.е.).

В епоху середньовіччя в Європі широко використовувався компас, були спроби вивчення взаємодії магнітів різної форми.

Результати дослідів магнетизму в епоху Відродження були узагальнені в роботі У. Гільберта “О магните, магнитных телах и о большом магните - Земле” (1600). Гільберт показав, зокрема, що Земля – магнітний диполь, і довів, що розділити полюси магніту, тобто одержати магніт з одним полюсом, неможливо. В подальшому вчення про магнетизм розвивалося в роботах Р. Декарта, Ф. Епінуса, Ш. Кулона. Декарт був автором першої докладної метафізичної теорії магнетизму і геомагнетизму (“Начала философии”, ч.4, 1644) (див. [2]), він виходив із існування особливої магнітної субстанції, що своєю наявністю і рухом зумовлює магнетизм тіл.

У трактаті “Опыт теории электричества и магнетизма” (1759) Епінус підкреслив близьку аналогію між електричними та магнітними явищами. Ця аналогія, як показав Кулон (1785-89), полягає в тому, що взаємодія точкових магнітних полюсів підкоряється такому самому закону, як і взаємодія точкових електричних зарядів.

Сучасний початок розвитку теорії про магнітні властивості матерії відноситься до першої половини ХІХ ст., коли датський фізик Х. Ерстед у 1820 р. відкрив магнітні дії електричного струму, а потім французький фізик А.Ампер (теж у 1820 р.) висловив свою знамениту гіпотезу молекулярних струмів, якою у якісній формі була передбачена сучасна електронна теорія магнітних властивостей атомів і речовин.

Докладніше ознайомитись з історією розвитку вчення про магнетизм можна за джерелами [1] та [2].

Магнітне поле у вакуумі

Магнітне поле, індукція магнітного поля

У 1820 р. Х. Ерстед експериментально виявив дію електричного струму в провіднику на магнітну стрілку (рис. 1.1). У дослідах Ерстеда магнітна стрілка розміщувалась під або над провідником паралельно в напрямі північ-південь уздовж меридіана. Під час пропускання струму крізь провідник магнітна стрілка поверталась і намагалась установитися перпендикулярно до провідника. Зі зміною напряму струму в провіднику напрямок повороту стрілки змінюється на протилежний. При віддалені магнітної стрілки від провідника орієнтуюча дія зменшувалася, а при вимиканні струму стрілка поверталась у вихідне положення.

Далі було доведено, що провідники найрізноманітніших форм зі струмом

Рис. 1.1 орієнтуюче діяли на магнітну стрілку.

У тому ж 1820 р. А. Ампер дослідним шляхом виявив, що два досить довгі паралельні провідники зі струмами взаємодіють між собою з силою, котра на одиницю довжини кожного з провідників визначається за формулою

, (1.1)

де –коефіцієнт пропорційності; в СІ , – магнітна стала; – відстань між провідниками. Провідники з однаковими напрямками струмів притягуються, з взаємно протилежними – відштовхуються.

Електричний струм – це упорядкований рух зарядів. Отже, експеримента- льно було доведено, що взаємодія струмів (тобто рухомих зарядів) залежить не лише від величини зарядів, а і від швидкостей їх руху. Вперше в природі були виявлені сили, які залежать від швидкості руху частинок, що взаємодіють між собою. На підставі дослідів Х. Ерстеда і А. Ампера було виявлено, що провідник зі струмом утворює навколо себе магнітне поле, а виявлений невідомий до цього тип взаємодії зумовлений магнітними силами.

У 1904 р. російський фізик А. Ейхенвальд дослідним шляхом довів, що конвекційний струм діє на магнітну стрілку так як і струм провідності.

У 1911 р. російський фізик А. Йоффе експериментально довів, що електричний струм у вакуумі (вільні електронні пучки) за своєю магнітною дією є еквівалентним струмам у провідниках. З дослідженнями А. Ейхенвальда і А. Йоффе можна ознайомитися за посібником [3].

У подальшому дослідним шляхом було доведено, що навколо будь-якого рухомого заряду, чи то буде електрон, іон, чи заряджене тіло, крім електричного поля, існує також і магнітне поле. Електричне поле діє як на нерухомі, так і на рухомі електричні заряди. Найважливіша особливість магнітного поля полягає в тому, що воно діє лише на рухомі в цьому полі електричні заряди. Отже, взаємодія двох електричних зарядів, які рухаються один відносно одного, не обмежується лише їхньою електричною взаємодією, бо між ними існує ще й магнітна взаємодія.

Якщо по провіднику протікає постійний електричний струм, то і всередині провідника і навколо нього існують як стаціонарне електричне, так і стаціонарне, незмінне в часі магнітне поля. Розділ магнетизму, що вивчає стаціонарні магнітні поля, називають магнітостатикою.

Основні принципи побудови теорії стаціонарних магнітних полів значною мірою подібні до принципів побудови електростатики. Якщо під час дослідження властивостей електростатичного поля користуються пробним зарядом, то під час вивчення магнітного поля зручно скористатися пробним струмом, який циркулює по плоскому замкненому контуру дуже малих розмірів (див. [4]). Орієнтацію цього контуру в просторі будемо характеризувати напрямком нормалі до поверхні, що охоплюється контуром. Позитивною вважаємо нормаль , зв’язану з напрямком струму правилом правого свердлика (рис. 1.2). Дія зовнішнього магнітного поля на внесений в нього такий контур полягає в тому, що контур повертається на деякий кут і нормаль приймає певний напрямок. Якщо замість пробного контуру використати нескінченно малу магнітну стрілку, то вона орієнтується полем так, що вісь стрілки, яка з’єднує південний полюс з північним, збігається з напрямком позитивної нормалі . Напрямок орієнтації магнітної стрілки і позитивної нормалі до поверхні пробного контуру прий-

Рис. 1.2 мається за напрямок магнітного поля в обраній точці.

Якщо контур повернути так, щоб напрямки нормалі і поля не співпадали, то виникає обертальний момент, який прагне повернути контур у попередній стан (стан рівноваги). Величина обертального моменту залежить від кута між нормаллю і напрямком поля, досягаючи максимального значення при (при ).

Обертальний момент залежить як від властивостей поля в обраній точці, так і від властивостей контуру. При внесенні в одну і ту саму точку поля різних контурів було виявлено, що величина пропорційна силі струму в контурі і площі контуру і зовсім не залежить від форми контуру; дія магнітного поля на плоский контур із струмом визначається величиною

, (1.2)

яку називають магнітним моментом контуру.

Окрім сили струму і площі , контур характеризується також орієнтацією у просторі. Тому магнітний момент варто розглядати як вектор, напрямок якого співпадає з напрямком позитивної нормалі (рис. 1.2):

, (1.3)

де - одиничний вектор.

На пробні контури, які відрізняються значеннями , діють у обраній точці поля різні за величиною максимальні обертальні моменти . Однак відношення для всіх контурів є однаковим і може бути прийнятим для кількісної характеристики поля. Фізичну величину , пропорційну цьому відношенню, називають магнітною індукцією:

. (1.4)

Магнітна індукція – вектор, напрямок якого визначається напрямком позитивної нормалі до пробного контуру в положенні рівноваги. Формула (1.4) визначає модуль вектора .

Поле вектора можна представити наглядно з допомогою ліній магнітної індукції, які проводяться за таким самим правилом, як і лінії вектора для електричного поля.

Із наведеного вище випливає, що характеризує силову дію магнітного поля на струм, отже, є аналогом напруженості електричного поля , що характеризує силову дію електричного поля на заряд.

Лінії магнітної індукції найлегше спостерігати за допомогою дрібних голчастих залізних ошурок, які намагнічуються в досліджуваному полі й поводять себе, як маленькі магнітні стрілки. Картини плоских перерізів найпростіших магнітних полів показані на рис. 1.3.

Рис. 1.3

З рис. 1.3, б, в, г видно, що лінії магнітної індукції завжди замкнені і охоплюють провідники із струмом. Поблизу провідника лінії магнітної індукції лежать у площинах, перпендикулярних до провідника. Напрямок лінії індукції магнітного поля струму визначається за відомим правилом свердлика: якщо вгвинчувати свердлик за напрямком струму в провіднику, то напрямок руху рукоятки покаже напрямок ліній магнітної індукції. Із зіставлення рис. 1.3, а і 1.3, г видно, що магнітне поле поза соленоїдом подібне до магнітного поля штабового магніту. Магнітне поле колового струму (рис. 1.3, в), який являє собою один виток соленоїда, схоже на поле дуже короткого штабового магніту, розташованого у центрі витка так, щоб його вісь була перпендикулярною до площини витка. Такий штабовий магніт можна назвати магнітним диполем.

З рис. 1.3, а видно, що лінії магнітної індукції штабового магніту виходять з його північного полюса і входять у південний. На перший погляд здається, що тут спостерігається повна аналогія з силовими лініями електростатичного поля, при чому полюси магніту відіграють роль магнітних “зарядів” (магнітних мас), які створюють магнітне поле. Проте Гільберт довів, що не можна дістати магніт з одним полюсом. Кожна найменша частинка постійного магніту має обидва полюси. Отже, на відміну від електричних зарядів, вільні магнітні “заряди” в природі не існують. Немає їх і в полюсах постійних магнітів. Тому полюси постійного магніту не можуть бути особливими точками його магнітного поля, а лінії магнітної індукції не можуть обриватися на полюсах. Дослідження показали, що всередині штабових магнітів є магнітне поле, подібне до поля всередині соленоїда. Цим було доведено, що лінії індукції магнітного поля постійних магнітів теж замкнені, що дало змогу А. Амперу висловити гіпотезу (1821-1822) про те, що магнітні властивості постійних магнітів зумовлені мікрострумами, які існують в них.

Закон Біо-Савара-Лапласа

Після дослідів Г. Ерстеда почали інтенсивно вивчати магнітне поле постійного електричного струму. В 1820 р. французькі вчені Ж. Біо і Ф. Савар дослідили магнітні поля, створені в повітрі прямолінійним струмом, коловим струмом, котушкою зі струмом і т. п. На основі чисельних дослідів вони прийшли до висновку, що індукція магнітного поля електричного струму в довільно вибраній точці пропорційна силі струму в провіднику, залежить від форми і розмірів провідника і від розташування цієї точки відносно провідника із струмом. Вони намагалися знайти загальний закон, який давав би змогу обчислити магнітну індукцію в кожній точці поля, створюваного електричним струмом, що протікає по провіднику будь-якої форми. Однак зробити це їм не вдалося. На їх прохання розв’язав це завдання видатний французький математик, астроном і фізик П. Лаплас. Він врахував векторний характер магнітної індукції і висловив важливу гіпотезу про те, що індукція у кожній точці магнітного поля будь-якого провідника з струмом є векторна сума індукцій елементарних магнітних полів, створених кожною ділянкою цього провідника. Тим самим Лаплас припустив, що при накладанні магнітних полів справджується принцип суперпозиції, тобто принцип незалежності дії полів, який уже відомий з електростатики.

Лаплас узагальнив результати експериментів Біо і Савара у вигляді такого диференціального закону, який називають законом Біо-Савара-Лапласа,

, (1.5)

де - вектор, що чисельно дорівнює довжині елемента провідника і збігається за напрямком з електричним струмом; - радіус-вектор, проведений з елемента провідника до розглядуваної точки поля; - модуль радіуса-вектора , а - коефіцієнт пропорційності, величина якого визначається за допомогою дослідів і залежить від системи одиниць. У Міжнародній системі одиниць СІ прийнято, що . Тому у системі СІ

Рис. 1.4 . (1.6)

Такий вигляд запису закону Біо-Савара-Лапласа і всіх рівнянь електромагнітного поля, які випливають з нього, називають раціоналізованим. У подальшому викладі приймається саме такий вигляд.

Із закону Біо-Савара-Лапласа випливає, що вектор магнітної індукції у будь-якій точці магнітного поля напрямлений перпендикулярно до площини, в якій лежать вектори і , у відповідності з правилом векторного добутку.

Чисельне значення вектора визначається скалярною формою закону Біо-Савара-Лапласа

, (1.7)

де - кут між векторами та , рис.1.4).

Закон Біо-Савара-Лапласа дає змогу знайти індукцію магнітного поля електричного струму, що протікає по провіднику скінчених розмірів і будь-якої форми. Відповідно до принципу суперпозиції магнітна індукція у будь-якій точці магнітного поля провідника зі струмом дорівнює векторній сумі індукцій елементарних магнітних полів, створених усіма окремими ділянками цього провідника

, (1.8)

де - загальна кількість ділянок, на які поділено провідник. Необмежено збільшуючи кількість ділянок , на підставі рівнянь (1.7) та (1.8) отримуємо

. (1.9)