Формула повного приросту функції

Нехай в точці х функція y = f (x) диференційовна, тобто має по­хідну у¢(х) = f ¢(x). Тоді згідно з означенням похідної, маємо: .

Існування границі означає, що при малих значеннях Dх має місце відношення

,

де a(Dх) – функція від Dх, нескінченно мала при Dх ® 0 (a(Dх) ® 0 при Dх ® 0). Таким чином, маємо

Dу = у¢(х)·Dх + a(Dх)·Dх.

Цей вираз називають формулою повного приросту функції. З нього випливає, що Dу є сума двох доданків. Перший з них у¢(х)·Dх є добуток сталої у¢(х) = А на нескінченно малу величину Dх (лінійний відносно Dх) і має той же порядок, що й Dх:

.

Другий доданок a(Dх)Dх при Dх ® 0 є нескінченно малою вищо­го порядку порівняно з Dх:

,

так що a(Dх)Dх = о(Dх). Тому формулу (1) можна подати у вигляді:

Dу = у¢(х)Dх + о(Dх), або Dу = АDх + о(Dх). Доданок АDх називається головною частиноюприросту функ­ції Dу. Головна частина приросту функції еквівалентна при Dх ® 0 при­росту функції: АDх ~ Dу, оскільки їх різниця Dу – АDх = о(Dх) є нескінченно малою вищого порядку порівняно з Dх.