Приклади
1.Використовуючи означення похідної функції f у точці, знайти похідні функцій:
а) ; б)
.
Розв’язання. а) Нехай х – довільна фіксована точка з D(f)=R.
1. Надамо х приросту Dх і знайдемо відповідний приріст функції Df(x):
Df(x)=f(x+Dх)–f(x)=sin(х+Dх)–sin x= .
При перетворенні різниці синусів у добуток тригонометричних функцій використано формулу .
2. =
.
3. Знайдемо :
=
=
= .
При знаходженні використано першу чудову границю:
.
Оскільки х – довільна точка, то =
для всіх хÎR.
Отже, .
б) Нехай х – довільна фіксована точка з D(f)=R.
1. Надамо х приросту Dх і знайдемо відповідний приріст функції Df(x):
Df(x)=f(x+Dх)–f(x)= =
.
2. =
.
3. Знайдемо :
=
.
При знаходженні використано важливу границю:
.
Внаслідок довільності аргумента х, маємо: =
для всіх хÎR.
Отже, .
2.Довести, що у точці х0=0 не існує похідна функції .
Розв’язання. Знайдемо ліву і праву похідні функції у точці х0=0:
=
=
=
= =
=
;
=
=
=
.
Оскільки ліва і права похідні функції у точці х0=0 не дорівнюють одна одній, то в цій точці не існує похідна функції f.
3. Знайти похідні функцій:
а) y=sin x+x8–2; б) +
; в) y= x5lnx; г) y=
;
д) y=ln(cos x); е) y=arctg x4; є) y= ; ж)
, x>0.
Розв’язання. а) Спочатку використаємо правило 1, а потім формули 5, 2, 1 із таблиці похідних:
=
–
=cos x+8x7–0= =cos x+8x7.
б) Спочатку використаємо правило 1, а потім правило 2.1 та формули 7, 2.1, 2.3, 1 із таблиці похідних:
=
=
= =
=
.
в) Спочатку використаємо правило 2, а потім формули 2, 4.1 із таблиці похідних:
=
=5x4×lnx+x5×
=5x4×lnx+x4=
.
г) Використаємо правило 3, а потім формули 10, 2 із таблиці похідних:
=
=
= =
.
д) Функція y=ln(cos x) є складеною. Її можна записати у вигляді y=ln u, де u=cos x. Для знаходження похідної функції y=ln(cos x) спочатку скористаємося правилом 4: , де u=g(x), а потім формулами 4.1, 6 із таблиці похідних. Отже,
.
е) Функція y=arctg x4 – складена; u=x4 – внутрішня функція, y=arctg u – зовнішня функція. Для знаходження похідної функції y=arctg x4 використаємо правило 4 і формули 11, 2 з таблиці похідних:
=
= .
При знаходженні похідної складеної функції проміжні етапи, що пов’язані із виділенням внутрішньої і зовнішньої функцій, із знаходженням похідної зовнішньої функції, як правило, не записують у розв’язанні. У цьому разі розв’язання цього завдання буде таким:
=
.
є) Для знаходження похідної функції y= спочатку використаємо правило 2, потім правило 4 (для знаходження похідної складеної функції
) і формули 7, 2.3 з таблиці похідних:
=
=
= =
.
ж) Функції (x>0) є степенево-показниковою. Тому за правилом 6 маємо:
, x>0.
4. Знайти значення похідної функції у точці х0=0,6.
Розв’язання. Спочатку знайдемо похідну функції f. При знаходженні похідної функції врахуємо, що ця функція є складеною.
Отже,
=
=
= .
Тоді
.
5. Знайти рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х0=–2.
Розв’язання. Використаємо рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х0: .
Щоб записати це рівняння знайдемо і
:
;
;
.
Тоді
=
=
.
Отже, – шукане рівняння дотичної.
6.Знайти рівняння дотичної до графіка функції , яка паралельна до прямої
.
Розв’язання. Виходячи з геометричного змісту похідної, кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції , дорівнює
. Оскільки шукана дотична є паралельною до прямої
, то кутові коефіцієнти цих прямих є однаковими. Враховуючи, що кутовий коефіцієнт k прямої
дорівнює –2, маємо:
Û
Û
Û х=1.
Отже, якщо до графіка функції f у точці з абсцисою х0=1 провести дотичну, то вона буде паралельною до прямої . Знайдемо рівняння цієї дотичної.
;
;
=
.
Отже, – шукане рівняння дотичної.
7.Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом .
а) Знайти швидкість і прискорення точки у момент часу (шлях s вимірюється в метрах).
б) Через скільки секунд після початку руху точка зупиниться?
Розв’язання. а) Враховуючи механічний зміст похідної, знайдемо за яким законом змінюється швидкість і прискорення точки:
;
.
Тоді швидкість і прискорення точки у момент часу є такими:
м/с;
м/с2.
Від’ємне значення прискорення вказує на сповільнений рух точки.
б) Якщо точка зупинилася, то її швидкість дорівнює нулю. Тому щоб знайти момент часу, коли точка зупиниться, потрібно розв’язати рівняння :
Û
Û
За змістом задачі від’ємне значення t не підходить. Отже, через 5 с після початку руху точка зупиниться.
8.Обсяг продукції, виробленої бригадою робітників, описується функцією (одиниць),
, де t – робочий час у годинах. Визначити продуктивність праці
через годину після початку роботи та за годину до її закінчення.
Розв’язання. Враховуючи економічний зміст похідної, знайдемо закон, за яким змінюється продуктивність праці бригади робітників:
=
.
У задані моменти часу t1=1 год і t2=8–1=7 год відповідно маємо таку продуктивність праці бригади робітників:
(одиниць/год);
(одиниць/год).
Як бачимо, наприкінці роботи продуктивність праці бригади робітників зменшується.
Завдання для самостійного розв’язування
1.Використовуючи означення похідної функції f у точці х0, знайти похідні функцій:
а) ; б)
.
2. Знайти похідну функції:
1) ; 2)
;
3) ; 4)
;
5) ; 6)
; 7)
; 8)
;
9) .
3. Знайти значення похідної функції у точці х0:
а) , х0=
; б)
, х0=
.
4. Знайти рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х0:
а) , х0=2; б)
, х0=
;
5. Знайти рівняння дотичних, проведених до графіка функції у точках його перетину з прямою y=1.
7. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом . Знайти швидкість і прискорення точки у момент часу
(шлях s вимірюється в метрах).
10. Обсяг продукції, виробленої бригадою робітників впродовж дня, описується функцією , де t – час, виражений у годинах. Визначити продуктивність праці
бригади через 2 години після початку роботи.
Відповіді:
1. а) ; б)
.
2. 1) ; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
; 6)
; 7)
; 8)
;
; 9)
;
3. а) –2; в) 6.
4.а) ; б)
.
5. ,
.
6. v=35 м/с, а=22 м/с2.
7. 63 од/год.