Определение ошибки выборочной доли и выборочной средней

Определение ошибки выборочной средней

При случайном повторном отборе средняя ошибка выборочной средней рассчитывается по формуле:

где m - средняя ошибка выборочной средней;

- дисперсия выборочной совокупности;

n - численность выборки.

При бесповторном отборе она рассчитывается по формуле:

где N - численность генеральной совокупности.

Определение ошибки выборочной доли

При повторном отборе средняя ошибка выборочной доли рассчитывается по формуле:

где - выборочная доля единиц, обладающих изучаемым признаком;

m - число единиц, обладающих изучаемым признаком;

n - численность выборки.

При бесповторном способе отбора средняя ошибка выборочной доли определяется по формуле:

- дисперсия выборочной доли

Предельная ошибка выборки связана со средней ошибкой выборки m отношением:

.

При этом t как коэффициент кратности средней ошибки выборки зависит от значения вероятности P, с которой гарантируется величина предельной ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки при бесповторном отборе определяется по следующим формулам:

Предельная ошибка выборки при повторном отборе определяется по формуле:

Поскольку величина предельной ошибки выборки , точность оценки параметров генеральной совокупности будет зависеть от принятого уровня доверительной вероятности и от величины стандартной ошибки выборки. Допустим, что доля брака по данным выборки составила 0,02 (или 2%) при n =1000 и N = 10000. Величина стандартной ошибки случайной бесповторной выборки равна 0,0042.

(или 0,42%)

С вероятностью 0,954 мы можем утверждать, что предельная ошибка доля брака не превысит 0,0084 ( ) и доля брака в генеральной совокупности будет находиться в интервале: 0,0116 0,0284 ( ). Если мы примем доверительную вероятность равной 0,997, то величина предельной

ошибки выборки составит 0,0126 (0,0042*3), и доля брака в генеральной совокупности будет находиться в интервале 0,02±0,0126, т.е. 0,74% 3,26%.

Таким образом, с вероятностью 99,7% можно ожидать, что количество бракованных деталей во всей партии из 10000 штук будет находиться в интервале от 74 до 327 штук, тогда как с вероятностью 95,4% доверительный интервал составит 116¸284 штуки. Незначительно увеличивая достоверность выводов (с 95,4 до 99,7%), мы существенно снижаем точность оценки. В этой связи в экономических расчетах чаще рекомендуется использовать доверительную вероятность P=0,95 или 0,954 (соответственно t равно 1,96 и 2,00).

Малая выборка

Для определения способа отбора единиц величина стандартной ошибки зависит от объема выборки и степени колеблемости изучаемого признака в генеральной совокупности. Причем, чем меньше объем выборки, тем большую величину стандартной ошибки следует ожидать, а это в свою очередь снижает точность оценки параметров генеральной совокупности. Объем малой выборки обычно не превышает 30 единиц и может доходить до 4 - 5 единиц.

Средняя ошибка малой выборки

где - дисперсия малой выборки;

(n-1) - число степеней свободы К.

Определение дисперсии:

Предельная ошибка малой выборки

При этом значение коэффициента доверия t зависит не только от заданной доверительной вероятности, но и от численности единиц выборки n. Для отдельных значений t и n доверительная вероятность малой выборки определяется по специальным таблицам Стьюдента, в которых даны распределения стандартизированных отклонений (таблица 4.1.)

Таблица 5.1.

								Нормальное распределение
1,0	0,813	0,818	0,828	0,830	0,833	0,835	0,838	0,841
2,0	0,942	0,949	0,962	0,963	0,968	0,970	0,973	0,977
3,0	0,980	0,985	0,992	0,993	0,995	0,996	0,997	0,999

Например, при К=20, вероятность того, что предельная ошибка выборки не более 3m, равна 0,996. Поскольку при проведении малой выборки в качестве доверительной вероятности практически принимается значение 0,95; 0,99 и 0,997, то таблицу Стьюдента часто излагают в краткой удобной для практического использования форме (таблица 5.2.).

Таблица 5.2.