Пример решения задачи. На двухопорной балке, изготовленной из двух равнобоких уголков №4, установлен электродвигатель, вес которого F=0,4 кН

Задача

На двухопорной балке, изготовленной из двух равнобоких уголков №4, установлен электродвигатель, вес которого F=0,4 кН. Число оборотов электродвигателя N=500 об/мин, амплитудное значение центробежной силы, возникающей при вращении ротора, F₀=0,05 кН. Произвести проверочный расчет на прочность подмоторной балки и определить значение ℓ, при котором возможно наступление резонанса. Сопротивлением среды пренебречь. Допускаемое напряжение [σ] принять равным 160 МПа.

Решение

Прежде, чем приступить к решению задачи, давайте сначала разберемся, что происходит с упругой балкой при заданном нагружении.

До установки двигателя балка находилась в прямолинейном равновесном состоянии:

После установки двигателя (в выключенном режиме), который можно рассматривать как сосредоточенную массу, балка принимает новое изогнутое равновесное состояние:

При этом, на балку действует статическая нагрузка – вес двигателя .

При включенном двигателе к его весу добавляется действие динамической вибрационной возмущающей силы , которая по своей природе является центробежной силой, возникающей при вращении ротора от его неуравновешенной части. Эта сила вызывает вынужденные колебания всей упругой системы вокруг изогнутого равновесного состояния:

Направление колебательного движения перпендикулярно осевой линии балки, поэтому колебания являются поперечными. Вид возникающей при этом деформации балки – прямой поперечный изгиб.

Таким образом, расчетная схема балки представляет собой упругую систему с одной степенью свободы, воспринимающую поперечные вынужденные колебания.

Так как вес сосредоточенной массы (двигателя) F по направлению совпадает с направлением колебательного движения, то, согласно пункту 3 приведенного выше алгоритма (стр. 73-74), условие прочности для нашей балки будет иметь вид (7.4):

.

Выполнение этого условия нам и нужно будет проверить.

Приступим, наконец, к непосредственному решению задачи.

1. Определим геометрические характеристики поперечного сечения балки: осевой момент инерции I_x и осевой момент сопротивления W_x, которые нам потребуются при прочностном расчете.

Поперечное сечение сложное – состоит из двух равнобоких уголков №4:

Оси х и у – главные центральные оси сечения, причем, ось у – силовая линия, а ось х – нейтральная линия. По сортаменту (см. Приложение 4, таблица 4.3, стр. 154) для одного равнобокого уголка №4 находим: , , .

По теореме о суммировании моментов инерции (см. Практикум, часть 1, стр. 27) осевой момент инерции всего сложного сечения равен:

.

Осевой момент сопротивления W_x находим по определению (см. Практикум, часть 1, стр. 34):

.

2. Найдем максимальное статическое напряжение от статического действия силы, равной весу двигателя . Для этого построим грузовую эпюру изгибающих моментов (балка испытывает прямой изгиб) и определим положение опасного сечения.

Максимальный изгибающий момент возникает в сечении С, следовательно, сечение С наиболее опасно. Тогда

.

Таким образом, при выключенном двигателе максимальное напряжение возникает в сечении С балки и равно .

3. Найдем максимальное статическое напряжение от статического действия силы , равной амплитудному значению вынуждающей динамической силы . Рассуждения здесь аналогичные, как и в пункте 2, единственное отличие в том, что вместо силы F в сечении С прикладывается сила . Эпюра изгибающих моментов будет пропорциональна грузовой эпюре , а максимальный изгибающий момент . Тогда

.

4. Найдем коэффициент усиления колебаний .

4.1. Определим податливость упругой системы . Учитывая, что это единичное перемещение, определим его методом Мора. Для этого приложим в точке С в направлении колебательного движения единичную безразмерную сосредоточенную силу и построим единичную эпюру изгибающих моментов . Очевидно, что она тоже будет пропорциональна грузовой эпюре с коэффициентом пропорциональности F. «Перемножив» единичную эпюру саму на себя, получим искомую величину .

Единичная эпюра имеет два участка: АС и СВ. Применяя формулу Симпсона на каждом участке, получим:

. (7.5)

4.2. Вычислим частоту собственных колебаний по формуле (7.2), учитывая, что масса двигателя , и принимая :

.

4.3. Вычислим частоту вынужденных колебаний по заданному числу оборотов электродвигателя N:

.

4.4. Коэффициент усиления колебаний найдем по формуле (7.1):

.

5. Проверим выполнение условия прочности.

Подставим найденные значения всех величин в условие прочности и проверим его выполнение.

.

Таким образом, , следовательно, условие прочности выполняется.

6. Определим значение параметра длины балки l_р, при котором возможно наступление резонанса.

Условие резонанса, как отмечалось выше – это равенство частот вынужденных и собственных колебаний упругой системы: . Частота вынужденных колебаний не зависит от значения параметра l, а частота собственных колебаний связана с параметром l полученной ранее зависимостью (7.5):

.

Подставим это выражение в условие резонанса:

.

Возведем обе части равенства в квадрат и выразим параметр l_р:

.

Таким образом, при в заданной конструкции будет наблюдаться явление резонанса, что может привести к её разрушению.

Внимание! При проектировании подобных конструкций следует избегать резонансных значений её параметров.

Задача решена.