Задачі, що проводять до поняття похідної

Задача про миттєву швидкість. Нехай матеріальна точка рухається вздовж прямої. Позначимо відстань точки до деякої початкової точки даної прямої в момент часу через . Тоді в момент часу , де - приріст часу, точка буде знаходитися на відстані від точки рівній . Різницю назвемо приростом ляху.

Відношення називається середньою швидкістю руху точки за проміжок часу .

Швидкістю руху точки в момент часу або миттєвою швидкістю називається границя відношення при , тобто

.

Приклад. Знайти миттєву швидкість рівномірно прискореного руху матеріальної точки з початковою швидкістю і прискоренням .

Розв'язування. Залежність шляху від часу при рівно прискореному русі виражається формулою . Тоді . Отже,

.

Після спрощення одержуємо

.

Таким чином

.

Задача про лінійну густину неоднорідного стержня. Нехай треба знайти густину неоднорідного прямолінійного стержня в точці , яка знаходиться на відстані від початкової точки (див. рис. 11).

Позначимо величину маси відрізка . Візьмемо деяку точку , яка знаходиться на відстані від початкової точки . Тоді маса відрізка буде рівною . Отже, маса відрізка , яку ми назвемо приростом маси в точці ,

.

Відношення називається середньою густиною стержня на відрізку і позначається .

Лінійною густиною стержня в точці називається границя відношення при , тобто

.

Приклад. Нехай маса стержня довжини задається формулою , де - сталі числа. Знайти лінійну густину в точці , яка знаходиться на відстані від початку стержня.

Розв'язування. Знайдемо приріст маси в точці

.

Отже,

.

Задача про дотичну до кривої. Дотичною до кривої в точці називається пряма , з якою співпадає граничне положення січної за умови, що точка по кривій прямує до точки (рис. 12).

Зазначимо, що не в кожній точці крива може мати дотичну. В точках, яких крива зазнає зламу, дотична до кривої не існує. Так, наприклад, не існують дотичні у точці кривої (рис. 13), точці кривої (рис. 14), точці кривої (рис. 15).

Розглянемо криву, яка задана в системі координат рівнянням , де неперервна функція, визначена на деякому проміжку . Поставимо задачу: знайти кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в точці , де (рис. 16).

Візьмемо на кривій точку . Через точки проведемо січну. Нехай вона утворює з додатним напрямом осі кут . Тоді .

Якщо точка по кривій наближатиметься до точки , то координати точки наближатимуться до координат точки , тобто

.

Звідси випливає, що коли точка , то . З іншого боку, якщо , то за неперервністю функції маємо: , тобто і при цьому . Таким чином

.

Розглянуті задачі різні за своїм змістом, але вони відрізняються одним і тим способом, якщо в кожній з цих задач незалежну змінну позначити через , а залежну змінну – через , то для знаходження розв'язку кожної із них потрібно знаходити границю відношення приросту функції до приросту аргументу, за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, тобто

.

Означення похідної

Нехай в деякому проміжку визначена функція . Виберемо довільну точку і надамо приросту такого, що .

Зазначимо, що може бути як додатним, так і від'ємним. При цьому функція одержить приріст . Нехай в точці існує границя .

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

Похідну функції в точці позначають так: або . Отже, за означенням

.

Якщо функція має похідну в кожній точці , то похідна є функцією від і в цьому випадку позначається так: або .