Внутренние силы и напряжения

Внутренние силы – силы взаимодействия между частицами твердого тела, препятствующие деформации при нагружении.

Для определения величины внутренних сил в произвольном сечении пользуются методом сечений, согласно которому результирующая (главный вектор) внутренних сил, действующих в рассматриваемом сечении нагруженного тела, равна геометрической сумме всех внешних нагрузок, приложенных по одну сторону от сечения

Момент всех внутренних сил (главный момент внутренних сил), действующих в рассматриваемом сечении нагруженного тела относительно центра тяжести сечения равен сумме моментов всех внешних нагрузок, лежащих по одну сторону от сечения, относительно того же центра

где под – подразумевается любая ί-ая внешняя нагрузка.

Проектируя главные векторы внутренних сил и момента на три координатные оси (см. рис 2.1), получим шесть внутренних силовых факторов: от главного вектора

;

где - продольная сила, _y и _z – поперечные силы.

от главного момента

,

где и – изгибающие моменты относительно осей y и z, соответственно, _x = _z - крутящий момент.

Рис. 2.1

Напряжение–внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади.

Единица измерения -- Мегапаскаль (МПа). МПа = Н / мм²

Проектируя вектор полного напряжения на координатные оси (рис. 2.2) получим:

где – нормальное напряжение, – касательное напряжение, и его составляющие по осям y и z.

Напряжение - основной критерий прочности материала.

В дальнейшем будем пользоваться только составляющими напряжения– σ и τ.

Рис.2.2.

Связь внутренних сил, напряжений и внешней нагрузки определяется равенствами:

а) растяжение-сжатие ;

б) сдвиг-срез ,

;

в) кручение ;

г) изгиб

, .

Литература: [2, стр. 5…17]; [6, стр. 11…20]

2.3. Эпюры внутренних сил, напряжений и перемещений

Эпюры - графики, изображающие закон изменения внутренних сил, напряжений и деформаций вдоль оси бруса (стержня, вала, балки). Эпюры также показывают при кручении и изгибе закон изменения напряжений внутри сечения. Эпюры позволяют определить опасные сечения и опасные точки в рассматриваемом теле. При построении эпюр принято правило знаков:

Растяжение – сжатие (рис2.3). При растяжении продольная сила имеет знак плюс, при сжатии – минус.

Риc.2.3 Рис.2.4

Кручение (рис.2.4). М_кр - крутящий момент в сечении, направленный против хода часовой стрелки считается положительным.

.Поперечный изгиб (рис.2.5). Поперечная сила положительна, если она создает вращающий момент по ходу часовой стрелки. Изгибающий момент положителен, если упругая линия балки изгибается выпуклостью вниз.

Рис.2.5

Литература: [2, стр. 10…14]; [5, стр. 8…11].

Типы деформаций

По характеру действия внешних сил различают четыре вида простейших деформаций.

Растяжение (сжатие) - внешняя сила действует вдоль оси бруса (рис.2.6).

В сечениях бруса возникает только одна составляющая главного вектора внутренних сил – продольная сила N .

Рис.2.6 Рис.2.7

Сдвиг (срез) – внешняя сила F действует перпендикулярно оси бруса (рис.2.7).

В каждом сечении возникает поперечная сила Q, так как „с” очень мало, моментом сил пренебрегают.

Кручение - действует момент М, плоскость вращения которого перпендикулярна продольной оси бруса (рис.2.8).

В каждом сечении бруса возникает крутящий момент М_кр = М_х.

Рис 2.8

Изгиб – нагружение, при котором происходит искривление оси бруса.

Виды изгибов (см. рис.2.9):

1) чистый изгиб – в сечении действует только изгибающий момент;

2) поперечный изгиб – в сечении действует поперечная сила и изгибающий момент;

3) косой изгиб – в сечении действует изгибающий момент не совпадающий с главными плоскостями сечения балки.

Рис.2.9

В каждом сечении возникает изгибающий момент М. Поперечной силой пренебрегаем, т. к. l >>h.

Если в сечении действует несколько видов простейших деформаций, то такой вид напряженного состояния называют сложным сопротивлением.

Количественная оценка деформаций.

При действии на тело произвольной системы сил в теле возникают линейные и угловые деформации. Линейные деформации приводят к удлинению или укорочению размеров тела в трех измерениях и являются следствием нормальных напряжений. Угловые деформации приводят к искажению формы, к изменению углов между двумя прямыми, проведенными внутри тела, и являются следствием действия касательных напряжений.

а) Линейные деформации (рис.2.10).

Меры деформации: – абсолютное удлинение (укорочение)

– относительное удлинение

б)

Рис.2.10 Рис.2.11

Угловые деформации (рис.2.11) . Мерой деформации является угол сдвига.

По последствиям деформации подразделяются на упругие, исчезающие после снятия нагрузки, и остаточные или пластические, остающиеся после снятия нагрузки.

В общем случае за пределом упругости деформация состоит из упругой и остаточной:

;

Остаточные деформации являются нежелательными явлениями в конструкциях.

Закон Гука.

Закон Гука устанавливает пропорциональную связь между упругими деформациями и напряжениями:

- для линейных деформаций: или ;

- для угловых деформаций: или ,

где Е и G – модули упругости первого (модуль Юнга) и второго (модуль сдвига) рода. Они характеризуют жесткость материала – способность сопротивляться упругим деформациям.

Литература: [2, стр. 14…17]; [5, стр. 15…14].