Движение свободной частицы
Свободная частица — частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси х) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U(х) = соnst и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией.
6.38 Уравнение Шредингера для стационарных состояний______ ______________________
Уравнение Шредингера_____________________________________ ______________________
![]() |
Ψ(х) = Аe iкх = (А = const, к = const);
♦Зависящая от времени волновая функция Ψ(x, t) представляет собой монохроматическую волну де Бройля 6.16.
Собственные значения энергии________________________________________________
Энергия свободной частицы может принимать любые значения (так
как волновое число kможет принимать любые положительные значения), т. е. энергетический спектр свободной частицы непрерывен.
Плотность вероятности___________________________________________________________
Мера вероятности нахождения частицы в момент времени tв окрестности данной точки пространства. В данном случае плотность вероятности не зависит ни от времени, ни от координат: все положения свободной частицы в пространстве равновероятны.
6.2.8. ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ
С БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ СТЕНКАМИ
6.39 Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками_________________________
[ — ширина ямы; энергия отсчитывается от дна ямы; k— волновое число; Е — полная энергия частицы]
6.40 Решение уравнения Шредингера для частицы в яме_____________________________
Граничные условия_______________________________________________________________
Это следует из условия непрерывности. За пределы ямы частица не проникает, и в областях х < 0 и х > I волновая функция Ψ(х) = 0.
Общее решение уравнения Шредингера_____________________________________________
Ψ(0) = Ψ(
) = 0, поэтому В = 0.
Условию Ψ( ) = А sin k
= 0 удовлетворяет
(n = 1,2,3,...).
Собственные функции____________________________________________________________
А =
(коэффициент находится из условия нормировки:
)
Нормированные собственные функции_____________________________________________
Значение п = 0 приводит к тривиальному результату Ψ(x) = 0, а отрицательные значения п — к тем же функциям, но с отрицательным знаком, что не дает новых физических решений.
6.41 Энергетический спектр частицы_______________________________________________
Собственные значения энергии частицы_______________________________________________
![]() |
Получается из выражений и
. Спектр энергии частицы дискретен. Квантованные значения Еп – уровни энергии, п — квантовое число.
Минимальная, не равная нулю энергия,
соответствующая основному состоянию_______________________________________________
_____________
Наличие отличной от нуля минимальной энергии — следствие соотношения неопределенностей 6.18. Неопределенность импульса (частица «зажата» в яме, следовательно, ее положение известно с неопределенностью
). Поэтому энергия нулю не может быть равна (это потребовало бы выполнения условия
).
♦ Состояние с энергией Е1— основное состояние, остальные состояния возбужденные. Энергии возбужденных состояний: 4Е1, 9Е1, 16Е1; ... (соответственно значениям квантовых чисел п = 2, 3, 4, ...) (см. рис. 6.42).
6.42 Собственные функции и плотности вероятности
обнаружения частицы
на разных расстояниях от стенок ямы______________________________________________
![]() |
Из рисунка следует, что, например, в состоянии с п = 2 частица не может находиться в центре ямы, в то же время одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на несостоятельность представлений о траекториях частиц в квантовой механике.
ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ
СКВОЗЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ПОРОГ
6.43 Прямоугольный бесконечно протяженный порог______________________________
Одномерный потенциальный порог | Потенциальная энергия | Стационарное уравнение Шредингера для одномерного случая |
![]() | ![]() | ![]() |
[U0 — высота потенциального порога; Е — полная энергия частицы; т – масса частицы]
6.44 Энергия частицы больше высоты порога_(Е > U0)______________________________
— волновые числа; λ1 и λ2 — соответственно длины волн де Бройля в областях 1 и 2.]
Общие решения уравнений Шредингера____________________________________________
соответствует плоской волне, распространяющейся в положительном направлении оси х (падающей волне),
— отраженной волне.
Амплитуда падающей волны принята за единицу (А1 = 1). В области 2 наблюдается только прошедшая волна, поэтому В2 = 0.
♦ О волнах может идти речь после умножения на временной множитель, поскольку Ψ — координатная часть волновой функции.
6.45 Коэффициенты отражения и прозрачности____________________________________
Коэффициент отражения__________________________________________________________
Равен отношению плотности потока отраженных ( п\) частиц к плотнос ти потока падающих (n1) частиц.
Коэффициент прозрачности_______________________________________________________
Равен отношению плотности потока прошедших (тг2) частиц к плотности потока падающих (n1) частиц.
Значения n1; ; п2
6.46 Определение R и D для случая Е > U0______________________________________________________________
Коэффициент отражения___________________________________________________________
Как п в оптике, R + D= 1. Коэффициент R можно истолковать как вероятность отражения на границе областей, а D— вероятность преодоления потенциального порога. Тогда можно утверждать, что частица либо отразится, либо пройдет в область 2.
Коэффициент прозрачности
Вывод.В случае Е > U0(низкий потенциальный порог) волна частично отражается (коэффициент В1отличен от нуля) и частично проходит в область 2. В области 2 длина волны де Бройля больше, чем в области 1.
Итак, при Е > U0 волновое число к1> к2 и длина волны λ2 > λ.1.
6.47 Энергия частицы меньше высоты порога (Е < U0)________________________________
Область 1 | Область 2 | |
Уравнение Шредингера | ![]() | ![]() |
Общие решения уравнений Шредингера | ![]() | При ![]() |
![]() |
6.48 Определение коэффициента отражения Rдля случая Е < U0
Решение уравнений Шредингера | Условия непрерывности | Определение коэффициентовА1 и В1 |
![]() | ![]() | ![]() |
Коэффициент отражения 6.46_______________________________________________________
![]() |
Вероятность найти частицу на единице длины в области 2_________________________
, т. е. в случае Е < U0
(высокий прямоугольный потенциальный порог), хотя и наблюдается явление полного отражения, имеется отличная от нуля вероятность найти частицу в области 2, правда, она экспоненциально убывает с увеличением х. Микрочастица благодаря своим волновым свойствам может проникать в области, «запрещенные» для классических частиц.