Статично невизначувані балки

Розрахунок нерозрізних балок

Приклад 1. Для заданої балки (рис. 8.1) побудувати епюри

Q і М.

Рис. 8.1

За формулою

знаходимо, що в даному випадку ступінь статичної невизначуваності балки дорівнює одиниці.

Рівняння трьох моментів має вигляд:

Маємо:

; ;

Отже,

, звідси

.

Згинальний момент у прогоні :

Рис. 10.10

Рис. 10.10

або ;

.

Поперечна сила в прогоні на основі формули

буде дорівнювати:

При x = 0 ; при x = l .

Опорні реакції: ; .

Перевірка:

.

Приклад 2. Для заданої балки (рис. 8.2) побудувати епюри

Q і М.

Ступінь статичної невизначуваності даної балки дорівнює одиниці.

Рівняння трьох моментів має вигляд:

Маємо:

Рис. 8.2

Отже,

Оскільки , то Визначаємо поперечні сили. Для першого прогону:

для другого прогону:

Визначаємо згинальні моменти. Для першого прогону:

при x = 0 M = 0;

при ; .

Розраховуємо опорні реакції:

Перевірка:

,

тобто умова рівноваги виконується.

Приклад 3. Для заданої балки (рис. 8.3) потрібно за допомогою рівняння трьох моментів знайти опорні моменти та побудувати епюри згинальних моментів М і поперечних сил Q від постійного навантаження.

Розв’язання.

Використовуємо рівняння трьох моментів

.

Балка три рази статично невизначувана і система рівнянь трьох моментів набуває вигляду:

;

;

.

У цьому випадку М₀ = –50 кН·м, l₄ = 0.

Фіктивні опорні реакції (див. табл. Дод. 4).

кН·м².

кН·м².

Система рівнянь трьох моментів:

Після перетворень маємо:

Рис. 8.3

Розв’язуючи цю систему рівнянь, знаходимо

М₁ = –50,3 кН×м, М₂ = –16,5 кН×м, М₃ = –53,0 кН×м.

Згинальний момент в довільному перерізі нерозрізної балки визначаємо за формулою:

.

Тут М⁰(х) – згинальний момент у перерізі х_n n-го прогону від зовнішнього навантаження, яке обчислюється як для балки, що шарнірно обперта кінцями.

кН·м.

В перерізі в місті прикладення сили Р:

кН·м.

Визначаємо М(х) на другому прогоні

Звідки х = 3,84 м.

кН·м.

Визначаємо М(х) на третьому прогоні

Звідси х = 2,98 м.

Тоді:

кН·м.

За цими даними будуємо епюру М (рис. 8.3).

Поперечна сила в будь-якому перерізі n-го прогону нерозрізної балки визначається за формулою:

Тут Q⁰(х) – поперечна сила простої балки.

Знаходимо Q у першому прогоні:

кН ;

кН .

На другому прогоні:

При

кН.

При

кН.

На третьому прогоні

При

кН.

При

кН.

За цими даними будуємо епюру Q (рис. 8.3).

Знаходимо опорні реакції за формулою

Маємо:

R₀ = 33,3 + 50 = 83,3 кН;

R₁ = 19,3 – (–66,7) = 86,0 кН;

R₂ = 29,8 – (–5,7) = 35,5 кН;

R₃ = 40,2 кН.

Перевірка:

R₀ + R₁ +R₂ + R₃ = 50 – 100 – 5 · 5 – 10 · 7 = 0;

245 – 245 = 0.

Методичні рекомендації

Нерозрізні балки розраховують за допомогою рівнянь трьох моментів. За наявності навантаження на консолі нерозрізної балки в ліву частину рівняння трьох моментів необхідно підставити значення згинального моменту на крайній опорі, враховуючи його знак: момент вважається додатним, якщо він згинає консоль випуклістю вниз. У випадку затиснення на крайній опорі потрібно приєднати до балки додатковий прогин, записати рівняння трьох моментів у звичайній формі й потім виконати спрощення, тобто прирівняти до нуля довжину додаткового прогону і момент на крайній його опорі. Цей спосіб дає можливість розрахувати за допомогою рівнянь трьох моментів і однопрогінні балки із затисненими кінцями.

Запитання для самоперевірки

1. Які балки називаються нерозрізними?

2. Як визначається ступінь статичної невизначуваності нерозрізної балки?

3. Який вигляд має рівняння трьох моментів для нерозрізної балки сталої жорсткості та який фізичний зміст цього рівняння?

4. Як обчислюються згинальні моменти і поперечні сили у будь-якому перерізі нерозрізної балки (а також опорні реакції балки) після визначення невідомих опорних моментів?

5. Як за допомогою рівнянь трьох моментів розраховують нерозрізну балку із затисненими кінцями?

6. Як при складанні рівнянь трьох моментів враховують навантаження, яке прикладене на консолі нерозрізної балки?

7. В якій послідовності виконують розрахунок нерозрізної балки?

Балка на пружній основі